книги / Устойчивость и колебания упругих систем. Современные концепции, парадоксы и ошибки

Энгессер падучил следующее выражение для критической силы:

в котором п — коэффициент, зависящий от формы попереч­ ного сечения (для прямоугольного сечения л=1,20). Оце­ ним порядок величины второго слагаемого знаменателя

nP«AGF) ~ P*V!{EF) ~ екр-

Как видно, это слагаемое имеет порядок относительного укорочения оси при сжатии стержня критической силой. Отсюда как будто вытекает, что вывод формулы Энгессера не вполне логичен: одновременно со сдвигами следовало бы учесть изменение длины оси (а также имеющее тот же порядок изменение момента инерции поперечного сечения вследствие поперечного расширения при продольном сжа­ тии). Но обе эти поправки весьма малы и вряд ли могут изменить значение критической силы больше чем на сотые доли процента. Если же вспомнить, что в самом законе Гука содержится еще большая погрешность, то станет ясным — самое логичное вообще пренебречь названными малосу­ щественными влияниями.

Именно так и поступают при анализе устойчивости сплошных стержней из изотропных материалов. Но форму­ ла Энгессера была выведена вовсе не для этих случаев, а рассчитана на приложение к с о с т а в н ы м стержням типа решетчатых стоек. При этом составной стержень условно заменяется э к в и в а л е н т н ы м сплошным стержнем, а величина GF/n формально описывает «квазисдвиговую» жесткость конструкции, в действительности обусловленную местным изгибом ветвей. Так как при пере­ ходе к эквивалентному стержню можно вычислить только комплекс GF/n, то обсуждение вопроса о взятых порознь величинах G, F и п вообще лишено смысла.

Расчеты показывают, что для составных стоек назван­ ного типа второе слагаемое в знаменателе (3.2) соизмеримо с единицей, так что критическая сила ощутимо отличается

состоит из двух крайних несущих тонких слоев из высоко­ прочного и относительно жесткого материала (металл,

22

стеклоили • углепластик) и толстого среднего слоя — значительно менее жесткого заполнителя, который должен обеспечить совместную работу всего пакета. В этих случаях в (3.2) следует подставлять модуль сдвига заполнителя; поскольку он относительно невелик, поправка к значению критической силы может оказаться довольно заметной.

Понятие об эквивалентном стержне может быть ис­ пользовано и при анализе устойчивости с ж а т ы х в и ­ т ы х п р у ж и н . В отличие от упомянутых выше слу­ чаев, при сжатии таких пружин происходит заметная осад­ ка; поэтому нужно учесть, что длина оси эквивалентного стержня в момент потери устойчивости отличается от на­ чальной длины. Хотя в полной теории устойчивости сжатых витых пружин следует также учитывать их сдвиговую податливость (как и для составных стержней), но мы здесь ограничимся анализом поправки только на изменение длины оси эквивалентного стержня.

Итак, допустим, что речь идет о потере устойчивости сжатого стержня, характеризуемого жесткостями EJ и EF. При выводе дифференциального уравнения, описывающего равновесную форму изогнутой оси стержня, нужно исхо­ дить из уточненного выражения для изгибающего момента

в котором 8=P/(EF) — относительное укорочение оси в предкритическом состоянии, х — кривизна оси, которую можно записать в виде х=о*. Рассматривая, например, слу­ чай стержня с шарнирно закрепленными концами, когда M——Pv, приходим к дифференциальному уравнению

o*-f а*о — 0,

в котором

а * “ я / (!— «)•

Далее находим общее решение

v —Cxsin аг -f С4 cos ал.

Подчинив его граничным условиям (начало координат сов­ мещено с неподвижным концом)

» (0 )= 0 , » (М 1 ~ 8 )]= о ,

получим

а/, (1 —е) = я.

83

Подставляя сюда (3.4), найдем соотношение

ря*EJ

ll(\- Pi(EF)) *

которое представляет собой квадратное уравнение отно­ сительно критической силы. Наименьший корень этого

Рис. 3.1. Зависимость коэффициента критической силы ро т гибкости сжатого стержня

в зависимости от гибкости К. Любопытно, что при Х<2я вещественных значений критической силы не существует, т. е. потеря устойчивости вообще невозможна. Причина состоит в том, что благодаря существенному уменьшению длины (при возрастании сжимающей силы) стержень как бы ускользает от опасности потери устойчивости. Здесь кстати отметить, что в 1946 г. Н. А. Чернышев исследовал устойчивость витой пружины при сжатии, не привлекая понятия эквивалентного стержня и рассматривая пружину как пространственный стержень с осью двоякой кривизны. При этом, в частности, установлено, что существуют пру­ жины, не теряющие устойчивости.

Итак, поправки к формуле Эйлера имеют практический смысл только в тех случаях, когда используется эквивалент­ ная стержневая модель более сложной конструкции, обла­ дающей заметной податливостью при сдвиге и (или) сжатии; для обычных сплошных стержней в этих поправках нет не­ обходимости.

24

Вывод формулы Энгессера см., например, в книге С. П. Тимошенко «Устойчивость упругих систем» (М.: Гостехиздат, 1955), где также из­ ложена данная в 1925 г. Бицено и Кохом теория устойчивости сжатых пружин. Исследование Н. А. Чернышева воспроизведено в книге «Рас­ четы на прочность в машиностроении» под ред. С. Д . Пономарева (М.: Машгиз, 1960, т. iff, гл. XXII). Влияние укорочения оси описано во втором издании нашей книги с ошибкой; эта ошибка связана с выраже­ нием (3.3) и была исправлена в статье авторов, опубликованной в 1968 г. (Инженерный журнал, Механика твердого тела, 1968, .V? 2).

Вопросы, которых мы коснулись в настоящем параграфе, с большой отчетливостью освещены в книге Н. А. Алфутов?. «Основы расчета на устойчивость упругих систем» (М.: Машиностроение, 1978).

§4 . Нагрузки, зависящие от перемещений

Для того чтобы уловить специфику рассматриваемых здесь задач, нужно сразу отказаться от некоторых пред­ ставлений, привычка к которым воспитана обычной поста­ новкой задач теории упругости и сопротивления матери­ алов. В большинстве таких задач нагрузка тем или иным образом задана. При этом считается, что упругие пере­ мещения зависят от нагрузки, но сами на нагрузку не влияют.

Существует, однако, обширный класс задач, для кото­ рых типично в з а и м о в л и я н и е нагрузок и пере­ мещений: не только перемещения зависят от нагрузки, но п сами нагрузки меняются в зависимости от перемещений. Такие нагрузки не остаются безучастными к изменениям координат точек системы и как бы «следят» за этими изме­ нениями.

В частности, можно выделить два типа следящих на­ грузок.

К первому относятся нагрузки, направление которых задано и неизменно, но значения тем или иным образом

реакции (например, реакции упругих опор, которые тоже меняют свое значение в зависимости от их осадки). Осо­ бенностью рассматриваемых здесь нагрузок является сов­ падение их направления с направлением перемещения (уп­ ругие реакции направлены всегда противоположно пере­ мещениям соответствующих точек системы).

Второй тип охватывает случаи, когда за перемещениями упругой системы «следит» направление нагрузок.

Как оказывается, различия между этими типами задач весьма существенны и каждый из них целесообразно рас­ сматривать отдельно. В рамках настоящего параграфа мы

25

ограничимся только задачами первого типа (задачи второго типа обсуждаются ниже, в гл. IV).

Вот, например, две задачи, помещенные в одном задач­

Рис. 4.1. Консольная балка под действием силы, пропорциональной прогибу свободного конца

котором прямолинейная форма балки будет неустойчивой. Жесткость балки EJ, длина I (рис. 4.1).

i

у

Рас. 4.2. Двухопорпая балка под действием нагрузки, интенсивность которой пропорциональна прогибам

Определить наименьшее значение коэффициента к, при котором прямолинейная форма балки станет неустойчивой (рис. 4.2).

Вэтих системах нагрузки реагируют на линейные перемещения, пропорциональны им и совпадают с ними по направлению.

Взависимости от физической природы рассматриваемых

здесь сил (или моментов) они могут определяться не про­ гибами, как в только что приведенных задачах, а угловыми, перемещениями или кривизной оси стержня.

*) В этом параграфе было бы неудобно обозначать перемещение буквой v (ею будет обозначаться скорость).

26

Все эти случаи последовательно иллюстрируются в на­ стоящем параграфе, причем каждый раз выясняется воз­ можность потери устойчивости. Здесь читатель сможет убедиться в том, что возникновение состояния нейтрального равновесия и потеря устойчивости в эйлеровом смысле вовсе не обязательно связаны с традиционным представле­ нием о продольном изгибе сжатого стержня.

а. Силы, пропорциональные перемещениям (потеря ус­ тойчивости стержня, находящегося в магнитном поле).

Силы магнитного притяжения меняют свое значение в за­ висимости от расстояния между магнитом и якорем; поэто­ му, если последний упруго закреплен и может перемещаться, то эти силы представляют собой нагрузку, следящую за упругими перемещениями.

Сначала рассмотрим «точечный» якорь, находящийся в стационарном магнитном поле, симметричном относительно

27

и направлена в сторону перемещения. При весьма малых отклонениях (у<Са) можно приближенно принять

Согласно этому линеаризованному выражению равнодей­ ствующая сил притяжения магнитов пропорциональна сме­ щению у.

Вообразим себе, что вследствие какой-либо случайной причины якорь выведен из среднего положения. Соответ­ ственно эйлеровой концепции нужно выяснить, является ли отклоненное состояние состоянием равновесия. Условие равновесия якоря

- с у + ^ - 0

позволяет заключить, что при коэффициенте жесткости с, равном

При этом критическом значении коэффициента жестко-, сти восстанавливающая сила упругого стержня составляет —СкРУ——4/Су 'ft*, т. е. в точности уравновешивает силу R. Если с > с кр, то исходное состояние равновесия якоря устойчиво. Если же с < с кр, это состояние неустойчиво: при. любом малом отклонении равнодействующая сил притяже­ ния магнитов оказывается большей, чем восстанавливаю­ щая сила упругого стержня, и после начального возмущении, якорь будет все дальше уходить от исходного положения! вплоть до полного «прилипания» к одному из магнитов.

Рассмотрим теперь систему с распределенными парат метрами — консольный упругий стержень (рис, 4.4), на

который действует распределенная нагрузка

4ky

(4.3)

в*

(у=у(г) — прогиб в произвольном сечении). Такая нагруз­ ка может быть создана двумя рядами магнитов, часто рас­ положенных вдоль стержня с двух его сторон. Дифферен­ циальное уравнение изгиба стержня

4г* «*

28

перепишем в виде

Общее решение уравнения (4.4) содержит четыре постоянные и имеет вид

у = At sh az + Ааch аг + Ая$inaz -f A4cos az. (4.6)

Это решение должно удовлетворять граничным условиям:

0 = ° . -3? = ° ПРИ г = ° .

ПРИ z=sL

Подставляя сюда решение (4.6), находим

At + A4= О,

(4.7)

Л, s h a /-l-^ 4ch a (— H jS in a/— /44cosa/ = 0, А, ch al | sh a / — Аяcos cU A4sin се/ = 0.

Полученная система уравнений (4.7) однородна относи­ тельно постоянных и поэтому удовлетворяется тривиальным решением

Аг*=Ая = А9ш*А4 = 0.

Но такому решению соответствует функция уш0, что под­ тверждает очевидный факт — прямолинейная форма есть форма равновесия. Чтобы найти искривленную форму равновесия, нужно предположить, что не все постоянные At равны нулю; система уравнений (4.7) имеет ненулевые ре­ шения лишь при условии, что равен нулю ее определитель:

Развернув определитель, придем к следующему трансцен­ дентному уравнению:

29

На рис. 4.5 дано графическое решение этого уравнения; его наименьший корень равен

Подставляя сюда выражение (4.5), получим критическое соотношение между параметрами системы

у = Ах[sh az —sin a z — 1,3622 (ch az—cos оса)],

содержащее единственный неопределенный параметр Аи характеризующий масштаб кривой изгиба. Так, принимая

X

Рис. 4.4. Упругий стер­ жень в однородном маг­ нитном поле

/4Х= —0,3671, мы получим кривую с единичной ординатой при z—l:

у= 0,3671 (sin 02—sh az) -f 0,5 (ch az—cos az).

6.Силы, пропорциональные углам поворота (аэроупру• гая статическая неустойчивость). К рассматриваемой здесв

категории нагрузок относятся аэродинамические нагрузки (например, нагрузки па крыло летящего самолета), которые реагируют на изменения положения и формы обтекаемой конструкции.

В то время как п р я м о е влияние (нагрузок на упру, гие перемещения) изучается методами теории упругости илй сопротивления материалов, о б р а т н о е влияний

30