книги / Основы построения телекоммуникационных систем и сетей

рассматривать как описание импульса радиосигнала на интервале времени т, то огибающая полезного сигнала Uc есть амплитуда импульса полезного сигнала на выходе детектора огибающей в отсутствие помехи. При наличии помехи амплитуда полезного сигнала на выходе детектора огибающей есть постоянная состав­ ляющая в огибающей биений (рис. 2.4). Из рисунка видно, что эта постоянная составляющая меньше Uc, т.е. на выходе детектора огибающей происходит подавление полезного сигнала помехой. Этот эффект носит название эффекта подавления слабого сигнала сильным при амплитудном детектировании сигнала и помехи.

Из выражения (2.1) при U„ » Uc получим выражение

U0г = U„ + Uc cos Acat,

которое говорит о том, что вся мощность полезного сигнала пере­ ходит в мощность частоты биений Дсо и полезный сигнал (посто­ янная составляющая, обусловленная наличием полезного сигнала)

ских расчетах и анализе устройств и систем. В математике суще­ ствуют тождества Эйлера:

откуда, в частности, следует cos ф = - у (е/1р + е-Л>).

На плоскости комплексного переменного, на которой мнимые величины откладываются на оси ординат, а действительные вели­ чины - на оси абсцисс, функция е ,<р может быть представлена век­ тором единичной длины (рис. 2.5).

Из уравнений (2.2) для гармонического колебания получим

S(t) = A cos (Q f - ф) = A cos ф = -Y е/(П,“ v) + - у -

Вектор - у е,(П'~ ч') имеет амплитуду А/2 и вращается в плоско­ сти комплексного переменного с круговой частотой Q против часо­ вой стрелки. Вектор е~7(П' “м/)также имеет амплитуду А/2, но вра-

вращается в плоскости комплексного переменного с круговой час­ тотой Q по часовой стрелке (рис. 2.6). Говорят, что этот вектор

Re

имеет отрицательную частоту, так как - j(Q t - ip) =У (-П / - v|/). Гар­ моническое колебание как сумма двух векторов, вращающихся с одинаковой угловой скоростью в противоположных направлениях, есть вектор, расположенный на действительной оси, амплитуда которого меняется во времени по закону A cos (Q / - iy).

Разлож ение периодических ф ункций врем ени в ряд Ф урье. Преобразование Фурье и преобразование Лапласа являются ос­ новными математическими инструментами электро- и радиоинже­ нера. Преобразование Фурье используется при анализе сигналов, а преобразование Лапласа более удобно при анализе электрических цепей, устройств и систем.

Любая периодическая непрерывная или кусочно-непрерывная

где an- A n cos \}/w; bn =An sin V|/„; Qj - круговая частота повторения; Qi/2я =F\ = 1/Гп есть частота повторения в герцах; Гп —период по­

nQ\ — п-я гармоника частоты повторения.

В соответствии с тео­

Спектр периодического сигнала состоит из спектральных линий и изображается в виде тонких вертикальных линий, амплитуды ко­ торых пропорциональны коэффициентам А„ (рис. 2.7).

Распределение мощ ности в сп ектре периодического сиг­ нала. Мгновенная мощность сигнала на единичном сопротивле­

В итоге получаем, что мощность периодического сигнала есть сумма мощностей каждой его спектральной составляющей.

казана пунктиром на рис. 2.9. Нули огибающей спектра определя­ ются из уравнения [sin {nxnF\)\lninF\ = 0, что дает выражение nxnFi = кж, где к= 1 ,2 ,3 ,... Нули огибающей спектра находятся на частотах F = nF l = /с/х, к = 1, 2 ,..., т.е. на частотах F = 1/т, 2/т, 3/т, (см. рис. 2.9).

М ногочисленные примеры спектров других видов сигналов приведены в [2].

Проиллюстрируем, насколько точно ограниченное число чле­ нов ряда Фурье аппроксимирует периодическую функцию време­ ни. На рис. 2.10, а представлена периодическая последователь­ ность прямоугольных импульсов сигнала со следующими пара­ метрами: Ux/T„=\, 7J,/T = 4. Ограничимся для аппроксимации последовательности импульсов постоянной составляющей и гар­

Рис. 2.10. Представление периодического сигнала ограниченным числом гармоник:

а —последовательность прямоугольных импульсов

(пунктиром показана сумма постоянной составляющей и первых пяти гармоник);

б- гармоники частоты повторения (амплитуда частоты 4Ft равна нулю)

Сп ектр ы непериодических сигналов. Периодические сигна­ лы являются некоторой моделью или аппроксимацией реальных сигналов. Реальные сигналы длятся конечное время и поэтому яв­ ляются непериодическими.

Пусть сигнал существует на конечном интервале t \ < t < t 2 (рис. 2.11, а). Превратим этот сигнал в периодический с периодом Tn> t2~ t\ (рис. 2.11, б) и устремим Та -» оо. Для этого периодическо­ го сигнала применимо разложение в ряд Фурье:

sin (лД/7!)

= 0,5.

TZAFT

О тсю да и м еем ятД F « 1 ,3 9 и AF « 1/2т.

Согласно второму способу под шириной спектра сигнала по­ нимается ширина прямоугольника высотой, равной единице, пло­ щадь которого равна площади под огибающей нормированного спектра мощности сигнала. Для прямоугольного импульса сигнала это определение иллюстрируется рис. 2.15. Из рисунка имеем

Для любой формы импульса сигнала ширина его спектра об­ ратно пропорциональна длительности импульса. Произведение длительности импульса на ширину его спектра дает некоторую константу и, как говорят, определяет некоторое соотношение не­ определенности —термин, заимствованный из квантовой механи­ ки. Для прямоугольного импульса сигнала соотношение неопреде­ ленности имеет вид AFT = 1/2. При т —> 0 (дельта-импульс) ширина спектра дельта-импульса стремится к бесконечности.

С п ектры радиоим пульсов. Радиоимпульс может быть полу­ чен умножением видеоимпульса на опорный гармонический сиг­ нал (рис. 2.16, а). Входной видеоимпульс и выходной радиоим­ пульс показаны на рис. 2.16, б.

В перемножителе каждая компонента спектра видеоимпульса S(F) cos 2nFt, где S(F) - огибающая спектра видеоимпульса, ум­ ножается на опорный сигнал Uon cos 2nf0t, так что результирую­ щий спектр радиоимпульса можно записать следующим образом:

S(J) = S(J) cos 2пFt-Uoa cos 2nf0t =

l/„

S(J) [cos 2n(f0 - F ) t + cos 2%(fo + F ) /].

Puc. 2.16. Формирование радиоимпульса сигнала:

a электрическая схема; б - эпюры напряжений на входе и выходе схемы

F

----------2

0 T T макс

Рис. 2.19. Дискретное представление спектра непериодического сигнала длительностью Т

нических колебаний. Этот ряд не является рядом Фурье, поскольку отрезок гармонического колебания длительностью Т есть радио­ импульс на частоте nF\ длительностью Т с огибающей спектра ви­ да (sin TtFT)/nFT. В частности, если для сигнала, показанного на рис. 2.8, взять отрезок сигнала длительностью Т> Т„, то спектр та­ кого отрезка сигнала Sr(F ) будет иметь вид, показанный на рис. 2.18.

Обобщим вышеполученное. Пусть при передаче информации используется некоторый случайный сигнал S(t) со сплошным спек­ тром S(F). Рассмотрим отрезок этого сигнала длительностью Т. По­ вторяя этот сигнал с периодом Т„= Т влево и вправо по оси времени до бесконечности, мы можем утверждать, что на отрезке времени Т сигнал S(t) может быть представлен как сумма отрезков гармониче­ ских колебаний длительностью Т, частоты которых отстоят друг от друга на интервал 1IT. Таким образом, мы получили, что спектр случайного сигнала S(F) определяется значениями дискретов спек­ тра, отстоящих друг от друга на величину 1 IT. Каждый дискрет есть спектр на частоте п /Т с огибающей (sin nF T )/nF T (рис. 2.19).

Каждый дискрет частотного спектра, кроме постоянной со­ ставляющей, определяется двумя составляющими: синусной и ко­ синусной. Если спектр сигнала ограничить некоторой максималь­ ной частотой F MaKC, то без учета постоянной составляющей, кото­ рая не является переносчиком информации, общее число отсчетов (дискретов) сигнала, полностью описывающих поведение сигнала на отрезке времени Т, есть

Это число отсчетов и называется числом степеней свободы сигнала. Разложение спектра сигнала S(F) на дискреты с огибаю ­ щей (sin nF T)/nF T называется обратной теоремой Котельникова.