книги / Устойчивость и колебания упругих систем. Современные концепции, парадоксы и ошибки

где А — ордината точки приложения силы Р. Для упроще­ ния выкладок мы не учитываем различия между углом ф и его функциями sin ф и tg ф (в данном случае речь идет

о малых, но конечных углах ср и такое различие все же

существует).

Эта зависимость справедлива лишь до тех пор, пока эпюра реакций основания имеет вид трапеции, как это показано на рис. 8.3, в. Однако с ростом угла ф в конце концов на­ ступит такое состояние, когда реакция у левого края по­ дошвы обратится в нуль, а затем — с дальнейшим увеличе­ нием угла ф — эпюра реакций основания приобретает вид. изображенный на рис. 8.4, 6 (левая часть подошвы фунда­ мента отрывается от основания).

Опуская элементарные выкладки, приведем оконча­ тельные выражения для случая, когда подошва фунда­ мента — прямоугольник со сторонами а и Ь, так что J= =AaV 12. Угол ф, при котором происходит переход от тра­ пециевидной эпюры к треугольной, определяется формулой

При дальнейшем росте угла ф момент реакции осно­ вания определяется выражением

<8 | 2 >

где I — ширина зоны контакта основания с подошвой:

7)

На рис. 8.5 графически представлены линейная зависи­

колонны.

Прежде всего отметим, что нелинейный характер вто­ рой части кривой есть непосредственное следствие физиче­ ских условий взаимодействия фундамента с основанием — при отрыве подошвы фундамента от основания момент рас­

ток (отмеченный крести­ ками) выражает совокупность неустойчивых состояний равновесия.

На том же рис. 8.5 горизонтальной штриховой прямой показан уровень, характеризующий опрокидывающую силу Рт, вычисленную в предположении абсолютной жесткости основания, т. е.

(8.16)

Эго значение следует из (|юрмулы (8.1 , если положить в ней fr= l. Можно убедиться в том, что максимум кривой на рис. 8.5 всегда расположен ниже прямой (8.16). Действи­ тельно, максимум выражения (8.15) достигается при сле­ дующем значении угла отклонения колонны:

которому соответствует кри iичсская нагрузка

<8.18

всегда меньшая, чем сила, данная выражением (8.16).

П

Пусть дана некоторая сила Р<Ркр. Коэффициентом устойчивости системы естественно считать отношение Рир/Р, показывающее, во сколько раз предельная сила больше фактически действующей силы. Но если воспользоваться выражениями 0 .1) и 0.16). то для коэффициента устойчиво­ сти получится большее значение PJP. Отсюда следует, что формула (8.1) п р е у в е л и ч и в а е т действительный запас устойчивости.

Это преувеличение может оказаться очень значитель­

ным; оно зависит от характерного отношения cJ/(Qt). Так, например, даже для колонны, характеризуемой весьма

высоким значением отношения c//(Q /)=8, применение фор­ мулы (8.1) повлекло бы за собой двукратную ошибку.

Стремясь к наиболее отчетливому выявлению роли податливости основания, здесь мы сознательно не счита­ лись, по крайней мере, со следующими четырьмя обстоя­ тельствами;

1. При записи уравнения равновесия мы заменили три­ гонометрические функции sin ф и tg ф значениями самого угла <р. При решении задачи Эйлера, т. е. при выводе фор­ мулы (8.6), такая замена не только допустима, но и естест­ венна, поскольку по смыслу вывода рассматриваются сколь угодно малые углы ф. Однако при построении кривой равновесных состояний, относящейся к случаю действия горизонтальной силы Р, указанная замена, вообще говоря, влечет за собой некоторые количественные ошибки.

2. Собственная жесткость колонны считалась бесконеч­ но большой; при учете деформативности самой колонны вся кривая равновесных состояний расположится ниже кри­ вой, изображенной на рис. 8.5.

3.При больших осадках основания зависимость Вин­ клера плохо описывает реальные свойства основания. Упругопластические свойства основания также будут спо­ собствовать уменьшению ординат части кривой равновес­ ных состояний.

4.Сила Р может менять свое направление, следуя повороту колонны (особенно это ясно, например, в случае

давления воды); этот интересный вопрос был исследован Я. Б. Львиным в 1950 г.

Хотя в практических расчетах названные обстоятельства необходимо учитывать, но это будут уточнения количеств венного, а не качественного характера.

Работа Н. П. Павлюка опубликована в сборнике «Труды Ленин­ градского института инженеров коммунального строительства» (Л.? 01Ш 1, 1935, вып. II).

73

Статью Г. Крамера см. в журнале «Zement* (1936, № 4, с. 621 Статья Я. Б. Львина «Об устойчивости жестких стен н массивов на упругом основании при действии произвольно направленных, в гом числе поворачивающихся, сил» опубликована в сборнике «Труды Во­ ронежского инженерно-строительного института» (1950, выл. 2).

§ 9 . Об особенностях «деформационных расчетов»

В работе «Об устойчивости упругих систем» Г. Циглер, характеризуя различные методы исследования устойчиво­ сти, в частности, пишет: «...некоторые задачи устойчивости могут быть решены „методом неидеальиостей", . . . этот ме­ тод характеризуется следующим вопросом: какова вели­ чина силы, при которой прогибы неидеальной системы становятся неограниченно большими?» Здесь под нсидеальностями понимаются различные отклонения от идеализиро­ ванных условий, характерных для эйлеровой постановки

Рмс. 9.1. а) Схема внелентренно нагруженного стержня; б) кривая

равновесных состояний, соответствующая уравнению (9.4); а) кривая равновесных состояний, построенная с учетом нелинейностей системы

задач устойчивости. Так, к неидеалыюстям сжатого стерж­ ня относятся начальные эксцентриситеты сжимающей силы, начальная погибь оси, асимметрия физических свойств (воз­ никающая, например, вследствие остаточных напряжений от сварки, прокатки или правки) и т. л.

Существенная особенность решения по методу неидсальностей состоит в том, что отклонения от исходной кон­ фигурации системы (например, изгиб оси сжатого стерж­ ня) возникают с с а м о г о н а ч а л а нагружения я — в

74

Некоторые авторы явно предпочитают метод нендеальностей и учитывают в анализе те или иные начальные несовершенства даже в тех случаях, которые в принципе допускают эйлерову постановку проблемы. Так, в книге «Устойчивость упругих систем» С. П. Тимошенко систе­ матически избегает эйлеровой постановки и, например, критическую силу для гибкого стержня определяет из решения задачи о внецентренном сжатии. При этом основ­

(v=v(z) — прогиб точек оси стержня, a*=Pf(EJ), Р — сжимающая сила, EJ — жесткость при изгибе), рассмат­ ривается неоднородное дифференциальное уравнение

в котором е — эксцентриситет сжимающей силы. Решение уравнения (9.2), удовлетворяющее граничным условиям задачи, имеет вид

где I — длина стержня. За последовательным развитием изгиба можно проследить, например, по значениям прогиба в середине пролета, т. е. при z=0,5f:

( 9 ' 4 )

Из последнего выражения видно, что с ростом безразмер­ ного параметра al (и соответственным увеличением сжи­

мающей силы) прогиб монотонно увеличивается и при

становится неограниченно большим; график, иллюстрирую­ щий зависимость (9.4), представлен на рис. 9 .1,6 . Под-

75

ставляя в (9.5) выражение а, находим соответствующую этому критическому состоянию силу:

(9.6)

которая, как видно, совпадает с наименьшей эйлеровой силой; кстати заметим, что результат (9.6) ие зависит от

начального эксцентриситета.

В пользу такого метода (называемого иногда деформа­ ционным расчетом) обычно выдвигается то соображение, что идеальных условий практически быть ие может и учет неидеальностей приближает постановку задачи к реальным условиям.

Но для того чтобы в самом деле приблизить решение к действительности, необходимо пользоваться полным вы­

ражением для кривизны изогнутой оси, т. е; учитывать

геометрическую нелинейность (заметим, что это вовсе не требуется при исследовании устойчивости с помощью дифференциального уравнения (9.1), где по смыслу задачи прогибы v(z) бесконечно малы).

Если не обращать внимания на это обстоятельство, то деформационный расчет приобретает несколько условный характер и уже не может претендовать на хорошее при­ ближение к реальным условиям. Так, если учесть истинные нелинейности процесса, то для внецентреннего сжатия шар­ нирно опертого стержня вместо кривой, характеризующей связь Р—о, представленной на рис. 9.1, б, получится кри­ вая, изображенная на рис. 9.1, а; в принципе ома совпадает с кривой на рис. 8.5 предыдущего параграфа, где задача деформационного расчета решалась с учетом конструктив­ ной нелинейности. Поэтому, как правило, деформационный расчет имеет смысл лишь в нелинейной постановке.

Деформационный расчет обладает еще одной особен­ ностью, которая с большой отчетливостью выявляется при анализе следующего случая.

В первом томе книги Бюргермейстера и Штойпа «Теория упругой устойчивости» (1957) в качестве примера была решена задача о впепентренном сжатии стержня, изобра­ женного на рис. 9.2, а, В принятых выше обозначениях дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня запи­ сывается так:

(9.7)

76

Решение уравнения (9.7), удовлетворяющее граничный условиям задачи, имеет вид

и описывает антисимметричную относительно середины пролета форму изогнутой оси. Так. например, при z = «0,25/, т. е. в четверти пролета, прогиб составляет

На рис. 9.2, б изображен график, соответствующий этой зависимости.

Конечно, по адресу этого решения могут быть повторе­ ны высказанные выше упреки, касающиеся пренебрежения

Рнс. 9.2. а) Схема внсиентренно нагруженного стержня; б) кривая

Равновесных состояний, соответствующая уравнению (9.9); в) кривая

равновесных состояний, отражающая бифуркацию форм равновесия

о точке а; г) кривая равновесных состояний системы с «вторичной» неидеальностыо

нелинейными эффектами, но не об этом сейчас пойдет речь; график па рис. 9.2, б приводит к неожиданному — и, нужно сказать, п о д о з р и т е л ь н о м у * —выводу

77

тенденций и отмеченное на графике состояние равнове­ сия о — самое заурядное с качественной стороны, ничем

не отличающееся от других состояний равновесия, харак­ теризуемых другими точками кривой.

Над этим стоит задуматься: ведь получается, что бла­

в существо деформационного расчета. Дело в том, что этот метод устанавливает совокупность равновесных состояний, отвечающих различным уровням нагружения, но по своей природе не дает возможности судить об устойчивости этих состояний. Поэтому может оказаться, гго какое-либо из

указанных состояний (ничем не примечательное на графике рис. 9.2, б) само по себе неустойчиво. Мы имеем здесь в виду,

например, возможность того, что наряду с таким состоя­ нием равновесия при той же нагрузке существует смежная форма равновесия. В сущности, такая возможность уже

обсуждалась выше, в конце § 5.

Для контроля устойчивости того или иного состояния равновесия нужно проверить, не существует ли функция,

которая отличается от (9.8), но удовлетворяет тому же дифференциальному уравнению (9.7). Обозначим эту функ­ цию через v(z)-h6v(z), где 6v(z) — вариация функции v(z).

Если окажется, что при данном значении нагрузки сущест­ вует не равная тождественно нулю функция 6о(г), то форма

равновесия v(z) должна быть признана неустойчивой',

если же бо(г)^0, то функция v(z), как единственно удовле­ творяющая дифференциальному уравнению (9.7), описы­ вает устойчивое состояние равновесия. Подставим в диффе­ ренциальное уравнение (9.7) сумму Н-б»:

78

Если теперь вычесть уравнение (9.7) из уравнения (9.11), то мы получим следующее дифференциальное уравнение для вариации 6о:

с уравнением (9.1), к которому мы пришли бы, забыв об эксцентриситетах и исследуя устойчивость прямолинейной формы равновесия центрально нагруженного стержня по методу Эйлера. При постепенном росте нагрузки (параметра а/) уравнение (9.12) имеет только тривиальное решение

лишь до тех пор, пока а /< я . При а(=*я появляется не­ тривиальное решение дифференциального уравнения (9.12), удовлетворяющее граничным условиям задачи:

Следовательно, как только будет достигнут уровень на­ гружения Ы—я (при Р —я 8£ / // г), исследуемая форма равновесия (9.8) становится неустойчивой. Соответственно кривая Р—v в действительности должна выглядеть так, как это показано на рис. 9.2, в (нелинейности не учтены!).

Хотя только что приведенное решение внешне выгля­ дит, как решение задачи Эйлера (сравните дифференциаль­ ные уравнения (9.1) и (9.12)), но необходимо иметь в виду,

Этот пример показывает, что, пользуясь деформацион­ ным расчетом и игнорируя исследование устойчивости в прямом смысле слова, мы можем ошибочно оценить истин­ ные свойства системы.

Впрочем, если ввести в рассмотрение «вторичную» неидеальность в виде некоторой малой разницы в экс­ центриситетах на концах стержня, то получится кривая Р—о, изображенная на рис. 9.2, г, весьма близкая к кри­ вой, представленной на предыдущем рис. 9.2, в.

Любопытно отметить, что Бюргсрмейстер и Штойп, получив решение в виде (9.8), не смогли правильно истол­ ковать этот результат. Понимая, что при а /= я стержень обязательно должен потерять устойчивость, они — вместо

79

анализа устойчивости решения (9.8) — сгреблись обиаружить это по структуре выражения (9.8). Указанным авто­ рам показалось, что второй член в квадратных скобках выражения (9.8) становится неопределенным при а /= л , и на этом основании они заключили, что при al—п насту­ пает потеря устойчивости. Бюргермейстер и Штойп не за­ метили, что после раскрытия неопределенности этот член оказывается равным нулю и решение принимает вполне определенный вид:

Как мы видели выше, это вполне определенное и конеч­ ное решение неустойчиво; но, чтобы это заметить, недоста­

точно рассматривать выражение (9.8) безотносительно к дифференциальному уравнению (9.7).

Все изложенные выше соображения справедливы не только для задач о продольном изгибе стержней. Вспом­ ним, например, задачи, решенные в § 4. Все они были спе­ циально сформулированы таким образом, чтобы можно было обнаружить потерю устойчивости в эйлеровом смысле. Но нередко те же системы могут обладать теми или иными неидеальностями, и тогда анализ поведения систем требует решения неоднородных уравнений.

Рассмотрим пример с трубопроводом (рис. 4.10) и убе­ димся, что и в этом случае метод неидеальностей может обнаружить свою недостаточность. Допустим, что ось трубопровода в исходном состоянии имеет S-образную

при деформации трубопровода, то изогнутая ось опишется суммой уо+у. Соответственно интенсивность сил инерции

80