книги / Устойчивость и колебания упругих систем. Современные концепции, парадоксы и ошибки

ваны на предположении о неограниченной линейности зада­ чи; так как с ростом нагрузки постепенно все больше сказы­ ваются нелинейные влияния, то действительная кривая Р—v выглядит примерно так, как это изображено на рис. 9.1, в.

Эти соображения имеют общий характер и в равной мере относятся к решению любой неоднородной задачи, в част­ ности задачи о внецеитренном сжатии тонкостенного стерж­ ня в общем случае. Конечно, если бы процесс нагружения такого стержня был неограниченно линейным, то против приема В. 3. Власова нельзя было бы выдвинуть никаких возражений, лишь потребовалось бы ясное понимание того, что в и д и м о с т ь эйлерова решения однородной задачи в действительности означает определение максимума нагрузки в соответствующей неоднородной задаче.

Но при постепенном росте нагрузки (и сопутствующих деформаций изгиба и кручения) неизбежно наступит такое состояние стержня, в котором уже нельзя игнорировать не­ линейности (в первую очередь — физической природы). Поэтому действительная критическая нагрузка окажется меньшей, чем это можно получить из анализа однородной системы (10.28). В этом состоит существо одного из крити­ ческих замечаний, высказанных по поводу решения В. 3 . Власова.

Другое критическое замечание связано с тем, что в дей­ ствительных конструкциях проблема прочности может оказаться актуальнее проблемы устойчивости: из-за правых частей системы (10.22) напряжения становятся недопустимо высокими задолго до того, как нагрузка приблизится к кри­ тическому значению. Поэтому анализ однородной системы (10.28) как бы заслоняет истинную проблему, возникающую при расчете тонкостенных стержней.

Первое исследование Лоренца было опубликовано в журнале «Zeitschrift des Vereines deuischer lngenieure» (190S, т. 52, с. 1706). Статью С. П. Тимошенко см. в (Известиях Электротехнического инсти­

его книги «Статика упругого тела» (М .: Гостехиздат, 1934, с. 271— 276). Рис. 1G.2 заимствован нами из книги В. Флинте «Статика и динамика оболочек (М .: Госстройиздат, 1961).

Работа Г . Вагнера опубликована в юбилейном сборнике «Fe$t schriit 25-Jahre Technische Hochschule Danzig» (1929). Статью Лувдквиста и Ф лип а см. в NACA Tech. Rep. 582 (1937). Статья Н . А. Кильневского и С. И . Никулинской опубликована в журнале «Прикладная механика» (1965, вып. 11). Книга В. 3 Власова «Тонкостенные упругие стержни» выходила дважды: 1-е изд.— М .: СтроЙиздат, 1940; 2-е изд.— М.: Физматгиз, 1959. Критические замечания но поводу решения

92

В . 3 . Власова задачи об устойчивости внспентревно сжатого тонко­ стенного стержня см. в работах Л . Н . Воробьева «Деформационный расчет и устойчивость тонкостенных стержней открытого профиля»

(Труды Новочеркасского политехнического института, 1958, т. 79/83), Б. М . Броуде «О линеаризации уравнений устойчивости равновесия внеиентренио сжатого стержня» (сб. «Исследования по теории соору­ жений», J959, выл. V III) , А. А . Пиковского «Статика стержневых си­ стем со сжатыми элементами» (М .: Физматгиэ, 1961, гл. V).

§ 11. Потеря устойчивости стержня при растяжении

Основному содержанию настоящего параграфа нам при­ дется предпослать довольно подробное введение, посвящен­ ное оценке больших деформаций.

Линейная деформация, представляемая в виде

( 11. 1)

(/„ — начальная длина отрезка, А/ — его абсолютное удли­ нение), является одним из основных понятий сопротивления материалов и классической (линейной) теории упругости; выражением (11.1) пользуются всегда при малых вели­ чинах е. Однако 8 последнее время, особенно в связи с по­ явлением новых синтетических материалов, способных пре­ терпевать б о л ь ш и е у д л и н е н и я без разрушения, предложен ряд иных способов оценки больших деформаций.

Конечно, величину е, определяемую выражением (11.1),

ко такое определение будет страдать одним существенным недостатком.

приращение деформации на одной ступени процесса по выражению (11.1) составляет

( 11.2)

Сумму приращений Ае», образующихся на каждой ступени общего процесса, естественно считать полной деформацией. Но эта сумма

(11.3)

не совпадает с величиной

(П-4)

93

определенной с р а з у для всего процесса нагружения. Таким образом, деформации, определяемая выражением (11.1), не позволяет пользоваться операцией суммирования.

От этого недостатка свободен иной способ определения большой деформация.

Рассмотрим процесс монотонного увеличения длины отрезка от значения lt до заметно большего значения /. Пусть в текущий момент длина отрезка равна г, причем /»< ?< ;/. На бесконечно малом интервале рассматриваемого процесса происходит также бесконечно малое удлинение, которое обозначим через dz. При этом приращение относи­ тельного удлинения естественно определить выражением dz!z, т. е. принять d&=dz!z. Соответственно полное относи­ тельное удлинение, которое накопится в течение всего про­

Этот итоговый результат отличается от выражения (ИЛ),

ипритом тем значительнее, чем больше отношение А///0. Конечно, при малых отношениях Д///0 результат (11.5)

переходит в выражение (П.1), так как

и обе оценки совпадают с точностью до величин второго порядка малости.

Таким образом, логарифмическая деформация (11.5) до­ пускает применение операции суммирования. Это не явля­ ется единственным достоинством такой меры; можно пока­ зать, что известное выражение для объемной деформации в виде 8 ^ 6 * + остается в силе и при больших деформаци­ ях, если пользоваться логарифмической мерой.

Представление меры деформации в виде (11.1) было предложено Коши *), а в виде () 1.5) — Генки. Наряду с этими выражениями существуют иные определения меры деформации, данные различными авторами.

Предложение Альманзи:

член Парижской Академии наук с 1816 г., один из основоположников теории упру| ости.

94

— величина, называемая кратностью (или степенью) рас­ тяжения. Если пользоваться этим обозначением, то мера деформации по Коши запишется в виде

а логарифмическая деформация (11.5) — в виде

Насколько велико различие между шкалами е, можно судить по следующему гипотетическому примеру. Пусть при испытании стержня иа растяжение были зафиксированы следующие пары опытных данных:

Пусть, далее, требуется образовать зависимость между напряжением а и деформацией е. Здесь и возникает вопрос о пересчете опытных значений X на деформации 8. Ясно, что результаты будут зависеть от принятой меры деформа­ ции и получатся неодинаковыми.

На рис. П.1 представлены кривые, получаемые при поль­ зовании формулами и выражениями (11.6) — (11.9), (11.11), (11.12). Как видно, кривые заметно различаются уже на первой ступени нагружения, а затем расходятся все больше

ибольше. Если пользоваться зависимостями Коши, Грина

иКуна, то рассматриваемый материал следует отнести к

категории мягких, так как производная d o id t постепенно

*) Рассчитанное с учетом уменьшения площади поперечною сечения стержня,

$5

уменьшается с ростом деформации а; в то же время, опира­ ясь на формулы Альмаязи и Кёрбера — Свейнгера, мы долж­ ны заключить, что исследованный материал жесткий. Если же применять меру Генки, то окажется, что деформирование материала в точности подчиняется закону Гука. Лругие совокупности опытных данных приведут к иным кривым, но также значительно различающимся между собой.

Таким образом, понятие физической линейности или не­ линейности м а т е р и а л а не является вполне опреде­ ленным, а зависит от выбора меры е (конечно, линейность

6,кгс/си*

Рис. 11.1. Кривые зависимости напряжения от деформации, получен­ ные при обработке одинаковых опытных данных различными способами:

понятие вполне объективное, поскольку оно связано с ходом кривой в осях нагрузка — перемещение).

Me следует удивляться тому, что одновременно сущест­ вует ряд несовпадающих мер деформации. Дело в том, что понятие меры деформации относится к категории «конст­ руируемых» и поэтому в известной степени произвольно. Обоснования той или иной меры деформации могут пред­ ставляться искусственными или не вполне логичными (как, например, мера Коши), но в принципе все приведенные выше варианты могут служить мерой деформации. По этой причине нет оснований присваивать какой-либо мере де­ формации наименование «истинная» *); «сущности, каждая

*) Иногда гак называю! наиболее ч;кк> ;,0О1|Кбляемую логариф­ мическую меру деформации, предложенную I CUKII.

96

из мер деформации дает лишь свою особенную шкалу. Рей* нер справедливо указывает, что за меру деформации может быть принята любая безразмерная функция от X, если при %—*Л она вырождается в меру деформации Коши (11.11); этому требованию удовлетворяют, конечно, не только дан* ные выше варианты.

Обратимся теперь к нашей основной теме — потере ус­ тойчивости стержня при растяжении.

Продольно нагруженный стержень может потерять ус­ тойчивость не только при сжимающей нагрузке; в известных условиях возможно неожиданное явление потери устойчи­ вости идеально упругого стержня при растяжении.

Представим себе процесс монотонного нагружения стерж­ ня растягивающей силой (рис. 11.2) и будем считать, что увеличение силы происходит настолько медленно, что можно пренебречь инерционными эффектами. Предполо­ жим также, что материал стержня неограниченно прочен и следует закону Гука:

где / — длина стержня в произвольный момент процесса деформирования.

Рассмотрим бесконечно малый интервал этого процесса, в течение которого сила Р возрастает на величину dP, а напряжение — на величину da; приращение da найдем из

выражения (11.14):

Можно сказать, что первый член правой части выражает приращение напряжения за счет приращения нагрузки, а второй член — за счет изменения площади сечения. Со­ гласно (11.15)

f ° 7

С другой стороны, из (И .13) можно получить приращение напряжения do в виде

Из выражений (11.18) и (11.19) следует основное диффе­ ренциальное уравнение задачи:

Решение этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию / = / 0 при Р= 0, имеет вид

( 11. 21)

1 'О

Преобразуем это выражение с таким расчетом, чтобы уста­ новить зависимость силы Р от перемещения конца стержня:

На рис. 11.3 изображена кривая, описываемая зависимо­ стью (11.23); как видно, она соответствует графику на рис.

98

вающнх грузов, то состояния равновесия возможны лишь до значения силы Р кр; при ббльших значениях силы Р

ниченно увеличиваться, как это показано горизонтальной

При этом способе нагружения падающая ветвь кривой вообще не реализуется

Значение силы Рлр, при котором наступает критическое

при достижении которого перемещения неограниченно уве­ личиваются. Силу Ркр естественно назвать критической силой, а значение г>„р — критическим, удлинением.

Наши выкладки касались случая, когда материал стерж­ ня не только неограниченно прочен, но и линейно деформи­ руем. Качественно те же явления можно обнаружить и в

Рис. 11.3. Кривая состояний равно­ весия растянутого стержня

более сложном случае, когда физический закон деформи­ рования определяется нелинейной функцией

силовозбудителем. Здесь внешнее воздействие вводится в

систему не по «силовому», а по «деформационному» каналу и соответствующее изменение силы Р определяется свойст­ вами самой системы. В этом случае будут последовательно пройдены все точки кривой Р—v сначала на восходящей,

99

а затем на нисходящей ветви, и ни о какой потере устойчи­ вости в обычном смысле слова говорить нельзя.

Но и здесь можно отмстить любопытное явление, кото­ рое назовем потерей устойчивости ц и л и н д р и ч е с к о й ф о р м ы стержня. Для того чтобы выяснить сущность этого явления, откажемся от принятого выше предположе­ ния о строгой иилиндричности исходной формы стержня и допустим, что в пределах небольшого участка длины ненагруженного стержня поперечные сечения имеют несколь­ ко меньшую площадь F0—AF0, чем на остальной длине. Из формулы (11.24) видно, что наибольшая сила, которая может возникнуть при постепенном удлинении стержня, состав­ ляет

При дальнейшем удлинении стержня сила станет умень­

время как на ослабленном участке деформация будет про­ грессивно возрастать, на остальной части стержня будет происходить уменьшение деформации (в связи с уменьше­ нием нагрузки). Удлипение всего стержня будет определять­ ся в основном удлинением указанного участка, сечение ко­ торого будет непрерывно уменьшаться.

Таким образом, достаточно любого малого нарушения начальной цилиндрической формы стержня, чтобы на опре­ деленном уровне нагружения началось интенсивное местное сужение в пределах малой длины. В этом и состоит п о т е р я у с т о й ч и в о с т и ц и л и н д р и ч е с к о й ф о р ­ м ы стержня.

Изложенные соображения имеют непосредственное от­ ношение к сложному явлению развития шейки, образую­ щейся при растяжении образцов из пластических мате­ риалов.

О различных мерах большой деформации см. статью Н. И. Мали­ нина (Жури. прикл. мех. и технич. физ., 1961, № 3). См. также книги М. Рейнера «Реология» (М.: Наука, 1965) и Ю. Н. Работнова «Сопро­ тивление материалов» (М.: Физматгиз, 1962, § 81).

В большинстве монографий, специально посвященных проблеме устойчивости упругих систем, потеря устойчивости при растяжении вовсе не рассматривается. Исключение представляет книга А. Р. Ржаннцына «Устойчивость равновесия упругих систем» (М.: Гостехиздат, 1955, $ 23). Об образовании шейки как проявлении неустойчивости см. в книге А. Надан «Прочность и разрушение твердых тел» (М.: ИЛ, 1954, гл. VIII, §1 и 2).

100