книги / Устойчивость и колебания упругих систем. Современные концепции, парадоксы и ошибки

(перемещений на нагрузки) определяется законами гидроаэродинамики. Поэтому задачи о поведении деформируе­ мых конструкций в потоке воздуха (жидкости) невозможно решать только методами теории упругости или только методами гидроаэродинамики; такие задачи лежат на стыке обеих наук и ныне относятся к самостоятельной научной дисциплине — теории гидроаэроупругости. Разумеется, что чем гибче конструкция, тем с большей отчетливостью выри­ совывается специфика гидроупругих или аэроупругих яв­ лений.

Среди различных аэроупругих явлений важное место занимают различные виды потери устойчивости авиацион­ ных конструкций. Некоторые из задач этого класса допу­ скают чисто статическую постановку в духе концепции Эйлера; здесь мы остановимся именно на таких задачах, относящихся к проблеме дивергенции несущих поверхно­ стей летательных аппаратов.

Начнем с элементарных сведений из области приклад­ ной аэродинамики и рассмотрим простейшую схему — об­ текание совершенно жесткой весьма длинной прямоуголь­ ной пластинки потоком воздуха. Ось г совместим с длинной

а) б)

Рис. 4.6. Схема действия воздушного потока на наклонную пластинку

стороной пластинки, а ось х — с направлением потока; на рис. 4.6, а изображено сечение пластинки, перпендику­ лярное оси г.

Угол а между направлением потока к плоскостью плас­ тинки называется углом атаки. Направление суммарной аэродинамической нагрузки на пластинку не совпадает с направлением потока: кроме составляющей X по направ­ лению скорости потока, возникает составляющая Y, пер­ пендикулярная скорости иотока. Первая составляющая на­ зывается лобовым сопротивлением, а вторая — подъемной силой (рис. 4.6, б). Они зависят от площади пластинки S, подвергающейся действию нагрузки, плотности воздуха р, скорости потока v и угла атаки а.

31

Установлено, что при умеренных скоростях (не пре­ восходящих 0,6—0,7 скорости распространения звука в воз­ духе) подъемная сила определяется выражением

Y = C, * £ S .

Дробь ро4/2, входящая в эту формулу, называется скорости ным давлением и представляет собой кинетическую энергию единицы объема воздуха. Коэффициент подъемной силы с8 при малых углах атаки пропорционален углу атаки а:

где dcjda — угловой коэффициент прямой, характеризую­ щей изменение коэффициента с,,. Таким образом, подъемная

Рис. 4.7. Схема действия воздушного потока на упруго закрепленную пластинку; начальный угол атаки равен пулю

сила Y также пропорциональна углу атаки а . Аналогично определяется и лобовое сопротивление X.

Обратимся теперь к простейшей задаче теории аэроулр угости — обтеканию весьма тонкой жесткой пластин- ки, упруго опертой вдоль левой кромки; будем считать, что невозмущенным является горизонтальное положение плас­ тинки (рис. 4.7, а). В этом положении она вообще не на­ гружена, так как а = 0 и вместе с этим Х=У=0. Однако это состояние равновесия может оказаться неустойчивым при достаточно большой скорости v потока, поскольку при отклонениях пластинки (рис. 4.7, б) возникает подъемная сила, возможно, способная удержать пластинку в откло­

32

Реакция упругой опоры при малом угле а составляет

R = сяЫ,

где с — коэффициент жесткости опоры, рассчитанный на

единицу длины пластинки.

Выясним, при каких условиях возможно равновесие пластинки в отклоненном положении. Условие равнове­ сия пластинки в отклоненном положении (рис. 4.7, б) имеет вид

w “ 'ee=0*

где a — плечо подъемной силы, которое приближенно будем считать не зависящим от угла атаки. В это уравнение не включен момент силы лобового сопротивления X, так как ее плечо aa — величина малая по сравнению с плечом

силы У. Таким образом,

Структура последнего выражения свидетельствует о возможности отклоненного состояния равновесия, когда афО. Для этого необходимо, чтобы равнялось кулю выра­ жение в скобках, входящее в уравнение (4.11):

Если задано значение с, то из (4.12) можно найти критиче­ скую скорость потока

(4.13)

а если задана скорость о, то критическое значение жестко­ сти определяется формулой

Для устойчивости пластинки необходимо выполнение условия 0< окр- Г/ри <?—г/кр иевозмушечное горизонтальное положение пластинки перестает быть устойчивым; «актив­ ность» аэродинамических сил становится достаточно боль­ шой для того, чтобы преодолеть сопротивление упругих связей и удержат!, пластинку в отклоненном положения

33

Можно сказать, что эффективная жесткость системы (против поворота вокруг оси шарнира) уменьшается при увеличении скорости v потока; при v=vnt эта жесткость обращается в нуль. Здесь легко заметить аналогию со свойствами сжатой гибкой стойки: ее жесткость в попереч­ ном направлении убывает с возрастанием сжимающей силы Р и обращается в нуль при Р=Р*V

Сходная ситуация может возникнуть при обтекании крыла самолета, имеющего некоторую конечную жесткость кручения. Как и для рассмотренной выше пластинки, уве­ личение угла атаки крыла приводит к появлению дополни­ тельного аэродинамического момента, стремящегося закру­ тить крыло и, следовательно, еще больше увеличить угол атаки. Поэтому с ростом скорости полета благодаря дейст­ вию аэродинамических сил эффективная жесткость круче­ ния крыла у м е н ь ш а е т с я . Полная утрата жесткости кручения крыла приводит к катастрофическим последстви­ ям; состояние, при котором эта жесткость обращается в нуль, называется дивергенцией крыла, а соответствующая скорость полета — критической скоростью дивергенции.

Приведенную выше формулу (4.13), конечно, нельзя непосредственно приложить к более сложной схеме задачи о скручивании крыла, ко принцип определения критиче­ ской скорости для крыла остается тем же. Из теории дивер­ генции крыла (основы этой теории заложены Г. Рейсснером в 1926 г.) следует, что критическая скорость убывает с уменьшением жесткости крыла при кручении, что анало­ гично результату, полученному и для нашей упрощенной схемы.

Критическая скорость дивергенции практически недо­ стижима, так как уже при меньших скоростях неизбежна поломка конструкций из-за конечных, но достаточно боль­ ших деформаций *). Считают, что именно такое «преддивергенционное» состояние явилось причиной аварии моноплана Лангли (1903 г ); из-за этой аварии авиационные конструк­ торы в течение долгих лет с опаской относились к монопланнон схеме самолетов.

Остановимся теперь на другом проявлении аэроупругой

статической неустойчивости, которое можно назвать дивер­ генцией панели. В отличие от схемы, изображенной на

рис. 4.7, где сама пластинка считалась жесткой, а подат­ ливость была распределена вдоль одной кромки (упругая

34

опора), здесь рассматривается упругая пластинка, жестко опертая вдоль одной из длинных кромок и свободная вдоль другой.

Пусть поток направлен параллельно невозмущепной срединной поверхности пластинки, как это изображено на рис. 4.8, а. Здесь же эскизно изображена искривленная

срединная поверхность, которую можно считать цилиндри­ ческой при достаточно большой длине пластинки (изме­ ряемой перпендикулярно плоскости чертежа) Как и в пре­ дыдущих задачах, постараемся выяснить условия, при которых наряду с невозмущенной формой равновесия (не­ изогнутая пластинка) возможна искривленная форма рав­ новесия, когда изгиб пластинки обусловлен соответствую­ щими этому изгибу аэродинамическими нагрузками.

Вообще говоря, обтекание заданной искривленной по­ верхности пластинки представляет собой сложную задачу аэродинамики; эта задача еще больше усложняется в рас­ сматриваемом здесь случае, когда форма изгиба пластинки не задана, а зависит от распределения аэродинамической нагрузки. Однако при больших сверхзвуковых скоростях потока решение может быть резко упрощено, если воспольг зоваться «поршневой теорией», согласно которой местное, давление на искривленную поверхность пропорционально местному углу атаки и скорости потока у:

где k — постоянная, y=y(z) — прогиб пластинки, a dyldz — местный угол атаки (рис. 4.8, б).

Запишем дифференциальное уравнение цилиндрического изгиба пластинки:

35

— цилиндрическая жесткость (Ё — модуль упругости ма­ териала, h — толщина пластинки, р — коэффициент Пуас­ сона). Подставляя в дифференциальное уравнение (4.16) выражение (4.15), получаем основноедифференциальное уравнение задачи в виде

представляет собой величину, зависящую от параметров пластинки и скорости потока v.

Далее ставится обычный для теории Эйлера вопрос: существуют ли такие значения параметра s, при которых, кроме тривиального решения у —О, дифференциальное урав­ нение (4.18) имеет другие решения, соответствующие ис­ кривленной форме равновесия, и при какой скорости потока это становится возможным? При достижении такой скорости невозмущенная форма перестает быть устойчивой и возни­ кает дивергенция. Для того чтобы ответить на этот вопрос, нужно, как и в обычных задачах продольного изгиба, об­ разовать общее решение дифференциального уравнения (4.16), подчинить его граничным условиям:

и, наконец, установить, при каких значениях параметра s возможны ненулевые решения.

Частное решение дифференциального уравнения (4.18) примем в виде

у=А(?*. (4.21)

Подставив его в дифференциальное уравнение (4.18), по­ лучим характеристическое уравнение

Это алгебраическое уравнение четвертой степени имеет че­ тыре корня, которые легко найти, представив его в виде

36

Приравнивая поочередно каждый из множителей нулю, находим следующие корни:

Соответственно выражению (4.21) общее решение дифферен­

Теперь нужно подчинить решение (4.25) граничным условиям (4.20); при этом получим четыре уравнения, од­

Конечно, эта система удовлетворяется нулевыми значения­ ми постоянных:

At = Аг— А'з= /44*= О,

что соответствует тривиальному решению t/=0. Для того чтобы постоянные Д(р А%, А'л, A't не обращались в нуль, необходимо, чтобы равнялся нулю определитель, состав-

37

Развертывая этот определитель, получаем следующее транс­

Графическое решение (рис. 4.9) дает единственный корень

Теперь из выражении (4.19) можно найти критическую скорость потока:

При этой скорости невозмущенная форма равновесия пластинки перестает быть устойчивой и возникает состояние дивергенции.

в. Силы, пропорциональные кривизнам (статическая неустойчивость трубопровода).

Рассмотрим возможность потери устойчивости верти­ кального участка упругого трубопровода, но которому течет жидкость со скоростью v (рис. 4.10, а).

Разумеется, что изображенное на рисунке состояние, при котором ось трубопровода прямолинейна, является состоянием равновесия при любой скорости течения жидкости V. Нам предстоит выяснить, может ли существовать искривленная форма равновесия, когда изгиб трубопровода создается (или, может быть, лучше сказать — поддержи­ вается) центробежными силами частиц жидкости; эти силы возникают вследствие кривизны траекторий частиц. Такая возможность естественна, так как при изгибе тру­ бопровода, например, вправо (рис. 4.10, б) центробежные

38

силы направлены также вправо, и вопрос состоит лишь в том, достаточно ли этих сил для поддержания изгиба. Примем координатные оси согласно рис. 4.10, б и обозна­ чим: у—у (г) — прогиб оси трубопровода, v — скорость потока жидкости, EJ — жесткость поперечного сечения трубопровода, q — вес жидкости, приходящейся на единицу длины трубопровода, g — земное ускорение.

Элемент нагрузки, занимающий участок длины dz,

а . о*

развивает силу инерции — ■jj- dz — ; здесь р — радиус кри­

визны траектории, т. е. радиус кривизны изогнутой оси трубопровода. При малых прогибах можно принять

Следовательно, интенсивность распределенной инерцион-

ной нагрузки составляет — “ • Таким образом, попе­

речная нагрузка на трубопровод «следит» за второй про­ изводной функции, описывающей прогибы оси трубопро­ вода; полезно заметить, что интенсивность этой нагрузки зависит от скорости потока.

Дифференциальное уравнение изгиба оси трубопровода должно быть записано в виде

Постоянные <4,. Аа, А» и А, должны быть определены таким образом, чтобы были удовлетворены граничные ус­

(он представляется единственно важным, как и в обычной

Подставляя сюда выражение (4.33). получаем значение

критической скорости:

Таким образом, когда о=у,;р, наступает потеря устой­ чивости прямолинейной формы равновесия и эффективная

потеря устойчивости происходит при той скорости, при которой реактивная сила струи <p»a/g равна критической силе Эйлера Не следует, однако, полагать, что труба сжи­ мается этой силой,— труба теряет устойчивость, вообще не испытывая сжатия.

Первые две задачи (см. рис. 4.1 к 4.2) приведены в книге Д. А. Уманского, А. М. Афанасьева, А. С. Вольмирэ, IO П. Григорьева, А. И. Коданева, В. Л. Марьина. Н. И. Пригоровского Сборник задач по сопротивлению материалов» (М.: Пч-тсхиздат, 1951).

40