книги / Устойчивость и колебания упругих систем. Современные концепции, парадоксы и ошибки

форме оси, каким-либо образом нарушено, и рассмотрим последующее возмущенное движение стержня. Конечно, здесь, как при решении любой динамической задачи, необ­ ходимо исходить из определенных предположений относи­

новимся на случае, когда масса стержня равномерно распре­ делена по его длине.

Если обозначить интенсивность массы стержня через т, то интенсивность распределенных сил инерции запишется

в виде — и вместо (14.2) для прогибов o=v(z, t) полу­

чится следующее дифференциальное уравнение в частных производных:

(15.1)

Частное решение этого уравнения имеет вид

где V(z) — неизвестная функция, ©0 — неизвестная, вообще говоря, комплексная постоянная; от ее значений зависит общий характер возмущенного движения стержня. Если после данного ниже анализа окажется, что ©в — действи­ тельное число, то решение будет содержать слагаемые типа

и которые в сумме определяют гармонические колебания с частотой ©„, и систему следует признать устой­ чивой. Однако если юф окажется комплексным или чисто мнимым числом, то в решении возникнут слагаемые, содер­ жащие множители типа е“# и е~а*(а — действительное чис­ ло); независимо от знака а движение, соответствующее одно­ му из этих слагаемых, представляет собой колебания с воз­ растающими размахами или монотонный уход системы от положения равновесия, т. е. исследуемая система — неус­ тойчива.

При малых значениях Р частота ю0 — действительное число, поэтому наша задача сводится к тому, чтобы выяс­ нить, при каком значении сжимающей силы Р частота ©о перестает быть действительным числом.

Подставив (15.2) в (15.1), получим обыкновенное диффе­ ренциальное уравнение для функции V:

(15.3)

121

Здесь введены безразмерные параметры

чить следующую систему однородных соотношений для по­ стоянных, входящих в (15.5):

Приравнивая определитель этой системы нулю, приходим к следующему трансцендентному уравнению, которое свя­ зывает безразмерную нагрузку р с безразмерным параметром частоты со:

тического интереса обычно не представляют: в конце концов, все равно, произойдет ли ставшее кеизбеж-

№

иым разрушение стержня через одну или через две секунды после приложения критической силы.

Согласно (15.4) критическая сила определяется выраже­ нием

Р .,-20 .0Б 4г- (15-9>

Она приблизительно в восемь раз больше силы, определяе­ мой выражением (14.1).

В случаях, когда масса стержня распределена неравно­ мерно по его длине, критическое значение силы окажется несколько иным; однако, как показали исследования, оно сравнительно мало зависит от распределения массы по дли­ не. Так, например, если вся масса сосредоточена на конце, то для критического параметра (5* иолучится значение 20,19, а если одновременно с равномерно распределенной массой имеется такая же сосредоточенная на конце масса, то {}*«16.

Впрочем, уже здесь мм должны предупредить читателя: коэффициент в выражении (15.9) заметно изменится, если принять во внимание вязкоупругие свойства метериала

це § 16.

Кратко остановимся на истории вопроса о динамическом анализе устойчивости упругих систем.

Проверка устойчивости форм равновесия упругих си­ стем путем анализа свойств возмущенного движения была предложена давно. Однако, как мы уже писали во введении, в течение долгого времени как бы предполагалось (правда, отчетливо не формулировалось), что оценки, получаемые этим путем, должны совпадать с результатами исследования устойчивости статическими методами.

Недостаточность статического анализа и неэквивалент­ ность его динамическому исследованию устойчивости упру­ гих систем впервые были отмечены в 1927— 1929 гг., когда Е. Л. Николаи попытался с помощью метода Эйлера изу­ чить устойчивость консольного сжато-скрученного стержня. При этом неожиданно обнаружилось, что изогнутые формы равновесия возможны только при отсутствии скручивающе­ го момента, когда сжимающая сила достигает эйлерова значения. Отчетливо понимая, что отсутствие смежных форм равновесия еще не означает устойчивости основной формы, Е. Л. Николаи продолжил исследования устой­ чивости с помощью динамического метода (при этом выяви­

123

лись также некоторые парадоксальные свойства системы, на которых мы здесь останавливаться не будем).

Выполненные Е. Л. Николаи исследования явились темой двух его докладов в Ленинградском механическом обществе (1927 г.). Выступивший при обсуждении П. Ф. Папкович *) высказал мысль о том, что неудача приложения

метода Эйлера к сжато-скручеиному стержню связана, повидимому, с неконсервативностью задачи.

В1939 г. В. И. Реут попытался применить метод Эйлера

кисследованию устойчивости стержня, нагруженного силой

сфиксированной линией действия (рис.

15.2); здесь также выяснилось, что прямо­ линейная форма оси стойки является единственной равновесной формой. В том же 1939 г. Б. Л. Николаи решил эту задачу путем исследования свойств движения системы и нашел конечное зна­ чение критической силы. В статье

Б . Л . Николаи справедливо отмечается:

«...для консервативных систем частоты колебаний с увеличением нагрузки умень­

Эти разумные соображения далеко не сразу были оцене­ ны по достоинству. В § 14 мы уже писали об ошибке Пфлюгера и В. И. Феодосьева, которые в 1950 г. пытались применить метод Эйлера к решению задачи о действии следящей силы. Верное решение последней задачи было дано лишь в 1952 г. Бекком (для случая равномерного распределения массы по всей длине стойки); это решение было воспроизведено в предыдущем параграфе.

С этого момента, в значительной степени благодаря работам Г. Циглера и В. В. Болотина, динамический метод

*) Петр Федорович Папкович (1887— 1946) — профессор Военноморской академии, автор многих работ но теории устойчивости упругих систем и строительной механике корабля. С 1933 г.— член-корреспон­ дент АН СССР.

124

исследования устойчивости упругих систем завоевывает всеобщее признание, и к настоящему времени с помощью этого метода уже решено много задач о действии следящих нагрузок. В одном из обзоров но теории устойчивости упру­ гих систем справедливо отмечается: «Несмотря на то, что в элементарной физике анализ устойчивости всегда основы­ вается на теории маловозмущекных движений, теория упру­ гой устойчивости, следуя за Эйлером, Лагранжем и Брайа­ ном, почти исключительно основывается на соображениях статики. Довольно курьезным является тот факт, что ана­ логичная чисто статическая теория является вполне удов­ летворительной теорией для линейных упругих систем, нагруженных консервативными силами».

Словом, удивляться следует не тому, что статические методы могут оказаться недостаточными, а скорее тому, что они вообще эффективны для широкого класса задач. Беда, однако, в том, что границы этого класса представля­ ются недостаточно ясными. Хотя обычно применимость метода Эйлера связывают с потенциальностью действующих сил, но строгого обоснования достаточности или необходи­ мости этого признака пока не дано.

Известны случаи, когда метод Эйлера отказывает при анализе устойчивости к о н с е р в а т и в н о й системы— например, консольной стойки под действием следящей силы, если вся масса системы сосредоточена на конце стойки (этот пример был указан Л . И. Балабухом *)). Впрочем, по этому поводу Г. Ю. Джанелидзе **) писал: «Говоря о применимо­ сти бифуркационного критерия в консервативных задачах, мы имеем в виду не только формальную консервативность (существование интеграла энергии), но и положительную знакоопределенность потенциальной энергии. Обычно это условие выполняется, и о нем не принято говорить. Но в рассматриваемой системе, вследствие ее крайней схемати­ зации, приходится вспомнить и об этом дополнительном условии. В других случаях схематизация массовых свойств стержня (например, при двух сосредоточенных массах или при массе, имеющей иверцию вращения, и тем более при

*) Лев Иванович Балабух (1910—1978) — профессор Московского высшего технического училища им. Н. Э. Баумана, автор многих работ в области прикладной теории упругости и строительной механики тонкостенных конструкций.

••) Георгий Юстинович (Иустивович) Джанелидзе (1916—1964) —- профессор Ленинградского политехнического института им. М. И. Ка­ линина, автор исследований ряда вопросов теории колебаний механи­ ческих систем и теории упругости.

125

распределенной массе) такой проблемы не возникает, ибо тогда система неконсервативна и в формальном смысле».

С другой стороны, методом Эйлера успешно исследуется устойчивость некоторых неконсервативных систем, в част­ ности нагруженных следящими силами. Одним из примеров может служить давно решенная задача об устойчивости радиально сжатого кольца, если радиальная равномерно распределенная нагрузка остается при изгибе кольца нор­ мальной к изогнутому контуру; другой пример — устой­ чивость двухопорных стержней при действии следящих сил, равномерно распределенных вдоль оси (ряд таких задач был решен в 1962 г. и позднее Г. Лейпхольцем). По-видимо­ му, граница применимости метода Эйлера не совпадает с границей, разделяющей области консервативных и некон­ сервативных систем. Некоторые полезные соображения по поводу границы применимости метода Эйлера для систем с двумя степенями свободы были высказаны в 1966 г. В. Хаугером.

Определенный практический интерес представляет зада­ ча о действии продольной следящей силы на конец свобод­ ного упругого стержня, центр масс которого ускоренно дви­ жется; статическая постановка вопроса об упругой устойчи­ вости такого стержня вообще лишена смысла. Первое решение этой задачи было дано в 1960 г. К. Н. Гопаком, который, заменив распределенную массу стержня шестью сосредоточенными массами, нашел для критической силы приближенное выражение

Впоследствии значение коэффициента в выражении (15.10) было уточнено рядом исследователей. В частности, в 1965 г. В. И. Феодосьев получил для этого коэффициента значение 109,7; близкий к этому результат получил в этом же году Т. Бил.

Изложенное выше динамическое исследование устойчивости стерж­ ня с равномерно распределенной массой было проведено в 1952 г. Бекком (см. его статью в cZcitschr. angew. Math. Phys.», 1952, т. 3. № 3). Одновременно была опубликована статья Г. Циглера, в которой тем же методом была исследована устойчивость системы с двумя степенями сво­ боды (двойной маятник с упругими шарнирами) (см. «log. Arehiv», 1952, т. XX, с. 49—56). Случай стержня с распределенной массой, ко­ торый несет на конце дополнительную сосредоточенную массу, был ис­ следован А. Пфлюгером (см. «Zeitschr. angew. Math. Mech.», 1955, т. 35. № 5).

126

Статья Г. Ю. Джанелидзе «Устойчивость упругих систем при ди* панических нагрузках» опубликована в сборнике «Проблемы устойчиво­ сти в строительной механике» (М.: Строниэдат, 1965, с. 81—82).

Исследования Е. Л. Николаи включены в сборник его работ «Тру­ ды по механике» (М.: Гостехиэдат, 1955, с. 357—406). Р а б о т В. И. Реутэ и Б. Л. Николаи были опубликованы в вып. 1 «Трудов Одесского института инж. гражд. и коммунальн. стр-ва* (1939).

Проблеме устойчивости свободного стержня, подверженного дей­ ствию следящей силы, посвящены работы К- Н. Гопака (Изв. АН СССР,

ОТН, Механика и машиностроение, 1960, № 4), В. И. Феодосьева (Прикл. мат. и мех., 1965, т. 29, № 2), Т. Била (Ракетная техника и космонавтика, 1965, № 3), Кёнига (Raumfahrtforschung. 1964, т. 8, № 1); результаты В. Д. Бабанского и О. А. Горошко см. в книге последнего «Динамика упругой конструкции в условиях свободного полета» (Киев: Наукова думка, 1965).

*Работа В. Хаугера опубликована в журнале «Ing. Archiv» (1966,

т.35); в этой работе также приводятся результаты решения задач о действии равномерно и неравномерно распределенных продольных сле­ дящих нагрузок. В том же журнале несколько ранее был опубликован

упомянутый в тексте цикл работ Г. Лейпхольца.

По затронутым в этом параграфе вопросам читатель может в первую очередь обратиться к книгам В. В. Болотина «Нсконсерватнвные зада­ чи теории упругой устойчивости» (М.: Физматгиз, 1961) и Г. Циглера «Основы теории устойчивости конструкций» (М.: Мир, 1971). Цитиро­ ванный на с. 138—139 текст заимствован из статьи Секлера я Фына «Неустойчивость тонких упругих оболочек» (в ки: Упругие оболочки.— М.: ИЛ, 1962, с. 67).

§ 16. Парадокс Циглера

Важность задачи о действии следящей силы далеко не полностью определяется непосредственными практическими приложениями (которых вовсе не так много); в гораздо большей мере эта задача имеет общеметодическое, эталонное значение. Ее изучение помогло выяснить, насколько сущест­ венны различия между статическим и динамическим метода­ ми исследования устойчивости, а такж е— в связи с обна­ ружением «парадокса дестабилизации» — стимулировало анализ своеобразного влияния малого трения на устойчи­ вость систем с неконсервативными силами.

Названный парадокс был отмечен Г. Циглером в статье, опубликованной в 1952 г., где, в частности, рассмотрена система с двумя степенями свободы, близкая к изображенной на рис. 14.2, но отличающаяся от последней тем, что грави­ тационное поле считается отсутствующим и шарниры обла­

2/« и т, Г. Циглер пришел к следующим дифференциальным

127

причем А = 7Ь /(2т/*), А,=(7с—2Pl)/(2nd*)+b*l(2тЧ*), Л ,= =Ьс!(т*Р), А<—с*1(2т2Р).

Для устойчивости системы необходимо, чтобы веществен*' ные части всех корней характеристического уравнения были отрицательными.

Для этого в свою очередь нужно, чтобы величины

Аи ЛхЛ4- Л „ Л х Л А -Л З - Л М * , Л4 (16.3)

были положительными. Эти условия Гурвица для уравнений четвертой степени приводят к следующим неравенствам:

Из условия 1) следует, что при отрицательном коэффициен­ те вязкости система всегда неустойчива. Условие 4) выполня­ ется автоматически. Из условия 3) (более жесткого, чем ус­ ловие 2)) следует, что при положительном демпфировании критическая сила равна

№

При исчезающе малом демпфирова ии, когда Ь-*- 0, имеем

Эти результаты иллюстрированы в виде диаграммы устойчи­ вости на рис. 16.1 (смысл дополнительной точки Р, отме­ ченной на оси ординат, будет пояснен немного ниже). Пока в этой диаграмме не видно ничего неожиданного или пара­ доксального: во всяком случае влияние, которое оказывает трение, представляется вполне естественным — с увеличе­ нием трения (коэффициента Ь) область устойчивости расши­ ряется.

128

Обратим теперь внимание на результат (16.6), соответ­ ствующий случаю исчезающе малого трения (/>-*-0). Me ка­ жется ли читателю, что, положив с самого начала Ь==0, мы придем к тому же значению (16.6)? Чем определеннее читатель думает, что названное совпадение предрешено, тем больше он будет удивлен, ознакомившись со следующи­ ми выкладками.

Итак, допустим, что задача решается в исходном пред­ положении 6=0. Тогда вместо (16.2) характеристическое уравнение оказывается биквадрат­ ным:

при различных значениях силы Р. Если эти значения достаточно малы, то дискриминант (16.8) больше нуля и все корни уравнения (16.7) мнимые. В этом случае возму­ щенное движение представляет собой сумму двух гармони­ ческих колебаиий с частотами

т. е. состояние равновесия у с т о й ч и в о . При возраста­ нии силы дискриминант (16.8) уменьшается и при

меняет знак. Если к системе приложить силу, значение ко­ торой больше, чем (16.9), то Д <0, и корни уравнения (16.7) уже не будут мнимыми. Среди них найдется по крайней мере один комплексный с положительной вещественной час­ тью или вещественный положительный корень. Соответст­ венно возмущенное движение системы окажется неограни­ ченно возрастающим, т. с. состояние равновесия системы н е у с т о й ч и в о . Получается, что если 6= 0, то система

129

устойчива при Р<Р и неустойчива при Р > Р , т. е. значение Р (отмеченное на рис. 16.1 дополнительной точкой на оси ординат) как будто определяет критическую силу.

Но результаты (16.6) и (16.9) существенно различаются, т. е. оценки устойчивости системы без демпфирования за­ висят от того, на каком этапе анализа совершается переход

довольно редкой — ситуации, сосредоточим свое внимание на «спорном» участке оси ординат Р,ц^Р<.Р на рис. 16.1. Любой точке этого участка соответствует возмущенное дви­ жение в виде гармонических колебаний; именно об этом (и только об этом!) свидетельствует анализ вырожденного характеристического уравнения (16.7). В подобных случа­ ях — когда движение системы без трения представляет собой гармонические колебания — мы склонны думать, опираясь на анализ известных примитивных случаев, что вследствие неучтенного трения действительное движение будет носить характер затухающих колебаний (т. е. что система в дейст­ вительности асимптотически устойчива). Однако для такого заключения (можно сказать, для такой н а д е ж д ы ) не всегда есть основания. Принимая с самого начала 6—0, мы привязываем исследование к оси ординат и попросту не можем судить об изменении свойств возмущенного движе­ ния, если при какой-либо фиксированной силе Р в систему вводится трение. Для такого суждения необходим анализ полного характеристического уравнения (16.2), и лишь после этого выясняется, что при любой силе, принадлежа­ щей рассматриваемому участку, и любом, сколь угодно малом коэффициенте вязкости (отрицательном или положи­ тельном) система в своем возмущенном движении н е б у- д е т все время оставаться в окрестности состояния равнове­ сия. Можно сказать, что при сколь угодно малом демпфиро вании изображающая точка, лежащая на рассматриваемом участке, «соскальзывает» в область неустойчивости. Образно говоря, эшг участок представляет собой бесконечно узкий аппендикс, отходящий от материка устойчивости и омывае­ мый с обеих сторон морем неустойчивости.

Отсюда можно заключись, что состояния равновесия,

соответствующие участку 1Ркр, Р|, нельзя считать устойчи­ выми в полном смысле этого слова, поскольку их «устойчи­ вость» разрушается любым сколь угодно малым трением; такие состояния называют квази- или псевдоустойчивыми

130