книги / Устойчивость и колебания упругих систем. Современные концепции, парадоксы и ошибки

можно встретиться и при анализе вынужденных колебаний систем с распределенными параметрами. Примером могут служить вынужденные колебания консольной балки, за* крепленной в сечении 2=0 и нагруженной на конце г-1 сосредоточенной силой P<>simof (рис. 30.3, а). Если обоз­ начить: EJ — жесткость балки при изгибе, т — интенсив­ ность распределенной массы, v(z, f) — отклонение произ­ вольного сечения балки от положения равновесия, то для установившегося процесса можно найти

о (г, t) = {Р, [(ch cU-+ cos <xl) (shaz— sinocz) —

— (sh a 14- sin a/) (ch a z — cos аг)] sin x

x (2a* EJ (ch a l cos a / + 1)]- *,

где a*=m©*/(£/), В частности, для прогиба свободного конца имеем

Отсюда видно, что если числитель последнего выражения обращается в нуль (при t g a / —th a /, т. е. при а /=3,927, 7,068, . . .), правый конец балки остается все время непод­ вижным; при этом остальные точки оси, за исключением конечного числа узлов, будут совершать колебания. В це­ лом эту несколько необычную ситуацию (неподвижна имен­

но та точка, к которой приложена сила!) можно назвать антирезонансом концевого сечения балки. На рис. 30.3, б и в показаны две формы колебаний (т. е. изогнутая ось бал­ ки в моменты, когда достигаются наибольшие отклонения от положения равновесия) для двух первых антирезонансов; для ясности рисунков приняты разные масштабы отклоне­ ний по вертикали.

Случай с виброметром, который оказался гасителем колебаний, описан в статье И. И. Клюкина «О влиянии виброметра на движение колеблющейся поверхности» (Акустический журнал, 1959, Л6 I).

§ 31. Дестабилизирующее действие сил вязкого трения

Природа возникновения сил трения — неизбежных спут­ ников любых колебательных процессов в реальных меха­ нических системах — разнообразна и сложна. Часто эти силы считают линейно-вязкими, т. е. пропорциональными скоростям перемещений (или деформаций). Во многих слу­ чаях силы вязкого сопротивления играют чисто демпфирую­ щую роль: благодаря этим силам происходит затухание сво­ бодных колебаний, уменьшаются амплитуды вынужденных

241

колебаний, расширяются области устойчивости. Не удиви­ тельно, что постепенно инженеры привыкли видеть в силах вязкого трения причину только демпфирования.

На этом фоне становится психологически понятной ошибка, допущенная Лисом в работе, относящейся к 1923 г. Этот автор занимался исследованием устойчивости вращаю­ щегося гибкого вала, полагая, что материал вала обладает вязкоупругими свойствами. К этому времени было хорошо известно, что подобная система с идеально упругим валом устойчива при всех угловых скоростях вращения, кроме критических — в частности, в закритмческой области. За­ писав правильные дифференциальные уравнения задачи, Лис не стал тщательно анализировать их решение, а огра­ ничился, казалось бы, естественным, но опрометчивым за­ мечанием, что вязкое трение в материале должно способст­ вовать затуханию возмущенного движения-

Очень скоро выяснилось, что это утверждение Лиса ошибочно. В 1924 г. Кимболл подробно рассмотрел свой­ ства решений этой задачи и установил, что внутреннее вяз­ кое трепне демпфирует колебания только при угловых скоростях, меньших критической, а в закритической обла­ сти оно играет противоположную роль н способствует рас­ качиванию колебаний. Теория Кимболла объяснила неожи­ данные экспериментальные результаты, полученные неза­ долго до этого Ньюкирком, когда была обнаружена неус­ тойчивость вала не только при критической угловой ско­ рости, но и в закритической области *).

Если пренебречь второстепенными обстоятельствами, то вопрос может быть выяснен с помощью следующей упрощен­ ной модели, исследованной в 1937 г. Е. Л. Николаи.

Диск массы т насажен посередине вращающегося вертикально двухопорного вала круглого сечения и пол­ ностью уравновешен на вале; в некоторый момент, от ко­ торого далее ведется отсчет времени, центр диска какимлибо образом отклонен от оси вращения Ог. Рассмотрим последующий процесс движения, принимая, что вал только изгибается и не претерпевает деформации кручения

*) Впрочем, несостоятельность утверждения Лиса вытекает из давно доказанной теоремы Кельвина о дестабилизирующем влиянии дис­ сипативных сил, если устойчивость системы создается гироскопическими силами. О дестабилизирующем влиянии исчезающе малых вязких сил мы писали выше в § 16 в связи с неконсервативной моделью, изученной Г. Циглером. К сожалению, бывает что о некоторых важных теоремах механики вспоминают (и го не сразу) лишь после того, как обнаружи­ лись какие-либо неожиданности — в теории или эксперименте.

242

(рис. 31.1); кроме того, положим, что угловая скорость вращения вала ы остается все время постоянной при любых отклонениях центра диска (этим предполагается наличие идеального двигателя, обеспечивающего постоянство «).

Будем пользоваться неподвижной системой координат­ ных осей хуг, причем ось г совместим с прямой, проходя­ щей через центры подшипников. Обозначим через и=и(О,

Рис. 31.1. и) Изогнутая ось гибкого вала; б) силы, действующие на вал; в) силы, действующие иа диск

v=v(t) составляющие прогиба середины вала в направлени­ ях осей х чу. Мысленно отделим диск от вала и заменим дей­ ствие диска на вал силами Л и Рх, направленными парал­ лельно осям х н у (рис. 31.1, б). Схема сил, действующих на диск, показана на рис. 31.1, в; эти силы равны по модулю и противоположны по направлению силам Р\ и Р%.Диффе­ ренциальные уравнения движения диска имеют вид

В этих двух дифференциальных уравнениях содержатся четыре неизвестные функции времени: а ((), v(t), P,(t) и Pi(t). Для составления еще двух недостающих уравнений необходимо рассмотреть изгиб вала.

Обозначим через р радиус кривизны оси вала в среднем его сечении. Проекции р на оси л и у обозначим через р* и (рис. 31.2. с). Соответствующие кривизны пропорцио­ нальны прогибам; методами сопротивления материалов

243

можно найти

и совместим с центром тяжести 0 ( этого сечения подвижную систему осей хг, уи остающихся все время параллельными

неподвижным осям х, у. Некоторая точка N, удаленная от центра тяжести сечения на расстояние г, имеет координаты

Примем, что материал вала обладает вязкоупругими свой­ ствами, и обозначим: Е — модуль упругости, k — коэф­ фициент вязкости. Тогда нормальное напряжение в точке *i, г/i запишется в виде

ог = Etc J—кгг —------ (иcos at -)-о sin oit)—

244

Система элементарных усилий ozdF образует изгибающие моменты относительно осей х,, уг:

Mt = — f oiyl dF = ( E v k v —kmi),

( r )

где J — момент инерции сечения вала относительно лю­ бой оси, проходящей через центр. Возвращаясь теперь к рис. 31.1, б, отметим, что изгибающий момент М, вызван

действием силы Р», а изгибающий момент Мг— действием

СИЛЫ Pi'.

(31.9) Приравнивая правые части равенств (31.8) и (31.9), получим

P i =-^-(Eu-\~ka[-kum),

так что силы Pi и Р 2 зависят не только от самих переме­ щений и и о, но и от скоростей и и о. Соотношения (31.10) и представляют собой два дополнительных дифференци­ альных уравнения, которые вместе с дифференциальными уравнениями (31.1) образуют замкнутую систему. Подстав­ ляя (31.10) в (31.1), получим дифференциальные уравнения движения центра тяжести диска

где р*= 48 £ .//(т/9) есть квадрат собственной частоты коле­ баний невращающейся системы. Для решения однородной системы дифференциальных уравнений (31.11) положим, как обычно,

24»

Конечно, система (31.13) удовлетворяется тривиаль­ ным решением /4=0, Я = 0, но это решение означает воз­ можность существования неизогнутой формы вала при от­ сутствии возмущений. Для исследования движения, воз­ никающего после некоторого начального возмущения, не­ обходимо рассмотреть условие ненулевых решений для А и В, которое имеет вид

Из (31.14) следует характеристическое уравнение четвертой степени для X,:

Если хотя бы один из корней биквадратного уравнения (31.15) имеет положительную действительную часть, то в выражениях (31.12) появятся члены, неограниченно воз­ растающие с течением времени. Поэтому, чтобы решения (31.12) представляли затухающий процесс, т. е. для устой­ чивости системы, необходима отрицательность всех дей­ ствительных частей корней уравнения (31.15). Несложный

В то же время известно, что при отсутствии трения по­ добная система устойчива как при <a<Zp, так и при о)>/>.

трение влияет противоположным образом. Для этого по­ ложим, что сила внешнего трения имеет составляющие —аи и — (рис. 31.3); тогда дифференциальные уравнения дви-

246

- р * 4 ® Л + | л* + Ц р* 4 + 4 ) + ^ ) а = °.

Соответственно характеристическое уравнение вместо (31.15) становится таким:

и условие устойчивости принимает вид

Из сравнения с (31.16) видно, что внешнее трение расширяет область устойчивости вала. Именно по этой причине в закрити ческой области неустойчивость наблюдается далеко не всегда.

Работа Лиса опубликована а журнале «Phil. Mag.» (1929, г. 45, № 6). Статьи Кимболла и Ньюкирка см. в журнале «Gen. Electr. Review» (1924, т. 27). Статья Е. Л. Николаи «К теории гибкого вала» была на­ печатана в «Трудах Ленинградскою индустриального института» (1937, т. 6), см. также книгу Ф. М. Днментберга «Нагибине колебания враща­ ющихся палов» (М.: Йзд-во АН СССР, 1959). По поводу теоремы Кель­ вина см., например, книгу Г. Циглера, упомянутую выше на с. 141, а также книгу Д . Р. Меркина «Введение в теорию устойчивости движения» (М.: Наука, 1976, §6.6).

§32. Линейные случаи реализация кулоновых сил сухого трения

Реальные свойства сил сухого трения наиболее просто описываются при помощи закона Кулона *)

с 1782 г.— член Парижской Академии иауь Работы Кулона в области

247

Здесь Т — проекция силы трения на направление скорости, f — коэффициент трения, зависящий только от свойств со­ прикасающихся поверхностей, N — нормальное давление. При изменении направления движения знак силы трения

нейным задачам, вообще не следовало касаться случаев действия нелинейных сил. Однако речь пойдет о таких осо­

Кулоново трение как линейная восстанавливаю­ щая сила. Рассмотрим сис­ тему, изображенную на рис. 32.1, б. На два вращаю­ щихся в противополож­ ные стороны цилиндри­

ческих шкива одинакового радиуса свободно положен од­ нородный стержень; центры шкивов находятся на горизон­ тальной прямой. Силы трения, развивающиеся в точках касания стержня со шкивами, следуют закону Кулона, т. е. пропорциональны соответствующим давлениям. Исследуем движение стержня после того, как он тем или иным образом выведен из положения равновесия.

механики посвящены трению и кручению упругих стержней; с помощью изобретенных им крутильных весов Кулон установил основные законы электростатических н магнитных взаимодействии.

Хотя Кулон внес большой вклад в науку о трении, но традиционные выражения «кулоново трение», «закон Кулона» по отношению к зависи­ мости (32.1) неверны. В действительности этот закон был отчетливо сформулирован еще Гийомом Амонтоком (1663—1705) почти за сорок Лет до рождения Кулона. В 1699 г. Амонтон ясно писал: «Ошибочно предполагать, как это думают обычно, что трение двух соприкасаю­ щихся тел возрастает с увеличением площади касания... На опыте трение возрастает только с ростом нагрузки».

248

Пусть в произвольный момент времени t центр тяжести С стержня смещен на расстояние х от оси симметрии. Тогда реакции шкивов составят

= mg.

Здесь m — масса стержня, 21— расстояние между центрами шкивов. Соответственно проекции сил трения будут равны

где / — коэффициент трения. Таким образом, суммарная сила трения имеет вид

т. е. пропорциональна перемещению х и имеет противо­ положное направление. Уже здесь отчетливо видно, что в этой системе сила трения играет несвойственную ей роль и удивительным образом преобразуется в восстанав­ ливающую силу.

Продолжим решение задачи и запишем дифференциаль­ ное уравнение движения стержня в проекции на горизон­ тальную ось

Если обозначить

то уравнение приобретает самый обычный вид дифферен­ циального уравнения свободных незатухающих колебаний

(32.4)

Таким образом, движение стержня будет представлять собой гармонические колебания с частотой р; это можно было сразу предсказать по виду выражения (32.2), которым устанавливается «упругий» характер силы трения. Формула (32.3) может быть использована для определения коэффици­ ента трения / по наблюденным в опыте значениям угловой частоты р. Любопытно, что при изменении направлений вращения шкивов свойства системы резко меняются — по­ ложение равновесия (когда точка С располагается на оси симметрии) становится неустойчивым, и после любого сколь угодно малого возмущения система будет монотонно

249

уходить от положения равновесия. Этот случай приводит к уравнению (32.4), но со знаком минус перед вторым сла­ гаемым.

Кулоново трение как вязкая сила. Рассмотрим движение материальной точки М по шероховатой плоскости хОу, когда кроме постоянной состав­ ляющей скорости vv имеется зна­ чительно меньшая переменная составляющая vx (рис. 32.2).

Заметим, что вектор полной ско­ рости составляет малый угол а

сосью у.

а« tg а = ~ .

Этим же углом определяется направление полной силы тре­ ния Т. Следовательно, проекции силы трения на координатные оси равны (с точностью до ма­

то проекция Тх принимает вид

Tx= — kv*<

т. е. оказывается пропорциональной скорости t».x. Поэтому не будет ошибкой сказать, что Тх проявляется в виде си­ лы линейного вязкого трения; соответственно при состав­ лении дифференциального уравнения движения в проек­ ции на ось х эта сила должна быть включена в виде —kx,

ные свойства этой кинематической пары описываются законом Кулона; при относительно медленных движениях цапфы вдоль оси вала соответствующую составляющую силы трения следует считать вязкой. Эго свойство нахо­ дит практическое применение в машиностроении. Извест-

250