книги / Устойчивость и колебания упругих систем. Современные концепции, парадоксы и ошибки

Соответствующим выбором обобщенных координат мож­ но добиться определенных упрощений системы (29.2). От­

потенциальной энергии не содержит произведений коор­ динат:

Дифференциальные уравнения (29.2) записываются в форме

а вторая форма (29.6) — обратной. Прямая форма харак­ теризуется тем, что в каждое дифференциальное уравне­ ние входит только по одному члену, содержащему обоб­

щенное ускорение в противоположность этому в каждое из уравнений, записанных в обратной форме, входит только по одному члену, содержащему обобщенную координату q,.

В литературе, посвященной колебаниям конкретных чипов механических систем, можно встретить обе формы записи, но их получают, как правило, минуя процедуру составления уравнении Лагранжа. Ниже на примерах мы поясним, как это обычно делается, но сейчас отметим, что обе формы, конечно, принципиально эквивалентны друг другу. В то же время для каждой конкретной механической системы предпочтение, по соображениям чисто вычисли­ тельного характера, может быть отдано той или иной форме.

231

Обратимся к примерам. Первый пример иллюстрирован рис. 29.1, а и представляет собой цепочку упруго связанных грузов, могущих совершать колебания вдоль горизонталь­

Рис. 29.1 Схемы к составлению дифференциальных уравнений дви­ жении в прямой форме

положения равновесия. Тогда сила упругости, развиваю­ щаяся в »-й пружине и действующая на t-й груз, запишется в виде ct (.г,-—.v,_i). Выделив /-й груз, запишем для него диф­ ференциальное уравнение движения (рис. 29.1, б):

(конечно, в последнем уравнении, т. е. для i—n, следует принять ся+,= 0 ). Таким образом, мы пришли к дифферен­ циальным уравнениям в прямой форме. Это будет получать­ ся всегда, когда мы будем записывать дифференциальные уравнения движения входящих в систему твердых тел, при­ няв в качестве обобщенных координат перемещения нх цен­ тров тяжести и углы поворота вокруг центров тяжести; действительно, при таком выборе обобщенных координат кинетическая энергия будет записываться в форме (29.3).

232

Прямая форма удобна в тех случаях, когда упругие силы несложно выражаются через обобщенные координаты. В частности, это относится к системам цепного типа. На­ пример, для многодисковой системы, совершающей кру­ тильные колебания (рис. 29.1, в), можно прийти к топ же форме записи (29.7), если принять за координаты углы по­ воротов дисков и записать дифференциальные уравнения вращательного движения для каждого из них. Конечно, в

Рис. 29.2 Схемы к составлению дифференциальных уравнений движе­ ния в обратной форме

данном случае вместо Pi следует подставить возмущающие моменты Mit вместо линейных смещений Х|— углы поворо­ тов дисков <р£, вместо т г— моменты инерции дисков и, на­ конец, вместо ct— коэффициенты жесткости участков вала.

Однако вернемся к системе, изображенной на рис. 29.1, а. Для получения обратной формы дифференциальных урав­ нений нужно по-прежнему отделить грузы, но затем рассма­

тривать не их, а оставшийся после отделения безмассовый упругий скелет системы (рис. 29.2, а), нагруженный как

заданными возмущающими силами Pit так и силами инер­ ции отделенных масс — /и*Х|.

233

Обозначим через б,к статический коэффициент влияния («единичное перемещение»), т. е. перемещение точки i под действием единичной силы, приложенной в точк ■ k. В рассматриваемом случае

Полное перемещение t-й точки определится путем на­ ложения перемещений, вызываемых каждой из сил, при­ ложенных к упругому скелету, и, следовательно, имеет вид

Как видно, этот путь рассуждений приводит к обратной форме дифференциальных уравнений движения.

Этой формой особенно часто пользуются при исследо­ вании нзгибных колебаний стержней, несущих ряд со­ средоточенных масс. На рис. 29.2, б изображена система такого типа, а на рис. 29.2, в — ее упругий скелет, к ко­ торому (подобно схеме на рис. 29.2, а) одновременно при­ ложены вынуждающие силы и силы инерции отброшенных грузов. В данном случае дифференциальные уравнения дви­ жения имеют ту же обратную форму (29.8). Удобства этой формы связаны с тем, что для вычисления коэффициентов влияния существуют хорошо разработанные приемы (фор­ мула Мора, формула Верещагина и т. п.).

Таким образом, существуют две, можно сказать, про­ тивоположные отправные позиции для составления диффе­ ренциальных уравнений колебаний. В обоих случаях пред­ полагается мысленное расчленение системы путем отделе­ ния обладающих массой грузов от упругого скелета системы.

Нов первом случае записываются законы движения грузов,

аво втором случае — зависимости, определяющие движение

б е з м а с с о в о г о у п р у г о г о с к е л е т а ; соот­ ветственно первый путь приводит к прямой форме диффе­ ренциальных уравнении движения, а второй путь — к об­ ратной форме этих уравнений.

Подробнее остановимся на второй схеме рассуждений,

где речь идет о действии вполне реальных сил на упругий скелет конструкции, т. е. на освобожденную от масс систему связей. Хотя понятие о безмассовом скелете со­

234

держит в себе некоторый элемент искусственности, но, в сущности, точно согласуется с основными представлениями механики несвободных систем.

Отметим, что в методе кинетостатики обычно говорится об условном приложении фиктивных сил инерции к м а с- с а м системы; для рассмотренной выше балки это иллю­ стрировано рис. 29.2, г. Конечно, такой подход не приводит к каким-либо ошибкам в уравнениях; однако он не дик­ туется существом дела и, пожалуй, лишь затемняет ясную картину, иллюстрированную рис. 29.2, в, где показано действие р е а л ь н ы х сил на систему р е а л ь н ы х связей.

Почти полвека назад Е. Л. Николаи писал: «Вряд ли можно назвать другую теорему механики, которая вызы­ вала бы столько всякого рода недоразумений, как начало Даламбера. Реальны или фиктивны те силы инерции, о которых говорится в этом начале? Если их нужно считать фиктивными, то каким же образом могут эти силы инерции быть причиной таких совершенно реальных явлений, как разрыв маховика или сход с рельсов и крушение поезда и т. д.? Вот вопросы, которые вызывают нескончаемые спо­ ры,— и не только среди начинающих изучать механику».

Ныне положение в целом улучшилось: в ряде совре­ менных учебников механики названные вопросы разъяс­ нены самым исчерпывающим образом. Однако в техни­ ческой литературе, посвященной прикладным вопросам, необходимая четкость изложения встречается далеко не часто. Авторам этой книги кажется, что понятие об уп­ ругом безмассовом скелете *) (или каркасе) конструкции может помочь достижению большей ясности; без этого понятия рассуждения чаще всего оказываются несколько двусмысленными.

Конечно, это относится не только к задачам о коле­ баниях, но и вообще к любым задачам динамики механи­ ческих систем. Когда в расчетах прочности авиационных конструкций пишут, что при выполнении какой-либо эво­ люции на самолет действуют силы инерции, то это бесспорно негодный оборот речи, поскольку силы инерции не действу­ ют на самолет, представляющий собой совокупность вну­ тренних связей («скелет») и масс, распределенных по его объему Правда, большинство авторов добавляет в подоб­ ные обороты речи ссылку на принцип Даламбера; этим,

*) Разумеется, что этот термин условен; в сущности, речь идет о системе внутренних связей.

235

вуют силы инерции» не содержит двусмысленности и совер­ шенно точно соответствует существу дела; именно на эти силы, как на внешнюю нагрузку, и производится расчет прочности конструкции. Словом, понятия механической системы и ее безмассового каркаса следует различать.

Одвух формах дифференциальных уравнений колебаний см. книгу

И.М. Бабакова «Теория колебаний» (2-е изд., М.: Наука, 1968). Статью Е. Л. Николаи «О начале Даламбера и силах инерции» см. в его книге «Труды по механике» (М.: Гостехиздат, 1955, с. 407—418). Г. большой яс­ ностью вопрос о силах инерции обсужден в работе А. Н. Крылова «О

силах инерции и принципе Даламберта».

§30. Антирезонанс

Невозможно себе представить, чтобы при действии статической силы, приложенной к упруго закрепленному грузу (рис, 30.1, а), он оставался бы на месте. Конечно.

Рис. ЗОЛ. Действие силы Р на системы с одной и двумя степенями свободы

это также невозможно и в случае более сложной системы, например, изображенной на рис. 30 .1, б.

Совершенно по-другому обстоит дело в динамических задачах. Так, например, если сила гармонически изменя­ ется во времени

то при некоторых условиях точка приложения силы ос­ тается все время неподвижной; правда, это может быть лишь, если система имеет по крайней мере две степени свободы (рис. ЗОЛ, б). Это удивительное явление пред­ ставляет не только очевидный теоретический интерес, но может быть использовано и в практических целях.

Рассмотрим вынужденные колебания двухмассовой сис­ темы, изображенной на рис. 30.1, б. Если обозначать через т, и mt массы обоих грузов, а через сг и с*— коэффициенты

236

жесткости обеих пружин, то дифференциальные уравнения движения можно записать в виде

—с,.г, 4- с. (х„— х,) + Рлsin at = m ^ , " Cj (x2 xjj — ITlfPCi,

где х,—xa(/) и дг*—X t(0— перемещения грузов. Система

означающим, что колебания происходят с частотой а воз­ мущающей силы. Разумеется, это лишь частное решение, но оно описывает наиболее важную, стационарную часть процесса; другая часть решения, описывающая колебания с собственными частотами, быстро исчезает вследствие дей­ ствия неизбежных сил трения.

Подставляя (30.3) в (30.2), получаем два алгебраиче­ ских уравнения относительно амплитуд колебаний

Решив эту систему, найдем

д______ Р0 (са—ста<р*)_______

Конечно, амплитуды колебаний обоих грузов существен­ но зависят от частоты ю вынуждающей силы. Так, в част­ ности, при определенных значениях ( « з н а м е н а т е л и в выражениях (30.5) обращаются в нуль, а величины 4 , и 1р стремятся к бесконечности; это означает наступление резонанса в системе. Таких значений частоты — два, и они могут быть найдены из уравнения

Эти резонансные частоты в точности равны собственным частотам рассматриваемой системы. Резонансные свойства упругих систем широко известны, и мы их обсуждать не будем.

Остановимся на другом свойстве системы, связанном с возможностью обращения в нуль ч и с л и т е л я первой нз формул (30.5). Если частота возбуждения удовлетворяет

237

получается изображенная на рис. 30.1,6 двухмассовая система, и, как мы только что видели, колебания основного (первого) груза полностью исчезнут, если параметры cs и тг дополнительной части системы подобраны согласно усло­ вию (30.6). В этом случае второй груз выполняет роль ди­ намического гасителя колебаний для основной системы.

При надлежащей настройке виброгасители, когда ис­ чезают колебания основной конструкции, дополнительный груз, как правило, вибрирует очень сильно. Амплитуда Л./ колебаний гасителя равна отношению амплитуды вы­ нуждающей силы Ро к жесткости дополнительной пружины. Но для того чтобы можно было обойтись малым значением массы гасителя тг, по условию настройки (30.7) необходима также малая жесткость с*; при этом, естественно, возникают большие амплитуды колебаний массы гасителя. Впрочем, чем выше значение частоты со, на которую настроен гаси­ тель, тем большим должно быть значение жесткости сг при данном значении тг, и согласно (30.8) амплитуда коле­ баний гасителя уменьшается. Следовательно, чем больше частота настройки га, тем компактнее конструкция вибро­ гасителя •

Идея динамического виброгасителя, бесспорно, увле­ кательна и может даже показаться, что в ней следует видеть панацею от всяких нежелательных вибраций. К со­ жалению. у динамического виброгасителя есть один серьез­ ный недостаток: он способен гасить колебания лишь строго фиксированной частоты га. Всякое изменение частоты воз­ мущения вызовет нарушение условия (30.7) и дополнитель­ ная часть системы утратит свойства гасителя; возможно да­ же, что условия работы основной системы не улучшатся,

аухудшатся.

'На рис. 30.2 видно, что вторая масса гасит колебания лишь в малой окрестности частоты га=га*. Если же, на­ пример, частота возмущения составит о>=/>», то возникнет резонанс, которого не было бы при отсутствии такого «га­ сителя» (кавычки здесь поставлены не случайно).

Путем введения в систему гасителя вязкого сопротив­ ления можно несколько расширить диапазон частот, внутри которого происходит интенсивное гашение колебаний. По­ этому когда в колебательную систему встраивается гаси­ тель, он обычно снабжается демпфирующим элементом с надлежаще дозированным вязким сопротивлением-

Существует несколько типов р е г у л и р у е м ы х виброгаппелей, рассчитанных на системы с «плавающей» частотой возбуждения. Основная идея этих устройств сос-

239

тоит в автоматическом изменении собственной частоты гасителя при изменениях частоты возмущающей силы; для этой пели используются специальные схемы автоматиче­ ского регулирования. Регулируемые виброгасители сложны, но зато обеспечивают успешную борьбу с вибрациями в широком диапазоне частот возмущающей силы-

Впрочем, в некоторых случаях следящая настройка

измерения ее вибрации. Экспериментаторы не без удивления заметили, что сразу после установки виброметра амплитуды изучаемых колебаний заметно уменьшились — виброметр неожиданно сыграл роль гасителя (любопытный пример влияния измерительного прибора на течение изучаемого процесса)). Разумеется, что в этих условиях стало невоз­ можным полагаться яа показания виброметра

В заключение отметим, что с явлением антирезоаанса

240