книги / Устойчивость и колебания упругих систем. Современные концепции, парадоксы и ошибки

разгрузки до нуля возвращается в исходное состояние (рис. 6.2, б). На принципе хлопающей мембраны этого типа устроена обычная масленка для смазки швейных машин: энергия, освобождающаяся при прощелкивании донышка, расходуется на выбрасывание масла. На том же принципе основана конструкция распылителя порошков.

Рис. 6.2. Характеристика мембран: а) мембрана, которая деформирует­ ся без хлопка; 6) хлопающая мембрана, которая после разгрузки воз­ вращается в исходное положение; а) хлопающая мембрана, которая после хлопка и последующей разгрузки имеет остаточный прогиб

При больших значениях стрелы подъема (//> 3 ,4 К) мембрана после прищелкивания и последующей полной разгрузки не возвращается в исходное состояние; для того чтобы восстановить исходное состояние, необходимо при разгрузке приложить отрицательное давление (рис. 6.2, в). Подобными свойствами могут обладать так называе­ мые «хлопуны», т. е. местные вмпучины на стальных ли­ стах, остающиеся после сварки обшивки железнодорожных вагонов, судов и т. п. Всякий «хлоиуп» считается дефектом конструкции, но особенно нежелательны «хлопуны» с от­ рицательным нижним критическим давлением.

Среди рассмотренных выше кривых Р—v не было таких, которые имели бы вертикальные участки. Однако системы

ные у с т р о й с т в а .

В этих устройствах необходимо, чтобы при достижении определенной нагрузки подвижный контакт перескакивал с одного неподвижного контакта на другой неподвижный контакт. В зависимости от назначения конструкции воз­ можны два варианта ее осуществления: I) после снятия на­

5)

грузки подвижный контакт возвращается в прежнее поло­ жение; 2) после снятия нагрузки подвижный контакт ос­ тается в новом положении.

В первом случае (нажимной переключатель) кривая Р—v имеет вид, изображенный на рис. 6.3, а, т. е. нижняя критическая нагрузка п о л о ж и т е л ь н а я ; во втором случае (перекидной переключатель) кривая P—v имеет вид, представленный на рис. 6.3, б, т. е. нижняя критиче­ ская нагрузка о т р и ц а т е л ь н а я . Жесткость этих

Рис. 6.3. Характеристики переключателей: а) нажимного; б) перекид­ ного

устройств после перескока гораздо больше начальной жесткости, так что на кривых Р—v имеются почти верти­ кальные участки.

при достижении соответствующего «силового барьера». Если нагрузка Р меньше, чем верхняя критическая на­ грузка, то перескок невозможен, так как при фиксирован­

возмущение может быть введено «окольным» путем, без изменения основной нагрузки Р.

Рассмотрим, например, простую систему, изображенную на рис. 6.4, а. Она состоит из жесткого стержня 1 и пру­ жины 2, которая находится в жесткой трубке и не может

62

Р

Рис. 6.4. о), б), в) состояния равновесия при одной и той же силе Р—О; г) кривая равновесных состояний

горизонтальна); это состояние равновесия устойчиво при любом значении силы Р, большем нуля.

Кроме этих двух состояний равновесия, каждому зна­ чению силы Р < Р кр соответствует еще одна равновесная конфигурация системы (рис. 6.4, в), определяемая смеще­ нием нижнего шарнира

кривая состояний равновесия представляется в виде, изображенном на рис. 6.4, г. Здесь верхняя критическая

63

нагрузка определяется формулой (6.1), а нижняя критиче­ ская нагрузка равна нулю. Главная особенность этой сис­ темы состоит в том, что перескоки возможны при силах Р, меньших значении Р кр.

Пусть, например, нагрузка на вертикальный стержень равна Л < Р к Р Введем некоторое деформационное воз­ мущение путем приложения горизонтальной силы к ниж­ нему шарниру, а затем устраним ее. Если приданное сис­

то стержень вернется в вертикальное положение. В про­ тивном случае система скачком перейдем в состояние равновесия, соответствующее рис. 6.4, б.

Сходными чертами обладает центрально сжатая пружи­ на с соприкасающимися витками (рис. 6.5, а). Соответст­ вующая ей кривая состояний равновесия дана на рис. 6.5, в.

Рис. 6.5. а), б) Пружина с соприкасающимися витками; в} кривая равновесных состояний

Любопытной особенностью этой системы является отсутст­ вие верхней критической силы. Однако это не означает, что состояния равновесия, характеризуемые правой восходя­ щей ветвью кривой, недостижимы. Для перескока в эти состояния (рис. 6.5, б) необходимо, чтобы сжимающая сила превосходила значение Р’лр и. кроме того, чтобы пружине было сообщено достаточное возмущение в виде бокового прогиба (не меньшего чем Ф'2); конечно, последнее условие

54

требует приложения некоторой дополнительной боковой нагрузки.

Таким образом, существуют системы, которые допус­ кают «окольный» путь изменения конфигурации при не­

изменной основной нагрузке. Можно сказать, что в таких системах перескок требует преодоления не силового барьера

(соответствующего верхней критической нагрузке), а дефор­

Последующие экспериментальные проверки не под­ твердили этого теоретического результата. В опытах не­ изменно обнаруживалось, что критическое напряжение

пряжение втрое меньшее, чем по формуле Лоренца.

В 1939—1941 гг. Т. Карман *1 и Цянь Сюэ-сэнь иссле-

*) Теодор Карман (1881 —1963) родился в Венгрии. В 1909— 1929 гг. работал в Германии, в 1929— 1963 гг.— в США. Известен мно­ гими работами о области прикладной теории упругости и в области гидроаэродинамики. Член Лондонского коро.-ев:кого общества.

65

Довали ату задачу, но отказались от эйлеровой постановки и задались целью построить кривую р—о, исходя из нели­ нейных соотношений, учитывающих конечность перемеще­ ний. Полученные этими аеторами результаты представлены па рис. 6.7, «, в виде связи между продольной нагрузкой и сближением торнов оболочки; по оси абсцисс отложены значения относительного продольного укорочения е, уве­ личенного в R : А раз, а по оси ординат — значения без­ размерного напряжения p-csR'(Eh). На рис. 6.7, б изобра­ жен перестроенный график; здесь по оси абсцисс отложены

Как видно, для рассматриваемой оболочки существуют два критических значения сжимающего напряжения: верх­ нее критическое напряжение />кр, значение которого сов­ падает с результатом вычислений Лоренца, и нижнее кри­ тическое напряжение />ЦР, приблизительно втрое меньшее, чем ркр.

Заметив близкое совпадение вычисленного значения р'к9 с ранее найденными опытными результатами, Карман и Цяпь Ооэ-сэнь сделали вывод, что в экспериментальных исследованиях потеря устойчивости происходит в виде перескока при напряжениях, близких к нижнему крити­ ческому напряжению />*р. Пусть, например, оболочка испы­ тывает сжимающее напряжение plt лежащее в интервале

P«P<PI<PKP (рис. 6.7, б) Для перескока изображающей точки с оси ординат на восходящую ветвь кривой р—v не

обходимо, чтобы возмущение координаты v превзошло зна­ чение V,.

56

Карман и Цянь Сюэ-сэнь исходили из того, что неиз­ бежные несовершенства экспериментальной установки эк­ вивалентны указанному возмущению, следовательно, пере­ скок становится весьма вероятным уже при достижении нижнего критического напряжения р’кр. Опираясь на тот факт, что энергия системы, соответствующая отклоненной форме равновесия, меньше энергии системы в невозмущен­ ном состоянии, Цянь Сюэ-сэнь выдвинул следующий энер­ гетический принцип: в действительных (неидеальных) ус­ ловиях наиболее вероятным равновесным состоянием сис­ темы является состояние с минимальным энергетическим уровнем. При этом молчаливо предполагается, что сама природа позаботится о создании возмущений, необходимых

ницей безусловно устойчивых состояний, и если фактиче­ ское напряжение больше, чем /»’р, то исходное состояние равновесия уже нельзя считать безусловно устойчивым.

Подобные рассуждения получили довольно широкое распространение и в анализе устойчивости оболочек с нецилиндрической формой срединной поверхности (напри­ мер, сферических). Тем не менее по адресу энергетического принципа высказывались и довольно резкие критические замечания, вроде следующего: «Этот принцип не имеет логической основы и по своей природе является чисто

и какие возмущения действительно были неизбежны в экс­ периментальных исследованиях, о которых шла речь выше; как мы сейчас увидим, эти возмущения в принципе различны.

В энергетическом принципе предполагается перескок при сжимающих напряжениях, меньших чем рК9\ но для этого необходимо преодоление деформационного барьера, т. е. возмущение точной цилиндрической формы оболочки путем приложения добавочного поперечного давления или импульса, причем давление должно быть приложено «свое­ временно», когда основное сжимающее напряжение достиг­ ло значения /э«р.

В экспериментальных исследованиях подобных доба­ вочных нагрузок не было. Иное дело, что были неизбежные отклонения от точной цилиндрической формы оболочки

57

вследствие причин технологического характера; эти от­ клонения тоже м о ж н о назвать возмущениями, но они вовсе не эквивалентны возмущениям, о которых идет речь в энергетическом принципе. Из-за начальных несовер­ шенств формы оболочка с самого начала нагружения де­ формируется по-иному, чем оболочка строгой цилиндриче­ ской формы; для оболочки с начальными несовершенствами кривая равновесных состояний выглядит примерно так,

Рис. 6.8. Кривая равновесных состояний оболочки с началь­ ными несовершенствами формы

как это представлено па рис. 6.8. Если добавочные по­ перечные возмущения исключены, то рассматриваемая оболочка потеряет устойчивость не ранее, чем будет достиг­

думать, что в экспериментах наблюдалось именно это значение ркр, которое, вследствие неправильностей формы оболочки, могло быть намного ниже, чем р„рдля идеальной цилиндрической оболочки. Другими словами, перескоки в обсуждаемых экспериментальных исследованиях требуют преодоления силового барьера.

Эти соображения отчетливо сформулированы лишь сов­ сем недавно; они подрывают доверие к энергетическому принципу, в котором ошибочно отождествлены два различ­ ных понятия: возмущения, накладываемые на оболочку в виде дополнительных поперечных давлений (или импуль­ сов), и начальные нарушения точной цилиндрической фор­ мы оболочки.

В настоящее время исследователи все больше склоня­ ются к мнению, что в экспериментальных исследованиях потеря устойчивости связана не с перескоком при нижнем критическом напряжении идеальной оболочки, а с дости­ жением верхнего критического напряжения реальной (неидеальной) оболочки Подтверждением этого могут служить экспериментальные исследования Теннисона (1963 — 1964 гг.), в которых потеря устойчивости весьма тщательно изготовленных цилиндрических оболочек наблюдалась при напряжениях, близких к значению (6.4). Как отмечает Тенинсон, перескок мог быть вызван и при меньших напряже­

58

ниях, но тогда необходимо специально прикладывать зна­ чительные боковые возмущения.

По-видимому, при истолковании результатов экспери­ ментальных исследований устойчивости нужно ориентиро­ ваться на верхнее критическое напряжение, но вычисляе­ мое, конечно, не для гипотетической оболочки строго цилиндрической формы, а для реальной оболочки из реаль­ ного материала.

Из сказанного не следует делать вывод, что понятие нижнего критического напряжения вообще лишено практи­ ческого значения. Дело в том, что боковые возмущения, обычно отсутствующие в лабораторных условиях, могут оказаться вполне вероятными и даже неизбежными при эксплуатации реальной конструкции: ясно, что в этих ус­ ловиях возникает опасность перескоков при напряжениях, меньших чем ркр и, возможно, ненамного превосходящих р’р. Однако это нс означает реабилитацию концепции Цянь Сюэ-сэня но двум причинам. Во-первых, значение р'кр, как и значение ркр, должно определяться для реальной, а не для идеальной оболочки; во-вторых, перескок при plp нельзя считать фатально неизбежным: для такого перескока необходимо превзойти определенный уровень боковых воз­ мущений, и нужны веские основания для того, чтобы счи­ тать этот уровень реально достижимым.

В заключение нужно отметить, что верхнее критическое напряжение для гладких оболочек существенно зависит от масштаба начальных неилеалыюстей. С практической точки зрения чувствительность гладких оболочек к малым груд­ нопрогнозируемым влияниям — существенный недостаток; для его устранения оболочки обычно подкрепляют — на­ пример, ребрами жесткости. Подкрепленные конструкции существенно менее чувствительны к начальным неидеальностям, а верхнее критическое напряжение оказывается близким к критическому напряжению, вычисляемому по линеаризованным уравнениям соответствующей задачи Эй­ лера.

Подробное исследование хлопающих мембран дано в работах В. И. Феодосиева (см. его книгу «Упругие элементы точного приборо­ строения», М.: Оборонгиз, 1949). Перескоки в пружинных контактах исследованы в работе Б. Г1. Попова «Явление большого перескока в упругих системах и расчет пружинных контактных устройств» (Инж. сб., 1948, т. 5, выи. 1). В статье Э. И. Григолюка «О равновесии н ус­ тойчивости биметаллических полос» (Ипж. сб., 1950, т. 7) рассматри­ ваются перескоки вследствие изменения температуры в системах, содер­ жащих биметаллические упругие элементы.

О свойствах кривых Р — v см. статью В. В. Болотина «Нелинейная теория упругости и устойчивости «в большом»» (сб.: Расчеты на лроч-

59

ность б машиностроении, 1958, вып. 3) и § 94 книги А. С. Вольмиря «Гибкие пластинки и оболочки» (М.: Гостехиэлат, 1956),

Система, сходная с изображенной на рис. 6.4, была исследована Р. Граммелем (см. его статью «Scherprobleme* в журнале «IngenieurArchiv», 1949, т. 17, № 1—2). Библиографическую ссылку на работу Лоренца см. в конце § 10. Работы Теннисоиа опубликованы в журнале «Ракетная техника и космонавтика» (AlAA-Journal) (1963, № 2, с. 234— 235; 1964, №7, с. 239—241). Работы Кармана и Цянь Сюэ-сэия см.

вжурнале «Journal of the aeronautical sciences» (1939. т. 7, N*2; 1941,

т.8, № 8).

Вопросы потери устойчивости оболочек см. в книге А. С. Вольмира «Устойчивость деформируемых систем» (М.: Наука, 1967). См. также книгу «Упругие оболочки» (библиотека сборника «.Механика», М.: ИЛ, 1962; статья Фына н Сеютера «Неустойчивость тонких упругих оболо­

чек»).

Сводку теоретических и экспериментальных результатов, относя­ щихся к потере устойчивости цилиндрических оболочек, сжатых вдоль образующих, см. в работе Madsen W. A., Hoff N. J. The snape-through and postbuckling behavior of circular cylindrical shells under axiat load.— Department of aeronautics and astronautics Stanford University (SUDAER), 1965. № 227.

§7. Устойчивость желобчатой полосы

В некоторых технических устройствах применяют стерж­ ни. поперечные сечения которых существенно изменяются при изменениях изгибающих нагрузок. Такова, например,

постепенно распрямляется и из-

гибная жесткость быстро уменьшается; благодаря этому можно легко уложить ленту в корпус рулетки в виде ком­ пактной спирали, при этом сечения ленты почти полностью распрямлены.

Желобчатая полоса, когда она находится в свернутом состоянии, обладает некоторым запасом потенциальной энергии, который образуется не только вследствие изгиба оси полосы по спирали, но в основном из-за распрямления поперечных сечений Именно поэтому желобчатые полосы,

60