книги / Теория наведенной неоднородности и ее приложения к проблеме устойчивости пластин и оболочек
..pdfКинематические модели деформирования |
121 |
Г лава 6. Вариационные уравнения
теории пластин и оболочек
снаведенной неоднородностью
6.1.Кинематические модели деформирования
Рассмотрим прямоугольную в плане пологую оболочку, сре динная поверхность которой отнесена к системе ортогональных ко ординат Xi , Х2(рис.67).
За |
|
положительное |
направ |
0 |
|||
ление |
координаты |
х.э, нормаль |
|
||||
ной к |
срединной |
поверхности, |
|
||||
примем |
направление |
к |
центру |
|
|||
кривизны. Толщина оболочки 2h, |
|
||||||
а линейные размеры |
вдоль осей |
|
|||||
Xi, Х2 |
|
примем равными а и в. |
|
||||
Обозначим |
перемещения в на |
|
|||||
правлении X i, Х2 соответствен |
|
||||||
но через |
U- |
и |
U2. |
Переме |
|
||
щения оболочки вдоль оси хг, |
не |
зависят от Хз. |
|
На основе технической теории оболочки будем предполагать, |
|
что влиянием перемещений |
Ui, Ife на параметры изменения кри |
визны (R|, R.2)*] (где Rj, R2 — |
радиусы главных кривизн в направ |
лении Х|, Хг ) молено пренебречь, по сравнению с высшими произ водными.
Наибольшая толщина оболочки 2hnnx значительно меньше наименьшего главного радиуса кривизны. В.В.Новожилов/191/от мечает: "Допуская обычную для технических расчетов относитель ную погрешность порядка 5%, будем считать тонкими такие обо лочки, у которых 2h / R <20ч ".
Примем условия пологости оболочки. По В.З.Власову /40/, к по логим оболочкам относятся оболочки, у которых f/a^l,5, где а<в, f
— стрела подъема оболочки в центре. По Э.Рейснеру /305/,f/a^I/8. Сферическая поверхность с прямоугольным контуром характе
ризуется постоянным радиусом кривизны в любом направлении:
122 |
Вариационныеуравнения |
|
2aJ(l+2(f/a)2) |
|
Используя это соотношение, условие пологости можно перепи |
сать так: по В.З.Власову, a/R <20/27; по Э.Рейсснеру, a /R <16/33. |
|
Кинетические соотношения будем основывать на обобщенной кине матической модели С.П.Тимошенко /295/. При этом следует пола гать, что сечение, нормальное к срединной поверхности до деформа ции, в процессе деформирования искривляется и становится не пер пендикулярным к срединной поверхности. Деформации материала в
направлении, перпендикулярном к |
срединной поверхности, опре |
|
деляются из условия плоского напряженного состояния. |
|
|
Обобщенная кинематическая |
модель С.П.Тимошенко |
позво |
ляет учесть деформации поперечного сдвига. |
|
|
Представим перемещения в виде степенного ряда по нормаль |
||
ной координате: |
|
|
U i - UI1+ хзУ4+ (хз)2Л;+ (х?)'1 V; |
(6-1.1) |
|
Здесь Ц и U,0 — перемещения в эквидистантных и |
коорди |
|
натной (совпадающей со срединной поверхностью) поверхностях,
соответственно; у, — углы поворота сечения |
в |
плоскостях |
х20хз |
||
HXJOX3 . |
|
|
|
|
|
Связь деформаций с перемещениями при конечных прогибах |
|||||
оболочки: |
|
|
|
|
|
|
. а д э ш |
|
|
|
|
^ 2v.dxj dxi |
dxi |
5xj |
|
|
|
|
|
|
|
|
(6-1-2) |
Здесь и в дальнейшем |
ку — |
кривизны |
координатной поверх |
||
ности. |
|
|
|
|
|
На основе вывода о параболическом законе |
изменения |
каса |
|||
тельных напряжений по толщине при изгибе толстых плит /47/, счи таем, что в случаях тонких оболочек закон с высокой степенью точ ности совпадает с квадратной параболой.
Кинематические модели деформирования |
123 |
Из условий на поверхности оболочки запишем следующую сис тем}' линейных алгебраических уравнений относительно tii, щ:
Положим' касательные напряжения оболочки на ее поверхностях равными нулю и, следовательно, при этом $з= 0 на этих же поверх ностях, тогда
(6.1.3)
Используя (6.1.3) для перемещений (6.1.1), получим следующие выражения:
(6.1.4)
Подставляя полученные соотношения для перемещений (6.1.4) в выражения для деформаций (6.1.2) и выделяя деформации сре динной поверхности, получим связь деформаций оболочки с пере мещениями на основе обобщенной кинематической модели дефор мирования С.П.Тимошенко:
где
124 Вариационные уравнения
_1[эи?.ви5 auS.auSl . дп„. |
|
|
||||||
E» " t e +ixT+^ ; |
d " |
kijAU,5ii |
= |
1,2. (6.1.5) |
||||
|
|
Паш |
» |
|
U |
|||
|
|
|
|
|
|
|||
Вычисляем приращения деформаций: |
|
|
|
|||||
Лен= As»- |
air?+вбт”_ (xjf/'адг?+, а2д у]+5Ау, |
|||||||
dxj |
|
бх, |
3h: \ч |
cxj |
dxjdxj |
dxi |
||
|
|
|||||||
|
Ле,-.= J |
\ |
M |
|
U = l , 2 . |
|
( 6. 1.6) |
|
|
|
I |
h' |
|
|
|
|
|
Приращения деформаций срединной поверхности будут пред |
||||||||
ставлены соотношениями: |
|
|
|
|
|
|
||
эли?+ади]^ аду1auV+аду5 али1,’+ау? эди? |
-к*ди°5у |
|||||||
5xj |
д кх |
дк\ |
д х , |
дх\ |
dxj |
dxi d\j |
, |
|
|
Asj- |
1[ади( +Ay; |
i,j |
- 1.2 |
|
|
||
|
|
2 l |
axi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.1.7) |
Ограничиваясь в кинематических соотношениях обобщенной |
||||||||
модели С.П.Тимошеико |
линейными |
относительно хэ членами, по |
||||||
лучим соотношения теории типа С.П.Тимошеико . Полагая в соот
ношениях теории С.П.Тимошеико i= U2, будем иметь
уравнения модели Кирхгофа-Лява.
Соотношения между приращениями |
125 |
6.2.Соотношения между приращениями напряжений
икомпонентами и приращениями компонентдеформаций
ввозмущенном состоянии
При получении соотношений между приращениями напряже ний и компонентами и приращениями компонент деформаций вос пользуемся уравнениями состояния материала с наведенной неод нородностью в приращениях для плоского напряженного состояния.
Выразим в этих соотношениях приращение среднего напряже ния До через Лау , тогда
( 6К+Х |
.♦ ЗК-Х |
дхГГбк+х |
ЗК-Х \ |
Дан =| . - |
Хны+З К + 2 Х Aew+ “ х V3К+2ХS"+3К+2XSv ’ 1^J |
||
V3K+2X |
|
|
|
|
До;,ij = XjkiAeki+ ^71-sy»(i9tj) |
(6.2. 1) |
|
В этих соотношениях компоненты девиатора напряжений sy выразим через компоненты тензора напряжений сту :
_ (6ia+ x .2 |
зк х -у |
Л<5“ 1зК+2Х.5|к8а 3K+2J.
J ЗК+Х |
X |
\ |
l3K+2Xaii |
ЗК+2Х°*/ |
|
<б 2 -2>
Компоненты тензора напряжений Sy выразим через компонен ты тензора деформаций еу, а параметры X и К — через секущий модуль диаграммы деформирования Ес и переменный коэффициент Пуассона цс :
Ad |
Ес SikSji+O+Hc)” ^ ! Aeki+ AXt еу; |
(6.2.3) |
|
' |
1+Ис |
Ьс |
|
|
|
||
126 Вариационныеуравнения
Atfii: |
1-■Ис |
б4к5л+цс5лс5л+-— ~ ^ е » + y e jjJ |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
. Используя выражения для |
^1* (4.5.9), после некоторых преоб |
||||||||||
разований запишем (6.2.3) в следующей форме: |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
Асу = ЕуиAeki + Гjj |
|
|
(6.2.4) |
||||
Здесь Eijk| |
и Гц |
— |
матрицы констант материала с наведенной |
||||||||
неоднородностью. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Элементы этих матриц определяются соотношениями: |
|
||||||||||
Ешск = - Ef- ; k + |
|
|
kv,ekk+v,el,)(2M,ei,+^eji)](i’fl(.^j,k= 'l); |
||||||||
I- H;L |
|
ес |
D |
|
|
J |
|
||||
E.... = ^J k -.■ |
l+ — |
|
^•(у]е«+ У2ел)(2Ц|е»+Ц2ел)|(';‘ А) |
’ |
|||||||
Coni |
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ешо = -;г |
E k r J ^~i |
vneki(2P|eii+H2ejj) |
|
|
|||||||
|
|
|
1+мс |
|
|
|
|
|
|
|
|
Eijkk = |
J+Hc |
— |
|
~ |
V3eij(2p.,ekk+^2e») |
|
|||||
|
|
|
Ec |
^ |
|
|
|
|
|||
Eijki: |
l+Hc |
5 ik 5 ji+ ^ Y ^ 5 vje1jti,ekij(i’t j-k5t|) |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
г |
|
- |
E ;-E C |
|
|
|
|
|
|
||
1 |
ii |
|
Mj |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
r |
= E‘"-E‘ |
И ^ Б - Б |
v3eij: |
|
||||
|
|
|
Г |“ ^М с |
|
r H |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||
(6.2.5)
Здесь введены обозначения:
Соотношения между приращениями |
127 |
В = 4(1 -^)ц се?+(2цс-!)(еп+ец)+2(2-це)е1|е22-б(1-цс^ е1\ +е23+е^
D = 2 (l-^ )!e?-B Vo-Ек~Ес.
|
Ео |
= 1 |
^ ^ о Е с Ц с , |
V‘ |
" 1-RJ б , ’ |
Мб .)(1 + Ис) Ес
VJ = " C' |
2 ^ ) |
i ; |
■ |
0 - 2Ио) Ес |
|
V5 |
2(l+цс) Ео |
(6.2.6) |
|
|
Коэффициенты j i |, ц2, Цз определяются выражениями (4.5.4). Полученные соотношения (6.2.2) обобщаются на случай изме
нения объемного модуля упругости материала:
Ес |
X X 4-м X S |
|
|
, ^2 ^ |
|
Aeki+ |
Да» ~ |
6ik5ii+pc6jk6ji+j— |
— ^eii+yejjj |
|
|||
1-Мс |
|
|
|
|
|
|
|
, 2 АХ? |
|
*• |
К*-К |
° - И |
|
|
3 0 - и с?(ц'ей+7 е*) |
ЗК |
К |
|||
|
|
|
||||
Acri = ..ic_ SikSji+^+pJ— ey Деы+ДХГев- |
(6-2 7 ) |
|||||
|
|
Ec |
|
|
|
|
Используя выражения для |
(4.6.6) и ДЯ,{*** |
(4.6.4), после |
||||
преобразования получим: |
|
|
|
|
|
|
|
Догу = Еук|Дек»+ГJ- |
|
|
|
(6.2.8) |
|
Здесь Бум* и Гу* - матрицы констант материала с наведенной неоднородностью с учетом изменения объемного модуля упругости материала:
Вариационные уравнения
Eiikk — |
i+'Ек~Бс___ 1 |
|
|
|
|
|
(ie j) |
|
||||||
|
1-Цс |
Ь |
2D'(I ~ 4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Eiikk |
- |
1с |
^C+I L _EC— |
— ^r(2|i1ekk+H'2eu)(^^ieii+^2eij) |
|
|||||||||
'i -Цс |
|
Ec 2D(H*cj |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(i*k,i*j,k*l) |
|
|||
Eiiki s .Ec. |
Ek_Ec_. ~ — |
тЦ,ек1(2^ей+Й2ел) |
.(te.U *!) |
|
||||||||||
|
|
]~K |
Ec |
2D*(l-n!) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1L |
” |
T~' |
7L |
2\^3eij(^lekk+^2e») |
|
|
|
|||||
Eijkk - “ ~2 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
Ec |
2D (1-Ц,) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
p |
_.Ec_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Eijki - |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l+^c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p. = Ec-Ec |
|
E? K'-K'l |
Й -Й Г. |
ECK’- I O B Y |
U2 |
> |
||||||||
( ' - 4 |
"9K2iT -I J |
|
6K_ |
1 ” К E; - EJ |
D |
- f !e“ |
T er |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+_Ь_К '-К E c , |
v |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9K! |
К |
| _ 4 |
|
|
, J r J k |
f. |
Ec K‘-K^[ |
Ek~Ecf. |
ЕсК'-КЛ В |
|
|
||||||||
|
4 - 4 |
V |
9K2 E^-EcJ |
6K |
l |
К E*-ECJ D* |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.2.9) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь В и D* определяются выражениями (6.2.6) и (4.6.2). |
||||||||||||||
Используя уравнения |
состояния материала с наведенной неод |
|||||||||||||
нородностью в форме (6.2.4), |
получим соотношения для |
прираще |
||||||||||||
ний внутренних усилий, при этом, в случае изменения объемного модуля упругости К, матрицы Ejjki и Гу в этих соотношениях следует заменить на Ер* и Гу*, в соответствии с (6.2.8).
Соотношения между приращениями |
129 |
|
6.3. Соотношения между приращениями внутренних усилий и приращениями компонентдеформаций
в возмущенном состоянии
Интегрируя приращения напряжений (6.2.4) по толщине обо лочки, получим выражения приращений усилий в срединной поверх ности. Эти соотношения легко обобщаются на случай учета темпе ратурных деформаций eli •
При этом
|
(6.3.1) |
где е $ ; Аей — полные деформации и их приращения. |
|
Тогда |
(6.3.2) |
Дау = Eijki(^eki+A£ki6ki)+rij • |
|
Интегрируя (6.3.2) по толщине, получим соотношения для при |
|
ращений внутренних усилий, в которые войдут дополнительные |
|
температурные члены ANyT ? AQiT, ЛМуТ >AQi * » |
* |
Запишем приращения ANy и приращения перерезывающих сил |
|
AQi, которые, с учетом симметрии матриц Eykl |
и Гу, будут иметь |
вид: |
ч |
, ( |
^ A u f| |
ANу= Бум Аей + Syw AXki" SykiI AXki+ ^ 9xJ + |
|
. f . |
/А Н |
= Bilkl AEkl + Srakl^Xkl SiJkl^ |
|
(6.3.3)
130 |
Вариационныеуравнения |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Умножая приращения |
напряжений |
(6.3.2) на хз и интегрируя |
||||||
по толщине, получим приращения изгибающих и |
крутящего момен |
||||||||
тов AMij |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ДМ ij =SijkiдXk,+ Dijk] Дхк] |
|
|
|
|
|
|
(6.3.4) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( д т;+ — |
|+ M 8 - A M 5;(U W - L2). |
||||||
|
|
V |
• |
ЗХк / |
|
|
|
|
|
|
Аналогично получим |
выражения для приращения |
перерезы |
||||||
вающих сил и моментов высших порядков AQj* и ДМу*: |
|
||||||||
|
AQ* = Di3ki Двй+ЗвЦ лХ и |
£ э ( д х и+ |
|
+ |
|||||
|
h2 |
|
|
|
|
|
|
|
(6.3.5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- i e i p Y |
Ду"+ . ^ i ] + Qf*-AQT*. |
||||||
|
4 |
h‘ |
h |
A |
|
|
dxkJ |
|
|
|
В соотношениях (6.3.3) - (6.3.5) введены следующие |
обозначе |
|||||||
ния: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 х г : |
^axj |
Эх; |
|
|
|||
|
1 |
" |
• |
|
|
|
n |
. о |
|
|
Bijki^ J Eijkidx3’ |
Sijki= i Eykix?dx.v |
Djjki= J |
Еукцхз) dx3- |
|||||
|
-h |
-h |
|
|
|
-h |
|
|
|
sjki= \ Eijki^-dx3i |
Djki= |
J Eijki“~2"dx3> S = |
f Eijki~ ~ 7 dx3 |
||||||
|
|
|
|
3h |
|
|
|
|
|
-11 (хз/
D,jki- \ Eijki'~Tdx3 . -i> 9h
(6.3.6)
Дополнительные слагаемые в (6.3,3) и (6.3.5) Mg, QP, м ,5>
Q>\ jyjP*, зависящие от полных функций, имеют вид: