книги / Устойчивость и колебания упругих систем. Современные концепции, парадоксы и ошибки

Таким образом,

Величины р и ш обычно одного порядка, поэтому, сравнивая

выражения (22.24) и (22.19), можно заключить, что отноше­ ние JJN имеет порядок отношения 2ail, т. е. весьма мало.

Об учете кориолисовых сил инерции при колебаниях вращающихся стержней см. книгу А. П. Филиппова «Колебания механических систем» (Киев: Науковэ думка, 1965).

§ 23. Равночастотные системы

Собственные частоты механических систем определяют­ ся их общей структурой и значениями параметров. Однако существуют несколько необычные системы, частоты которых не з а в и с я т от количественных значений некоторых параметров,— казалось бы, весьма важных. Иногда такие системы создаются специально, чтобы при возможных на практике изменениях того или иного параметра частоты оставались неизменными. В других случаях независимость собственных частот от параметров системы обнаруживается как неожиданное следствие ее особенных свойств.

Ниже рассмотрены оба случая.

Одним из средств борьбы с колебаниями оборудования служит виброизоляция, т. е. настолько мягкая его подвеска, при которой высокочастотная вибрация основания практи­ чески не передается на оборудование. Для успеха этой меры стремятся к тому, чтобы отношение частоты возбуждения к собственной частоте колебаний было возможно большим. Кроме того, желательно, чтобы это отношение было одинако­ вым для всех объектов виброизоляции, т. е. чтобы одинако­ выми были собственные частоты р. Но собственная частота р системы с одной степенью свободы зависит от массы тела m и коэффициента жесткости упругой связи с:

и различные значения коэффициента жесткости с. Может показаться, что для каждого значения массы нужен свой особый виброизолятор.

Однако это не так. Сорок лет назад Ю. И. Иориш пред­ ложил и разработал идею равночастотных виброизоляторов, т. е таких упругих элементов, жесткость которых меняется в зависимости от веса амортизируемого объекта. Равно­

171

частотный виброизолятор с равным успехом выполняет свою роль независимо от веса подвешиваемого груза (в достаточно широких пределах). Это упрощает стандартиза­ цию и позволяет резко сократить номенклатуру выпускае­ мых типов виброизоляторов. С их помощью можно добиться неизменности собственной частоты колебаний железнодо­ рожного вагона или автомобиля при изменениях загрузки кузова, а также одинаковых собственных частот различ­ ных станков, устанавливаемых на одинаковых упругих опорах, и т. д.

Основная особенность системы равночастотной вибро­ изоляции — ее нелинейность, и притом нелинейность спе­ циального вида. Предположим, что связь между статиче­ ской нагрузкой и перемещением имеет вид, показанный на

Рис. 23.1. а) Нелинейная упругая характеристика; б) нелинейная

подвеска груза

рис. 23.1,0 (статическая характеристика). Точка А на кривой соответствует нагружению упругого элемента ста­ тической нагрузкой РА.

Подобными нелинейными характеристиками обладают, например, нецилнндрические пружины с посадкой витков на основание {рис. 23.1,6). При колебаниях груза около статического уровня сила упругости пружины будет сле­ довать кривой Р(у)\ однако если эти колебания достаточно малы, то участок кривой, расположенный вблизи точки А, можно заменить касательной. С помощью такой замены мм получаем линейную колебательную систему, жесткость ко- торой определяется выражением

172

Отсюда видно, что постоянство частоты р, т. е. независи­ мость от нагрузки Р, будет обеспечено, если всем точкам кривой Р{у) соответствует неизменное значение отноше-

Пусть р — выбранное фиксированное значение собст­ венной частоты. Тогда из (23.3), опуская индексы, получаем

следующее дифференциальное уравнение для характеристи­ ки Р=Р{у):

Решение уравнения (23.4) имеет вид

Отсюда непосредственно видно, что интегральные кривые уравнения (23.4) одинаковы по форме; любая из них может быть получена в результате поступательного смещения лю­ бой другой интегральной кривой в направлении оси у, как это изображено на рис. 23.2. Любая из этих характеристик удовлетворяет уравнению (23.4), но для определенности решения нужно найти постоянную С и тем самым зафикси­ ровать одну конкретную интегральную кривую — искомую статическую ха­ рактеристику виброизолягора.

На первый взгляд, для этой цели непосредственно может быть использовано начальное условие:

гак как статическая характеристика должна проходить через начало координат. Однако беда состоит в том, что пи одна из бесконечного множества интегральных кривых (23,5) через начало координат не проходит и, следовательно, не может быть принята за характеристику.

Ю. И. Иориш предложил следующий выход из этого затруднительного положения. Пусть Рв — наименьший вес виброизолируемого груза, определяемый техническими тре­ бованиями. В таком случае при Р<Р« внброизолятор может иметь характеристику, не удовлетворяющую основному

173

уравнению (23.4), в частности наиболее простую — линей­ ную характеристику

При этом естественно стремиться к плавности перехода от линейного участка к нелинейному. Таким образом, вы­ бор искомой интегральной кривой подчинен простому гео­ метрическому условию:

(23.8)

при Р = Р ••

Согласно (23.5) имеем

(23.9)

тогда условие (23.8) приобретает вид

где у, — абсцисса точки, общей для линейного и нелиней­ ного участков характеристики; эта величина определяется заданной частотой р.

Следовательно, чтобы найти постоянную С, мы должны

причем эта кривая начинается в точке с координатами y=glp2, P=Pt\ от этой точки к началу координат проводит­ ся прямая, уравнение которой (23.7) имеет вид

На рис. 23.3 изображена вся характеристика, составлен­ ная из двух частей (23.13) н (23.14). Теперь возникает за­ дача расчета и конструирования такой пружины, которая обладает только что построеннойхарактеристикой. Эта сама по себе любопытная задача выходит за пределы нашей темы.

174

Пожалуй, еще более интересными свойствами обладает

рис. 23.4 система представляет собой однородную весьма длинную консоль, настолько гибкую, что под действием собственного веса часть балки лежит на жесткой горизон­ тальной плоскости. Если рас­ смотреть малые свободные ко­ лебания балки около показан­ ного на рисунке равновесного состояния, то окажется, что частота колебаний совершенно не зависит от изгибной жест­ кости и интенсивности распре­ деленной массы т, а опреде­ ляется только размером А1

понять, если обдумать, например, какое влияние оказывает увеличение изгибной жесгкости EJ. С одной стороны, из-за этого частота должна возрасти, но, с другой стороны, нотой же причине несколько увеличится длина I» криволинейного участка балки, что должно вызвать некоторое уменьшение частоты. Может быть, противоположные влияния взаимно

Рис. 23.4. Длинная гибкая консоль; ее конец лежит на жесткой го­ ризонтальной плоскости

компенсируются? Для того чтобы выяснить этот вопрос, обратимся к выкладкам и начнем с определения равновес­ ной формы оси балки.

Принимая оси координат согласно рис. 23.4 н обозначив через у,(г) статический прогиб, запишем дифференциальное уравнение изгиба, справедливое при небольших значениях h!l„ для всего криволинейного участка 0, /<,:

EJviv •» mg.

175

Решение этого уравнения должно быть подчинено пяти граничным условиям:

из которых можно найти четыре постоянные интегрирова­ ния и еще одну неизвестную величину — длину криволи­ нейного участка /0.

Нужно признать некоторую необычность сочетания двух последних условий; ведь в обычных схемах балочных закреплений, если о'= 0 (заделка), то v"^0, а если и"=0 (свободный конец или шарнирная опора), то о'ФО Тем не менее в рассматриваемом нестандартном случае плавное сопряжение криволинейного участка с прямолинейным оз­ начает, что «1=0 и t»;=0 одновременно. Здесь полезно так­ же отметить, что условие t>l"= 0 в данном случае было бы необоснованно, так как ниоткуда не следует, что при г—1„ поперечная сила равна нулю,— жесткое основание может создавать не только распределенную реакцию, равную ин­ тенсивности собственного веса (приг>/«), но и сосредоточен­ ную реакцию при г=1„(именно так обстоит дело в рассматри­ ваемом случае).

После простых выкладок находим

причем

. \ ГШ7К

(23.15)

*•“ У

Теперь перейдем к задаче о малых свободных колеба­ ниях около найденного равновесного состояния. Обозна­ чим через v{z, t) отклонение произвольной точки оси балки от соответствующего статического положения и запишем дифференциальное уравнение изгибных колебаний в обыч­ ном виде;

•gjr+ тил 0.

Полагая здесь

v (г, /) = V (г) sin {pi+ a)

(V(г) — собственная форма, р — искомая собственная ча­ стота, а — начальная фаза), приходим к обыкновенному

т

дифференциальному уравнению:

H v - „ ‘V _ 0 ( а - У Щ .

решение которого имеет вид

V—С, sin аг+ С » cos аг + С, sh а г + С4ch аг. (23.16)

На левом конце балки должно быть о(0, 0 = 0 и

| ( 0, /) = 0, т. е. V (0)«= 0 и Г < 0) = 0.

Граничные условия на правом конце криволинейного участка балки нуждаются в более подробном обсуждении, так как координата этого конца / изменяется в процессе колебаний. Полное перемещение на этом подвижном кон­ це равно h:

М О + М , t) = h.

Считая разность &i—i— малой, можно записать

м * ,) -»■»(/„ о + [ м * . > 0 ] Д<-Л*

Поскольку vn(ln)=h, v'o(l<,)=0, то

<)+§■(/* 0 ^ = 0.

Второе слагаемое представляет собой величину второго порядка малости; отбрасывая его, приходим к условию v(/„, 0 = 0, т. е.

Аналогично для первой производной имеем при г~1

M 0 +gj()» 0 = 0,

или

* < « + £ « * / ) + [ * < « + £ ! « » />1а/ = о.

Используя условия Oi(/o)=0 и {£(/,)=0, получим

|(*0. 0+Sf(i„ OAi-0.

Следовательно, е точностью до величин второго порядка

малости ^ (1д, 0 ** 0» т. е.

V'(/#)-0 .

17?

Коротко говоря, при решении динамической задачи гра­ ничные условия нужно принимать такими же, как и для балки с двумя защемленными концами. Конечно, эт.о можно было «предчувствовать», но предчувствия порой обманы­ вают...

Что можно сказать, например, относительно второй

тоже равна нулю (как это было установлено для второй производной в статической задаче)? Если это так, то должно быть принято К"(/»)=0. Верно ли это?

Запишем для второй производной при г=1

в статической задаче не мала. Следовательно, производная - ^ - ( У 0 оказывается величиной первого порядка малости

и полагать ее равной нулю нельзя.

Итак, решение (23.16) должно удовлетворять четырем граничным условиям:

К(0) = 0, V (0 )-0 , V (/ф) = 0, V (/„) = о,

которые известным образом приводят к частотному уравне­ нию

cos a /ac h a <0= 1.

Отсюда можно найти все собственные частоты. Так, наи­ меньший корень а /0—4,73 приводит к значению низшей собственной частоты

178

тогой р перемещения ее точек меняются во времени синфазно по гармоническому закону:

мую форму колебаний. Если эти функции (собственные формы) известны, то частоту р свободных колебаний можно найти из условия постоянства суммы кинетической энергии тела и его потенциальной энергии. Эго условие приводит к уравнению, содержащему лишь одну неизвестную величи­

ну р.

Однако указанные функции заранее неизвестны; ру­

граничными условиями и с ожидаемой формой колебаний. Подробно рассмотрим реализацию этой идеи для плос­ ких нзгибных колебаний стержня; в этом случае (]юрма ко­ лебаний определяется одной функцией (где г — коор­ дината произвольного сечения стержня). Свободные коле­

бания описываются зависимостью

соответственно которой потенциальная энергия изогнутого стержня составляет

(24.3)

О

и кинетическая энергия равна

(24.4)

о

здесь I — длина стержня, т=т(г) — интенсивность рас­ пределенной массы стержня.

Напомним, что величина д^и!дгг представляет собой кри­ визну изогнутой оси, a dvfdl — скорость при поперечных колебаниях; согласно (24.2) для этих величин можно за­ писать

! j T = f s i n p / , -= pi cos pt* (24.5)

180