книги / Устойчивость и колебания упругих систем. Современные концепции, парадоксы и ошибки

В каких случаях можно ожидать возникновения такой ситуации? Уже Г. Циглер отметил, что неожиданное рас­ хождение результатов связано с неконсервативпостью рас­ смотренной системы. В 196/ г. В. В. Болотин писал: «Если силы нс обладают потенциалом, то границы устойчивости, установленные для системы с исчезающе малым затуханием н для системы без затухания, вообще говоря, не совпадают».

Таким образом, под подозрение справедливо попадают л ю б ы е решения задач об устойчивости неконсерватив­ ных систем, найденные в исходном предположении об иде­ альной упругости. Именно так поставлен вопрос в статье В. В. Болотина и Н. И. Жинжера (1969 г.), где авторы пред­ лагают заново пересмотреть результаты прежних исследо­ ваний устойчивости неконсервативных систем. Названная статья посвящена изучению роли вязких свойств материала в задачах устойчивости неконсервативных систем, в част­ ности в задаче Бекка; для описания этих свойств авторы пользуются стандартной линейной вязкоупругой моделью твердого тела, которой соответствует следующий вид связи между напряжениями о и деформациями е:

я о + о = £ е - { - А ё

(л, Е, k — постоянные). В частности, было найдено, что при п—0 (модель Кельвина — Фохта) и при исчезающе ма­ лом значении k коэффициент в выражении (15.9) оказывает­ ся равным 10,94, а не 20,05, как нашел Бекк.

Соображения, близкие к изложенным выше, были также высказаны некоторыми другими авторами, в частности Г. Геррманом. Тем более любопытно, что в 1972 г. появи­ лась статья Г. Геррмана (в соавторстве с Т. Смитом), в кото­ рой рассмотрена задача Бекка с усложнением в виде сплош­ ного безынерционного упругого основания, но демпфирова­ ние с самого начала полагалось о т с у т с т в у ю щ и м ; при этом было найдено, что критическое значение силы н е

прямым следствием чрезмерно раннего перехода к вырож­ денной идеально упругой модели. И. И. Волошин н В. Г. Громов рассмотрел» задачу Геррмана — Смита в предпо­ ложении, что свойства материала стойки описываются стан­ дартной линейной вязкоупругой моделью, и получили, что критическая сила з а в и с и т от коэффициента жесткости основании — лаже при обращении в нуль коэффициентов, характеризующих вязкие свойства.

Таким образом, ныне стала общепринятой точка зре­ ния, согласно которой квазиустойчивые состояния равно­ весия следует считать практически неустойчивыми.

Однако здесь полезно обратить внимание на одно не

растаются колебания, возникающие после возмущения квазиустойчивых состояний равновесия; конечно, для этого нужно вычислить вещественные (положительные) части корней характеристического уравнения. Оказывается, что при достаточно малых значениях параметров трения размахи возрастают настолько медленно, что в течение мно­ гих тысяч циклов колебания практически не отличаются от гармонических (любопытно, что это свойство характерно для возмущенных движений только окаю квазистатических состояний равновесия). Из этого следует, что для некоторых конструкций кратковременного использования квазиустойчивые состояния могут быть признаны устой­ чивыми на конечном промежутке времени.

О парадоксе Циглера см. его статью, указанную на с. 82 настоящей книги, монографию В. В. Болотина «Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости* (М/. Физмзтгиз, 196!) и книгу Г. Циглера «Ос­

Solids Structures* (1969, № 9). Статью Г. Геррмана и Т. Смита см. в жур­ нале «Прикладная механика» (Trans. ASME) (1972, № 2); основной вывод этой статьи опровергнут И. И. Волошиным и В. Г. Громовым в работе, опубликованной в «Изв. АН СССР, МТТ» (1977, № 4).

Одновременное влияние внутреннего н внешнего трения на устой­ чивость консольного стержня, нагруженного на свободном конце сле­ дящей силой, изучено в работе Г. Г. Денисова н В. В. Новикова «Об устойчивости стержня, нагруженного „следящей" силой» (Изв. АН

СССР, МТТ, 1975. № !). Общие условия, при которых происходит де­ стабилизация механической системы вследствие внутреннего трения, см в работе тех же авторов «Об устойчивости упругих систем с малым внутренним трением* (Изв. АН СССР, МТТ, 1978, № 3).

Г л а в а V

ПРОДОЛЬНЫЙ ИЗГИБ НЕ ВПОЛНЕ УПРУГИХ СТЕРЖНЕЙ

В предыдущих четырех главах мы касались случаев потери устойчивости систем из вполне упругого материала. В этой главе рассматриваются вопросы упругопластическо­ го продольного изгиба и продольного изгиба с учетом пол­ зучести (при обычных «неследящих» нагрузках).

132

§ 17. Упругопластический продольный изгиб; классическая концепция

До сих пор продолжается дискуссия о теории продоль­ ного изгиба при напряжениях, превосходящих предел про­ порциональности, начало которой связано с именами Ф. Энгессера, Ф. С. Ясинского и Т. Кармана. В этом параграфе мы напомним основные черты классической концепции уп­ ру гопластического продольного изгиба с тем, чтобы в сле­ дующем параграфе обратиться к новым идеям в этой области.

Известно, что если критическое состояние наступает при напряжениях, меньших предела пропорциональности, то теория Эйлера дает правильное значение критической силы; это отвечает случаю нагружения гибких длинных стоек. Для продольного изгиба относительно коротких стоек не­ обходимы большие сжимающие силы, и потеря устойчивос­ ти наступает при напряжениях, превосходящих предел пропорциональности; в этих случаях формулой Эйлера поль­ зоваться нельзя.

В 1845 г. Ламарль впервые вычислил то значение гиб­ кости стержня, которое снизу ограничивает область при­ менимости формулы Эйлера. Оказалось, что наиболее часто встречающиеся в инженерной практике значения гибкости лежат н и ж е указанной гра­ ницы. Сложилось некоторое парадоксальное положение:

теория Эйлера могла дать от­ веты, относящиеся лишь к области, мало интересующей технику, а явление потери ус­ тойчивости в практически са­ мой важной области (при отно­

подвести теоретическую основу под вычисление критических сил для коротких стержней. В 1889 г. Энгессер предложил исходить из действительной диаграммы сжатия материала <т=ст(е) (рис. 17. П и вычислять критическую силу по форму­ ле Эйлера, но с заменой модуля упругости £ на касательный модуль £*:

07 1)

133

Касательный модуль определяется углом наклона касатель­ ной к кривой напряжение — деформация:

и представляет собой переменную величину, зависящую от напряжения о, при котором происходит потеря устойчи­ вости.

Энгессер пользовался схемами деформаций и напряже­ ний, изображенными на рис. 17.2. За счет изгиба стержня

Рис. 17.2. Изменение деформаций (а) и напряжений (б) 1Ю Эигессеру

деформации сжатия в одной части сечения увеличиваются, в другой — уменьшаются; в целом изменение деформации Де следует закону плоскости (рис. 17.2, а), а приращения напряжений До пропорциональны соответствующим прира­ щениям деформаций Де (рис. 17.2, б), причем коэффициен­ том пропорциональности служит касательный модуль:

изображено па рис. 17.2, б. Эти представления о распреде­ лении напряжений о приводят к необходимости замены мо­ дуля упругости Е на касательный модуль £*.

Однако Энгессер упустил из виду, что зависимость (17.3) справедлива лишь для правой части сечения, где происхо­ дит догрузка части сечения (напряжения сжатия растут). В левой части сечения напряжения сжатия убывают, а

134

впервые экспериментально установленной Герстнером *) и неоднократно подтвержденной впоследствии. Согласно закону Герстнера процессы догрузки и разгрузки отлича­ ются от изображенного на рис. 17.1 и в действительности выглядят так, как это изображено на рис. 17.3. а. Соответ­ ственно эпюры е и о должны иметь вид, представленный на рис. 17.3, б и в . Эти особенности в том же 1839 г. отметил Консидер в докладе «Сопротивление сжатых стержней»,

Рис. 17.3. При продольном изгибе возникает разгрузка в части сечения: а) зависимость напряжения от деформации; б) эпюра деформации; в) эпюра напряжений

представленном Международному конгрессу по конструк­ циям (доклад был опубликован лишь в 1891 г.).

замечания по поводу статьи Энгессера. Последний сразу откликнулся на критику Ф. С. Ясинского и в том же 1895 г. дал исправленную общую формулу для критической силы:

(17.5)

*) Ф. И. Герстнер (1756—/832) — профессор Пражского универ­ ситета в 1789—1806 гг. В 1806 г. организовал в Праге «Чешский тех­ нический институт» и до конца своей жизни являлся его директором, выполняя одновременно обязанности профессора механики. Приведен­ ная зависимость была впервые опубликована в 1831 г.

••) Феликс Станиславович Ясинский (1856—1899) после окончания Петербургского института инженеров путей сообщений (1877) вел боль­ шую практическую и исследовательскую работу. С 1895 г. являлся профессором того же института.

135

в которой £*# — величина (названная позднее приведен­ ным модулем упругости), зависящая от модулей Е и £ ,,

а также от формы поперечного сечения стержня. Однако дискуссия между Энгессером и Ясинским сначала не при­ влекла широкого внимания, и формула (17.5) была вторич­ но получена Т. Карманом в 1909 г.; Т. Карман также дал выражение приведенного модуля для прямоугольного се­ чения:

общее признание, прочно вошла в научную и учебную лите­ ратуру и долго сохраняла монопольное значение; с помощью теории приведенного модуля была исследована устойчи­ вость ряда конструкций, более сложных, чем простая стойка.

Для иллюстрации различных подходов к определению критической силы воспользуемся упрощенной моделью стойки, изображенной на рис. 17.4; эта модель представляет собой абсолютно твердое тело, опирающе­ еся на два линейно деформируемых опор­

ных стержня.

Прежде всего определим для на­ шей стойки эйлерову критическую силу,

считая, что материал обоих опорных

стержней неограниченно следует закону Гука. Обозначим через а начальную длину каждого из стержней, через b — расстояние между стержнями и через F — площадь сечения

*) Любопышо, что формула Эигессера — Кармана независимо от этих авторов была получена еще раз в 1912 г. Саусвеллом.

136

каждого из стержней. Рассмотрим три состояния системы, изображенные на рис. 17.5. Первое из них (точки mt, n j относится к случаю, когда внешняя нагрузка на стойку от­ сутствует. Второе (точки /п2. л*) и третье состояния (точки т9, «,) соответствуют нагружению стойки одной и той же силой — критической нагрузкой Р. Через <р обозначен бес­ конечно малый угол поворота стойки при потере устойчи­ вости; соответствующие дополнительные укорочения опор­ ных стержней при переходе отрезка т9пг в положение т,л* равны

Пользуясь законом Гука, можно найти дополнительные усилия в обоих стержнях (положительными будем считать сжимающие усилия):

Сумма моментов этих сил относительно точки О должна равняться моменту внешней силы Р1<р (рис. 17.4):

Из условия существования отклоненной формы равновесия срт^О получаем эйлерову критическую силу:

Положим теперь, что свойства материала стержней характеризуются диаграммой сжатия, изображенной на рис. 17.6 (случай материала с линейным упрочнением). Ниже предела пропорциональности модуль упругости равен Е, а на втором участке касательный модуль постоянен и равен \-Е (величина v < l предполагается заданной)

Пусть потеря устойчивости происходит при напряжени­ ях, соответствующих второму участку диаграммы. Нена­ долго забудем о законе Герстнера и станем на раннюю точку зрения Энгессера. Для определения критической силы мож­ но воспользоваться схемой, изображенной на рис. 17.5.

137

Все рассуждения и выкладки останутся прежними, если всюду, начиная с выражений (17.8), вместо модуля упруго­ сти Е писать касательный модуль \Е. В копне концов мы получим для касательно-модульной критической силы фор­ мулу

Эта формула нам потребуется для некоторых последую­ щих сопоставлений.

Обратимся теперь к выводу формулы критической силы

по теории приведенного модуля; для этого придется

Как и выше, точки го*, пг и гоя, п3 характеризуют два разных состояния равновесия стойки, соответствующих од­ ной и той же сжимающей силе Р#*. Поэтому уменьшение силы сжатия левого стержня должно в точности равняться увеличению силы сжатия правого стержня. Но эти прира­ щения сил (отрицательное слева и положительное справа)

ции стержней не могут быть одинаковыми. Отсюда следует, что отрезок го*л» не проходит через середину отрезка т*л, (в отличие от схемы, изображенной на рис. 17.5). При поте­ ре устойчивости стойки и переходе точек го*. пг в положения го*. п3 дополнительные укорочения опорных стержней со­ ставляют

Alt = -f- А1, (17.12)

138

где М — опускание средней точки О. Соответственно допол­ нительные сжимающие усилия в стержнях равны

(17.13)

W > , _ v £ F ^ ! = ^ - ( ^ . + 4 /) .

Сумма этих приращений должна быть равна нулю, так как общая сжимающая сила Р остается неизменной. Отсюда сначала находим связь между Л/ и <р:

Сумма моментов дополнительных усилий ДР, и ДР* отно­ сительно точки 0\ должна равняться моменту внешней на­ грузки:

Эта формула определяет критическую силу по теории Энгессера — Кармана, причем

представляет собой приведенный модуль. Сравнивая этот результат с формулой (17.11), мы видим, что всегда Р * * > > Р * , поскольку v < l . При v = 1 (линейно деформируемый материал) все три формулы (17.10), (17.11) и (17.17) дают одинаковые результаты.

В заключение сделаем одно замечание относительно билинейной диаграммы, показанной на рис. 17.6, которая нередко используется в качестве удобной аппроксимации истинной криволинейной диаграммы. Допустим, что нужно определить критическое напряжение для некоторой задан­ ной стойки, материал которой характеризуется билинейной диаграммой. Предполагая сначала, что потеря устойчивости происходит в пределах п е р в о г о участка, мы должны

13Э

вычислить критическое напряжение по формуле Эйлера. Допустим, что найденное таким образом критическое на­ пряжение больше предела пропорциональности. Тогда нуж­ но предположить, что потеря устойчивости происходит на в т о р о м участке диаграммы, и воспользоваться форму­ лой Энгессера — Кармана. И вот здесь вполне возможен неожиданный результат: вычисленное по этой формуле кри­ тическое напряжение оказывается меньше, чем предел пропорциональности. Коротко говоря, из предположения,

Но этот заколдованный круг порожден лишь избран­ ным способом аппроксимации диаграммы. Для того чтобы выйти из этого круга, достаточно несколько изменить вид диаграммы, приняв, что два линейных участка сопрягаются короткой плавной кривой (скажем, дугой окружности). Ясно, что в этом случае в пределах криволинейного участка имеется широкий выбор значений касательного модуля и поэтому всегда найдется такая точка, в которой будет до­ стигнута нужная увязка. Следовательно, в описанных выше условиях критическое напряжение будет близко к пределу пропорциональности; соответственно при резком переломе диаграммы нужно принять, что критическое напряжение

ра в н о пределу пропорциональности.

Овозможной особенности потери устойчивости при билинейной диаграмме см. статью В. С. Давыдова «К вопросу об определении критической нагрузки для стержня из линейно-упрочняющегося мате­

риала» (Вести. МГУ, Математика, Механика, 1977, вып. 3).

§ 18, Упругопластический продольный изгиб; современная концепция

После работы Кармана существенно новые идеи в рас­ сматриваемой области не появлялись в течение ряда лет. Новым поворотным пунктом в истории вопроса явилось опубликование в 1946—1947 гг. двух статей Ф. Р. Шеили, первая из которых носила характерное название «Парадокс продольного изгиба». Ф. Р. Шенли писал «...при выводе теории приведенного модуля было сделано сомнительное предположение. Предполагалось, по крайней мере по смы­ слу, что стойка остается прямой при увеличении осевой нагрузки до заранее определенной критической величины, после которой стойка изгибается или может изогнуться».

140