книги / Теория наведенной неоднородности и ее приложения к проблеме устойчивости пластин и оболочек

172 У стойчивость конструкций с учетом разупрочнения м атериал а

поверхности оболочки, тогда оператор Ц и з ,и э ) получается заменой функции F на и? в выражении для L(uS»F); Е0модуль Юнга; Gu, G23модули сдвига материала в поперечном направлении.

Величина концентрации жидкости в материале с(х:>,т), содер­ жащаяся в интегралах по толщине, входящих в (8.2.2), определяется, как и ранее, по (8.1.2), то есть значением аргумента интеграла оши­ бок pz.

Исследование устойчивости оболочек состоит из двух этапов: определение исходного равновесного состояния и поиск точки раз­ ветвления исходного решения. Исходное состояние может быть оп­ ределено из решения общих нелинейных уравнений или каких-либо упрощенных вариантов, в частности, из линейных уравнений, полубезмоментных и других.

Упрощения в определении исходного состояния могут быть сделаны только при анализе конкретной решаемой задачи. Эти во­ просы для некоторых осесимметричных задач обсуждались в /58/.

Для поиска точек бифуркации решения используем линеари­ зованные уравнения устойчивости в вариациях, полученные путем дифференцирования по Фреше нелинейных операторов краевой за­ дачи, описывающей напряженно-деформированное состояние обо­ лочки под действием приложенных нагрузок и внешней среды.

Для получения уравнений устойчивости оболочек с низкой сдвиговой жесткостью, уравнения состояния которых построены на основе уточненной кинематической гипотезы, построим уравнения в вариациях:

Заметим также, что, в отличие от (8.2.1), в (8.2.3) входят вариа­ ции искомых величин.

В дальнейшем будем считать, что все нагрузки, действующие на оболочку, изменяются пропорционально некоторому числовому

Разрешая уравнения исходного состояния, определяем F и и® как функции от параметров Р, £> сф г): F = F(P,Cc(Pz)),

U§(P,Cc(Pz)).

Подставляя это решение в уравнения устойчивости (8.7), имеем нулевое решение. Ставится задача-найти такие значения параметра Р, при которых нарушается единственность, то есть, наряду с реше­ нием {U3°=0, F=0, у[‘=0, у2=0}, имеется хотя бы еще одно, отличное

от нулевого.

Рассмотрим шарнирно закрепленную, сжатую торцевыми уси­ лиями по образующей цилиндрическую панель из полимерного ма­ териала, подвергающегося разупрочнению под действием жидкой среды. Исходное состояние в этом случае является однородным и задача (8.2.3) превращается в линейную краевую задачу на собствен­ ные значения с переменными коэффициентами.

1 7 4 У стойчивость конструкций с учетом разуп рочнен ия м атериала

Переменность коэффициентов обусловлена их зависимостью от параметра концентрации жидкой среды в материале оболочки.

Для решения задачи используем приближенный метод сведе­ ния краевой задачи на собственные значения к алгебраической. В качестве такого метода примем метод Бубнова-Галеркина, представ­ ляя искомые функции в виде

граничным условиям, соответствующим шарнирному опиранию на гибкие несжимаемые (нерастяжимые) в касательной плоскости ребра, записываемым для полных функций.

Рассматривая только симметричное в плане оболочки дефор­ мирование, построим бифуркационную диаграмму деформирования при t=0 и t->°o. На рис.72 показан характер изменения кривых закритического деформирования Р(и§) и график критического време­ ни потери устойчивости в результате разупрочнения материала обо­ лочки под действием жидкой среды. Ось нагрузки на оболочку можно разбить на три характерных уровня нагружения (Рф - фикси­

рованная во времени нагрузка): р* >pjp - исходная форма равнове­

сия оболочки неустойчива при t=0; р*р<Рз<р"р - оболочка устойчи­ ва на интервале 0 < t < tkp; pj<p"p- оболочка устойчива на бесконеч­

оболочки на изгиб и растяжение-сжатие) имеет место случай крат­ ных значений критических нагрузок, соответствующих симмет­ ричной и несимметричной формам потери устойчивости.

При кб > ккр несимметричной форме потери устойчивости соот­ ветствует меньшее значение критической нагрузки. На рис.73 кри­ вые 1 и 2 соответствуют симметричной и несимметричной формам закритического деформирования оболочки. Значения Рс и Р„ (рис.73.) соответствуют нагрузкам потери устойчивости по симметричной и несимметричной формам, соответственно.

р

времени в результате разупрочнения материала вследствие диффузии жидкой среды "опасной" формой потери устойчивости может стать несимметричная форма. Критическая нагрузка, ей соответствующая, становится минимальной. На рис.74,75 приведены графики критиче­ ских нагрузок, соответствующих симметричной форме потери ус­ тойчивости (сплошная кривая) и несимметричной форме потери устойчивости (штрихпунктирная кривая) в зависимости от парамет­ ра Pz (8.1.2).

На рис.75 графики Ркрфг) получены с использованием кинема­ тической гипотезы Кирхгофа-Лява. При значении кб = 0,8к«р в ре­ зультате процесса разупрочнения происходит смена "опасной" фор­ мы потери устойчивости с симметричной на несимметричную.

Рассмотрим влияние учета низкой сдвиговой жесткости мате­ риала оболочки на форму потери устойчивости. Сдвиговую жест­ кость оболочки будем характеризовать безразмерным параметром

176 У стойчивость конструкций с учетом разуп роч нен ия м атериала

a=0,5(l+v)a2Gi3/Eoh2, (Gi3 = G23). При а - х » деформации попереч­ ного сдвига отсутствуют, при а=30 деформация поперечного сдвига оказывает существенное влияние на устойчивость оболочки во

поперечного сдвига позволяет существенно уточнить величину ми­ нимальной критической нагрузки и соответственно критическое время потери устойчивости оболочки с низкой сдвиговой жестко­ стью в условиях разупрочнения материала.

8.3. Выпучивание при взаимодействии вязко-упругого материала с жидкой средой

При рассмотрении вопроса об устойчивости конструкций из вязко-упругого материала выделим два этапа: этап нагружения мо­ нотонно изменяющимися силами и этап поведения конструкций во времени под действием постоянных сил.

Для тонкостенных конструкций с развивающейся неодно­ родностью материала на втором этапе проявляется влияние ухуд­ шения механических свойств материала, выражающееся в медлен­ ном движении конструкции (типа ползучести), которое называют выпучиванием.

Изучение выпучивания во времени, как возмущенного процес­ са, позволяет судить об устойчивости исходного состояния равнове­ сия. Процесс выпучивания, рассматриваемый как невозмущенное, основное состояние неидеальной системы, сам может являться объ­ ектом исследования на устойчивость.

Процесс выпучивания описывается уравнением:

состояния равновесия на мгновенной бифуркационной диаграмме, описывающей квазистатический процесс нагружения, устойчивы, а какие - неустойчивы в условиях выпучивания.

Рассмотрим приложение теории бифуркаций Пуанкаре к зада­ чам устойчивости полимерных вязко-упругих тонкостенных конст­ рукций, взаимодействующих с жидкой средой, приводящей к разу­ прочнению материала, на примере выпучивания нелинейной беско­ нечно длинной пластины.

Особенностью полимерных материалов является наличие вяз­ ких свойств, а также упругости, возникающей за счет раскручива­ ния цепных молекул /270/.

Для развития данного вида упругости требуется некоторый промежуток времени.

Описать поведение полимерного материала под нагрузкой можно с помощью схем-моделей, состоящих из системы упругих и вязкого элементов. В частности, это позволяет сделать модель стан­

где Тр - время релаксации; Н,Е - мгновенный и длительный модуль

упругости.

Уравнение в приращениях, описывающее поведение пластины во времени, имеет вид:

178 У стойчивость конструкций с учетом разупрочнения м атериала

(8.3.3)

здесь Uo - начальная погибь пластины; U, AU - прогиб пластины и его приращение; N, AN - продольная нагрузка и ее приращение; AM - приращение изгибающего момента:

кривизны, определяемые выражениями (8.1.4).

При изучении выпучивания с постоянной нагрузкой полагаем AN = 0; U = fsin(rcs/l); Uo = fosin(7ts/l), где 1- ширина пластины, и ис­ пользованы процедуры Бубнова-Галеркина и метода Рунге-Кутта.

Для решения вопроса об устойчивости состояний равновесия на мгновенной бифуркационной диаграмме рассмотрим поведение изо­ бражающей точки Р на фазовой прямой f вблизи положений равно­ весия 0(f,N,Xj) = 0.

На рис.77 приведена вспомогательная плоскость \|/=fl>(f,N,Xj) и показано поведение изображающей точки Р на фазовой прямой f.

Результаты получены при следующих значениях безразмер­ ных параметров: Н/Е = 2; f0/h = 10“3; (1/h)2 = 400; N6 = N /pJp, где h -

-толщина пластины, pjp - мгновенная Эйлерова критическая нагруз­

ка.

Для значения Ne, равного половине от мгновенной критической нагрузки, существует одно положение равновесия, вблизи которого функция у меняет знак с плюса на минус, что говорит о его устойчи­ вости. При незначительном возрастании параметра нагрузки N6 = =0,505 на бифуркационной диаграмме длительного нагружения суще­ ствуют три положения равновесия, что отражается нулевыми значе­ ниями функции у на фазовой прямой.

Выпучивание при взаимодействии вязко-упругого материала 179

Рис. 77 Исследование процесса выпучивания пластины во времени

при Ne = 0,505 показывает, что состояние равновесия, характери­ зующееся малыми приращениями, является неустойчивым. Удален­ ные закритические состояния равновесия устойчивы, по Ляпунову, на бесконечном интервале времени.

Полагаем, как и ранее, что воздействие жидкой среды приво­ дит к изменению длительных упругих свойств полимерного мате­ риала, в частности Е(с). Если разупрочнение материала носит огра­ ниченный характер, то возможно решать задачу устойчивости на не­ ограниченном интервале времени. При двухстороннем воздействии среды расчетная схема сводится к трехслойной пластине со слоями переменной во времени жесткости.

Равновесие такой трехслойной пластины определяется не толь­ ко величиной нагрузки, но и уровнем разупрочнения материала, поэтому в качестве фазовых прямых примем характерное перемеще­ ние f и T *=xD z/h 2 - безразмерный параметр времени взаимодейст­ вия, где Dz - коэффициент диффузии жидкой среды в материал пла­ стины; h - толщина пластины.

В фазовом пространстве (\|/,£т*) построим бифуркационную поверхность длительного нагружения с учетом разупрочнения мате­ риала (рис.78). Степень разупрочнения материала, зависящая от времени взаимодействия т*, существенно влияет на форму бифурка­ ционной поверхности.

180 У стойчивость конструкций с учетом разуп роч нен ия м атериала

Исследование выпучивания пластины во времени t как возму­ щенного процесса позволяет определить устойчивые состояния рав­ новесия и критическое время взаимодействия материала и среды Ткр, по истечении которого происходит "обмен устойчивостью" и появление сжато-изогнутых состояний равновесия. При отсутствии агрессивного воздействия (т*=0) состояние равновесия (fsO , Ne =0,405) является асимптотически устойчивым. Исходное состояние равновесия остается устойчивым и в условиях воздействия среды для времени взаимодействия т*<т*к-р. При достижении временем взаи­ модействия т* значения т*кр происходит бифуркация состояния рав­ новесия. Устойчивыми становятся сжато-изогнутые состояния рав­ новесия, исходная равновесная форма за точкой бифуркации (т*=т*кр) является неустойчивой.