книги / Современные методы и средства балансировки машин и приборов

Для решения задачи с учетом ограничений на параметры геометрии масс к ми­ нимизируемым функциям добавим уравнения ограничений:

(5. Я. Солодилов)

Условие статической уравновешенности механизма. Главный вектор сил инерции звеньев пространственного механизма определим по аналогии с решением этой зедачи для плоских механизмов [39]. Для этого отсоединим механизм от стойки, заменив действие отбро­ шенных связей реакциями. Тогда в соответствии с принципом ос­ вобождаемое™ от связей можно записать

ями механизма со стойкой; а$ — ускорение центра масс механизма. Полагая, что реакции в кинематических парах вызываются не­ уравновешенными силами, определим главный вектор неуравнове­

шенных сил Рп механизма:

В этих формулах aSx, aSy, aSz — проекции вектора ускорения центра масс механизма на оси координат. Зная координаты rxs, ys, zs центра масс механизма S в каждый момент времени, можно определить ускорение его движения и проекции вектора ускорения на координатные оси:

aSx= -Xs! aSy = ÿs't aSz = %S-

Полное ускорение центра масс а± и модуль главного вектора неуравновешенных сил Ра определяются по формулам

as — j/~а|Л-)-■d?sy -j- a‘sz’

P» ^ Y P lx + P ly + Pl

Как следует из приведенных формул, главный вектор сил инер­ ции звеньев пространственного механизма будет равен нулю в том случае, если

новешенного пространственного механизма центр массы должен быть неподвижен. Аналогичное условие статической уравновешен­ ности механизма справедливо и для плоских механизмов [39].

Теорема о центре масс механизма. Рассмотрим пространствен­ ные механизмы с симметричными звеньями.

Проведенные исследования показали, что для пространственных механизмов, у которых оси смежных звеньев постоянной длины пере­ секаются на оси кинематической пары, положение центра масс опре­ деляется так же, как и для плоских механизмов [1, 39].

Рассмотрим пространственный рычажный механизм с одной сте­ пенью свободы без избыточных связей (рис. 8.17).

Рис. 8.17. Центры масс пространственного механизма

210

где г во и г В2 — соответственно радиусы-векторы точки В в систе­

отсчета; Т21, Т10 — преобразующие матрицы (матрицы поворота осей координат).

Радиус-вектор, определяющий положение точки В в системе координат, связанной со звеном 2, имеет следующие координаты:

Преобразующая матрица поворота системы Ах2угг2 вокруг оси z2 имеет вид

кривошипа 1 в кинематической паре А в направлении оси г2. Преобразующая матрица при повороте осей координат системы

(8.115)

Вместе с тем координаты точки В в неподвижной системе отсчета можно определить после соответствующего их преобразования по другой ветви разомкнутой цепи механизма, включающей звено 3.

Таким образом, центр масс пространственного кривошипноползуиного механизма (см. рис. 8.18) будет иметь следующие коор­

Определив значения векторов главных точек по формулам (8.104) и (8.105) и зная углы ф10, ф3о. Фзо. найдем по формулам (8.122) координаты центра масс механизма. Подставляя в формулу (8.99) вторые произзодные от координат центра масс, определим проекции главного вектора неуравновешенных сил на оси неподвижной системы координат.

Определение момента неуравновешенных сил пространственного механизма. Вектор главного момента неуравновешенных сил про­ странственного рычажного механизма определим в проекциях его на оси неподвижной системы координат, начало которой является центром приведения.

Модуль вектора главного момента неуравновешенных сил вы­ числим по формуле

^ n = j / /r | 2 j ^ e i . x + -|-

где M g i X, М с!у, M tU — проекции вектора главного момента не­ уравновешенных сил t-го звена механизма на оси неподвижной

Здесь Pu ix, P„ iy, P„ iz — проекции главного вектора неурав­ новешенных сил /-го звена механизма на оси неподвижной системы

Pl!iz ~ — m i Z s i '

Рис. 8.20. Схема механизма Беннетта

учебной литературе по теории ме­ ханизмов и машин такие механиз­ мы совсем не упоминаются.

Ниже рассматриваются неко­ торые из этих механизмов, которые могут представить практический интерес. На примере шарнирного

четырехзвенника рассмотрим различные способы их уравновешива­ ния. Схема такого механизма показана на рис. 8.20. Он представляет собой четырехзвенник, оси шарниров 1—4 которого не параллельны и не пересекаются. У такого механизма, во-первых, концы крат­ чайших расстояний (длины звеньев) совпадают; во-вторых, проти­ воположные звенья одинаковы, т. е. 1Х= /3, /2 = /4, а 4 = сс3 и а2 = а4; в-третьих, длины звеньев пропорциональны синусам углов между осями шарниров (углов скручивания звеньев), т. е. /х//2 = = sin a 4/sin «2.

Впервые этот четырехзвенник был описан английским ученым

Д.Беннеттом и в настоящее время известен как механизм Беннетта. Указанные углы скручивания звеньев отсчитываются против

вращения часовой стрелки, принимая за начало отсчета ось шарнира, обращенного к наблюдателю. Значения их могут меняться от 0 до 360°, но поскольку при углах, больших 180°, конструкция звеньев повторяется (при угле 180° конструкция звена та же, что и при 0 — оси шарниров параллельны), будем рассматривать изменения углов лишь в пределах от 0 до 180°

Если углы а 4 и а2 (соответственно а3 и а 4) больше или меньше 90°, т. е. a 1>3< 900 и a2ll<90° или а 1>3 >90° и a 2i4 >90°, то механизм Бен­ нетта по внешнему виду будет напоминать плоский антипараллело­ грамм, поэтому его называют антипараллелограммом Беннета. Если же один из углов больше 90°, а другой меньше 90° (т. е. напри­ мер, а ьз< 90°, а а2)4 >90° или alj3 >90°, а а2)4 < 90°), то меха­ низм будет напоминать плоский параллелограмм, поэтому его назы­ вают параллелограммом Беннетта. Границей между параллелограмом и антипараллелограммом является механизм, у которого углы скручивания двух противоположных звеньев равны 90° (например,

а 1,з Ф 90°, а а 2>4 = 90°).

Как показали исследования, в этом механизме звенья, связанные со станиной, всегда являются кривошипами. При этом угол <р по­ ворота входного кривошипа и угол у поворота выходного связаны зависимостью (21J

dy с