книги / Устойчивость и колебания упругих систем. Современные концепции, парадоксы и ошибки

такие, как показанная на рис. 7.1, используются также в некоторых конструкциях пружинных двигателей в каче­ стве аккумуляторов энергии большой емкости.

Подробно исследуем свойства желобчатой полосы при чистом изгибе. Примем, что в ненагруженном состоянии образующие полосы параллельны оси г, а средним линия любого поперечного сечения представляет собой дугу ок­ ружности радиусом >. Через к и у обозначим главные центральные оси сечения.

При действии моментов М образующие будут искрив­ ляться, оставаясь в плоскостях, параллельных плоскости уг. В верхней части сечения (выше оси х, см. рис. 7.1) образующие будут укорачиваться, а в нижней части се­ чения — удлиняться. Примем, что сечения полосы, перпен­ дикулярные оси г и плоские до нагружения, остаются плоскими и мосле нагружения При этом удлинение любой образующей определяется выражением

где р — радиус кривизны образующей, у — координата точки пересечения образующей с плоскостью сечения (рис. 7.1). В рассматриваемой задаче важную роль играет изменение формы поперечного сечения полосы; поэтому

Гука найти, что продольное усилие Тг (т. е. усилие, рас­

где Е — модуль упругости материала полосы, А — ее толщина.

Найденное таким образом усилие Тг соответствует балочной схеме изгиба полосы; наряду с этим возникают моменты Мх, Мг и поперечная сила соответствующие изгибу полосы по схеме пластинки (или пологой оболочки). На рис. 7.2 изображен бесконечно малый элемент полосы ft dx dz и действующие на него усилия. Так как полоса испытывает чистый изгиб, ее поперечные сечения свободны от сдвигающих сил (параллельных срединной поверхности) и распределенных крутящих моментов; вследствие парности касательных напряжений этих усилий нег и в продольных сечениях полосы.

6!

Из условий равновесия элемента вытекают следующие два соотношения между усилиями:

Соотношение (7.3) получается из уравнения проекций на нормаль к срединной поверхности, записанного с у ч е ­ т о м и с к р и в л е н и и соответствующей образующей;

выражение (7.4) совпадает с аналогичным соотношением для балок. Из (7.3) и (7.4) следует, что продольное уси­ лие Тг и изгибающий момент Мх связаны между собой зависимостью

с приращениями соответствующих кривизн х х„ и x VI в пло­ скостях ху и yz следующими соотношениями:

62

Поэтому из (7.6) получаем следующие выражения для

Для определения постоянных С,, С,, С* и С» служат четыре граничных условия, выражающие отсутствие нагрузки на продольных кромках полосы:

Таким образом, найдена кривая j/(.v), описывающая форму искривленного поперечного сечения полосы и зависящая

63

Таблица значении М=-М

Как и в случае фермы Мизеса, поведение желобчатой полосы зависит от способа ее деформирования. Если по­ степенно увеличивать абсолютное значение изгибающего момента (положительного или отрицательного), то при

Н,кгснн

критическом значении (М =49кгс-мм и Л1= —бЗкгс-мм) должен произойти перескок в новое положение равновесии, весьма далекое от исходного. Из-за внезапного уменьшения момента сопротивления сечения перескок будет сопровож­ даться увеличением напряжений в десятки раз, а может

Как отмечалось во введении, в первом случае речь идет скорее о «потере равновесия», а не о потере устойчиво­ сти при Р>Рир. Во втором случае параметр Р изменяется как функция параметра v и о потере устойчивости вообще говорить нельзя (по крайней мере, в обычном смысле сло­ ва). Поэтому название главы неточно отвечает ее содержа­ нию, однако авторам не удалось найти лучшее заглавие.

§8. Общая устойчивость высотных сооружений

При проектировании высотных сооружений, таких, как, например, фабричные и заводские трубы, водонапорные

башни, радиомачты, телевизионные башни, опоры высоко­ вольтных линий передач, подпорные стенки и г . п., большое

внимание приходится уделять вопросу общей устойчивости сооружения. Очень часто устойчивость сооружении оцени­ вают отношением абсолютных значений удерживающего мо­ мента Мп и опрокидывающего момента Мопр:

которое называют коэффициентом устойчивости против опрокидывания. Оба момента вычисляются относительно ребра возможного опрокидывания О (рис. 8.1), причем при определении Мопр учитывают силы Рь Р.......... (дав­ ление ветра, грунта, воды, инерционные силы при земле­ трясениях и т. п.), а при определении /М,д— силы Qu Qt, . . • (силы веса). Существуют нормативные требования, определяющие в зависимости от типа конструкции мини­ мальное значение коэффициента устойчивости i onp (напри­

должна обеспечить общую устойчивость конструкции, гак как сопоставление удерживающих и опрокидывающих вли­ яний как будто полностью отвечает существу дела.

В действительности проблема сложнее, чем кажется на первый взгляд, и относительно высокие нормативные значения минимального коэффициента устойчивости, в сущ­ ности, призваны компенсировать недостоверность расчет­ ной методики. Дело не только в том, что расчетные нагрузки определяются недостаточно точно. Главный недостаток рас­ чета но формуле (8.1) состоит в полном пренебрежении податливостью системы, в особенности основания, располо­ женного иод фундаментом конструкции.

67

Пусть, например, речь идет об общей устойчивости жесткой колонны, которая через фундамент опирается на грунт и подвержена действию только собственного веса (рис. 8.2). Поскольку горизонтальные силы отсутствуют, опрокидывающий момент равен нулю, и по формуле (8.1) получится, что коэффициент устойчивости равен бесконеч­ ности, сколь бы высокой ни была колонна; конечно, с такой

9

эйлерову устойчивость жесткой колонны на упругом ос­ новании (рис. 8.3, а). В этих решениях принято, что фи­ зические свойства основания описываются моделью Вин­ клера *) (которая получила широкое распространение в расчетах балок, лежащих на сплошном упругом основа­ нии), т. е. что реакция основания в данной точке про­ порциональна осадке подошвы в этой же точке;

здесь с — коэффициент пропорциональности (коэффициент постели). В невозмущенном состоянии равновесия эпюра реакций основания имеет вид прямоугольника (рис. 8.3, б), а в отклоненном (возмущенном) состоянии равновесия —

*) Э. Винклер (1835—1888) — профессор теории сооружений и по­ стои в Дрездене, Праге, Вене и Берлине. Автор технической теории кривого бруса, ряда работ по расчету балок на упругом основании, не­ разрезных балок н арок.

68

ненном положении. Но то же равенство выполняется и при

Полученное значение силы Q является эйлеровой нагрузкой для рассматриваемой колонны.

Исходя из этого выражения. Н. П. Павлюк и Г. Крамер предложили принять за коэффициент устойчивости отно­ шение

Принципиальная ценность такого подхода бесспорна: устойчивость жесткой колонны получает вполне опреде­ ленную количественную оценку даже в случае, когда гори­ зонтальные силы отсутствуют.

Но если отказаться от критерия (8.1), то как оценить устойчивость колонны в том случае, когда имеются гори­ зонтальные нагрузки? Для ответа на этот вопрос необхо­ димо рассмотреть всю совокупность возможных состояний

равновесия при постепенном увеличении горизонтальных сил; конечно, исследование должно учетом

Ряс. 8.4. в) Схема к составлению уравне­ ния равновесия; 6) эпюра реакций основа­ ния при частичном отрыве подошвы фун­ дамента

податливости основания. На рис. 8.4. а изображена та же колонна, но под действием дополнительной горизонтальной силы Р. Для определения угла отклонения колонны сле­ дует воспользоваться уравнением моментов, которое, в от­ личие от (8.5), имеет вид

—Ph—Ql<p+cq>J =0, (88>

70