книги / Устойчивость и колебания упругих систем. Современные концепции, парадоксы и ошибки

Задачам магнитоупругоети посвящена монография С. А. Амбар­ цумяна, Г. Е. Багдасаряна в М. В. Белубскяна «Магнитоупругость гонких пластин и оболочек» (М.: Наука, 1977).

Литература, посвященная проблемам аэроупругости, будет указа­ на в конце гл. VII).

Приведенное решение задачи об устойчивости трубопровода сов­ падает с решением, которое дал Бресс *) для задачи о движении по мосту равномерно распределенной нагрузки.

Задачу о статической неустойчивости трубопровода см. в книге В. И. Феодосьева «Избранные задачи и вопросы по сопротивлению ма­ териалов» (М.: Наука, 1973, 4-е над., задача 119).

Г л а в а 11

ПОТЕРЯ УСТОЙЧИВОСТИ ПРИ ПОЯВЛЕНИИ НЕСМЕЖНЫХ ФОРМ РАВНОВЕСИЯ

Во введении указывалось, что потеря устойчивости не­ которых систем может выражаться по внезапных переходах системы из одного равновесного состоянии в другое, также разновесное, по не смежное с первым (потеря устойчивости

ввиде перескоков).

Вэтой главе собраны некоторые примеры таких систем.

Обсуждение начинается с простейшего эталонного случая — задачи о деформировании двухстержиевой системы, назы­ ваемой фермой Мизеса. Изучение этой системы позволяет выявить все существенные черты систем рассматриваемого вида.

§ 5. Теория катастроф и ферма Мизеса

В литературе, посвященной одному из новых разделов математики, который носит пугающее название «теория катастроф», можно встретить описание недавно предло­ женного демонстрационного устройства — машины Зимана. Машина состоит из диска, который может без трения поворачиваться вокруг своей оси, и двух пружин АВ и ВС, направления осей которых определяют угловую коор­ динату диска (тючка В связана с диском — см. рис. 5.1). Конец первой пружины А неподвижно закреплен на ос­ новании, а концу второй пружины С задается весьма медленное движение в плоскости основания. Свойства всей этой системы существенно зависят от положения, в кото­

*) Жан Антуан Шарль Бресс (1822— 1883) — французский ученый. Спел понятие ядра ссчепня, стал применять построение эиюр изгибаю­ щих моментов, поставил в общем виде задачу расчета статически не­ определимых систем методом сил. Член Парижской Академии наук.

41

ром паходится точка С. Как правило, малым перемещениям точки С соответствуют также малые изменения угла <р и направлений осей пружин. Однако при прохождении точкой С некоторых особых положений система перескоком резко меняет свою конфигурацию (см. штриховые линии на рисунке). Эти перескоки призваны иллюстрировать один из типов «катастроф», о которых идет речь в общей теории.

В строительной механике давно изучена система, кото­ рую по справедливости можно считать прообразом машины Зимина,— ферма Мизеса.

R 1923 г. Р. Мизес*) исследовал свойства двухстерж­ невого узла, к которому приложена внешняя сила; упро­ щенный вариант этой системы показан на рис. 5.2, а (Мизес не ограничился изучением симметричной схемы).

Рассматривая далее только с и м м е т р и ч н ы е ф о р ­ м ы р а в н о в е с и я , будем считать, что стержни, обра­ зующие систему, неограниченно прочные и линейно деформируемые; тогда без дальнейших оговорок можно рас­ сматривать не только малые, но любые вертикальные пере­ мещения узла. Для того чтобы представить себе возможность больших перемещений, достаточно предположить, что каж­ дый из стержней представляет собой пружину (рис. 5.2, б); в этом случае малым деформациям и напряжениям могут

Страсбурге и Берлине; после эмиграции из Германии -- профессор Стамбульского (1933—1939), а затем Гарвардского университета (1939— I960) Автор ряда исследований по теории вероятностен, аэродинамике и прикладной теории упругости. Основатель научною журнала «Zeitschrift fur angewandle Mathcmatik und Mechanik».

42

Так как перемещение v не мало и форма системы су­ щественно меняется в процессе нагружения, то уравнения равновесия следует составлять для деформированного со­ стояния, т. е. учитывать при их записи, что упругое равно­ весие соответствует конфигурации, заметно отличающейся от заданной. Уравнение равновесия узла дает

где N — усилия в стержнях, а — угол между направлением оси деформированного стержня и вертикалью. Таким

Рис. 5.2. Двухстержневой узел (ферма Мизеса)

образом, при учете деформаций рассматриваемая система становится, в сущности, с т а т и ч е с к и н е о п р е д е ­ л и м о й , поскольку в выражение (5.1) входит неизвестный угол а, отличающийся от заданного начального значения а„.

Составим еще одно (деформационное) соотношение меж­ ду усилиями N и перемещением и. Так как укорочение каж­ дою стержня равно

то усилия в стержнях составляют (/0 — начальная длина)

43

Если вместо стержней система содержит пружины, то жесткость EF в формуле (5.3) должна быть заменена экви­ валентной жесткостью пружины.

Теперь, приравнивая правые части выражений (5.1) и (5.3), можно найти связь между нагрузкой Р и углом а:

Далее можно от угла а перейти к линейному перемещению у. После преобразований вместо (5.4) получится

Зависимость (5.5) графически изображена на рис. 5.3 в виде кривой 1—2—О—S—4—5—6—7—8. Любой из точек этой

Рис. 5.3. Кривая равповеемых состояний фермы Мизеса

кривой соответствует некоторое состояние равновесия сис­ темы, характеризуемое соответствующей парой значений Р и V. Кривая равновесных состояний имеет вид графика, изображенного во введении на рис. 0.2; она имеет два экстремума — максимум в точке 3 и минимум в точке 5. Эти точки разделяют кривую на три характерных участка /, II и IIP, в пределах каждого из них зависимость меж­ ду Р и о носит моиотонный характер. Прямая, проходящая через начало координат по касательной к кривой Р — v, соответствует решению, получаемому по линейной теории.

Часть участка /, расположенная левее точки О, соот­ ветствует отрицательным, т. е. направленным вверх, си­ лам Р, причем при Р -*■ —оо узел неограниченно переме­

44

т. е. непосредственно перед перескоком и сразу же после него, соответствуют различные конфигурации системы; величина Р,» определяет верхнюю критическую силу. При дальнейшем увеличении силы Р состояниям равновесия системы будут соответствовать еще более высоко располо­

равновесия системы будут последовательно характеризо­ ваться точками 3—7—6—5. Заметим, что ири прохождении

до точки 6, то она не вернется в исходное состояние. Далее, для перехода из состояния 6 в состояние 5 необходимы отрицательные (т. е. направленные вверх) нагрузки Р. С дальнейшим уменьшением силы Р (т. е. при увеличении

а затем установится монотонный процесс деформирования

образом «завести» систему в какое-либо из таких состояний, но эти состояния неустойчивы.

Убедимся в этом, исследуя потенциальную энергию все­ возможных отклоненных состояний системы, если она на­ гружена некоторой фиксированной силой Рю, отмеченной на рис. 5.4. а. Как видно, при такой нагрузке возможны три состояния равновесия, характеризуемые точками М, N и R. Для анализа устойчивости каждого из этих состоя­ ний нужно рассмотреть зависимость полной потенциальной энергии системы от перемещений v, считая силу Р неизмен­ ной; другими словами, нужно рассмотреть состояния сис­ темы, описываемые всеми точками горизонтальной прямой Р~Рм> т. е. не только состояния равновесия, но и н е ­ р а в н о в е с н ы е состояния.

45

Полная потенциальная энергия системы в деформиро­ ванном состоянии состоит из двух частей: потенциальной энергии деформации, которую определим по формуле

Следовательно, полная потенциальная энергия системы равна

На рис. 5.4, б изображена зависимость 11=ГГ(ц); важно отметить, что абсциссы экстремумов совпадают с абсциссами

Рис. 5.4. а) Крипая равно­ весных состояний; 6) зави­ симость полной потенциаль­ ной энергии от перемещения о при фиксированном зпяче

нии силы Р=Рц|

точек М, N и R на рис. 5.4, а. При этом в точках с абсцис­ сами % и vR потенциальная энергия минимальна, т. с. равновесие устойчивое; в точке с абсциссой vv потенциаль­ ная энергия имеет максимум, и соответствующее состояние равновесия неустойчиво.

Следует отметить, что на рис. 5.4, о и б одной и той же буквой v обозначены, в сущности, неодинаковые величины:

45

и первом случае под v понимаются истинные перемещения, соответствующие изменяющейся силе Я, а во втором слу­ чае — возможные перемещения системы при фиксирован­ ной силе Р, в том числе перемещении, отвечающие неравно­

которой соответствует нулевая нагрузка Р = 0 (см. также рис. 5.5). При этом стержни сжаты и, естественно, будут стремиться к одному из разгруженных состояний, показан­ ных штриховыми линиями на рис. 5.5; эти состояния ха­ рактеризуются точками О и F на рис. 5.4, а.

Рис. 5.5. Состояния равпопесия фермы Милеса при Р=О

Таким образом, восходящие участки кривой Р—v соотиетствуют устойчивым состояниям равновесия, а нисходя­ щие — неустойчивым состояниям равновесия. Если систе­ ма каким-либо искусственным образом «заведена» на неус­ тойчивый участок //, а затем предоставлена самой себе, то после любого малого возмущения произойдет перескок в одно из состояний устойчивого равновесия: либо на учас­

Любопытно, что после нагружения и полной разгрузки обнаруживается остаточное изменение формы; поэтому

грамме изменения нагрузки исходная форма такой «неупругой» системы, конечно, полностью восстановится (на­ пример, при изменении нагрузки по циклу 7—6—5—2—0. рис. 5.3).

При перескоке из неустойчивого состояния равнооесия в устойчивое состояние потенциальная энергия системы мгновенно уменьшается, так как последнему соответствует более низкий энергетический уровень. Освобождающаяся

47

при перескоке потенциальная энергия переходит в кине* тическую, и поэтому возникнут колебания, которые с те­ чением времени затухнут из-за рассеяния механической энергии.

Заметим, что систему можно провести по всей кривой

вания и принудительным образом постепенно перемещать

узел вниз, исключив возможность перескоков.

Такой процесс кинематически задаваемого нагружения можно конструктивно осуществить, например, по схеме, показанной на рис. 5.6 (жесткое нагружение).

Плавным вращением шес­ терни 1 достигается посте­ пенное опускание зубчатой рейки 2, шарнирно связан­ ной с узлом 3. При этом перескоки исключены,а уси­

лия, передаваемые рейкой

*)

на узел, будут меняться в точности по кривой /—2— О—3—4—5—6—7—8, поскольку равномерным вращением

Можно рассмотреть несколько более сложную систе­ му — ферму Мязеса. снабженную дополнительной упругой опорой (рис. 5.7, а). Связь между нагрузкой Р и вертн-

48

кальным смещением о дЛя такой системы имеет вид

P « 2 £ F ( l - | t g a 0) x

где с — коэффициент жесткости упругой опоры. Зависимость (5.9) отличается от зависимости (5.5) только

слагаемым со в правой части, которое и определяет своеоб­ разие кривой (5.9).

В зависимости от жесткости дополнительной опоры с нижняя критическая нагрузка Р‘кр может оказаться отри­ цательной (по типу рис. 5.3) или положительной (по типу рис. 5.7, б).

Если жесткость с мала, то кривая Р—о в главных чер­ тах сохраняет прежний вид. Если же значение с достаточно

мостью Р—о, при полной разгрузке (снижение нагрузки до нуля) возвращается в исходное положение, так как перескок при разгрузке происходит при положительном значении силы Р.

В заключение нужно отметить существенную ограни­ ченность изложенного исследования свойств фермы Мизеса, связанную с принятым предположением о строгой симметрии всех рассмотренных равновесных форм. Однако ниоткуда не следует, что наряду с какой-либо симметрич­

грузке Рм. Анализ этой возможности представляет собой ис­ следование устойчивости — в прямом смысле слова — со­ стояний равновесия, описываемых кривой Р—о. Такой анализ был выполнен В. И. Феодосьсвым; им было уста­ новлено, что потеря устойчивости указанного вида проис­ ходит, когда в процессе возрастания нагрузки угол дости­ гает значения, определяемого равенством

Если отсюда найти критический угол о, то критическая сила определится выражением (5.4). Простые вычисления

показывают, что уравнение (5.10) имеет вещественные корни только при а 0<22°35\ т. е. для весьма «высоких» ферм Мизееа; при этом потеря устойчивости может нронзой-

49

ти задолго до того, когда в процессе нагружения произойдет перескок в симметричную равновесную форму. Для относи­ тельно «низких» ферм, когда а #>»22"35', обсуждаемый вид потери устойчивости невозможен.

Ферма Мизеса изучена в работах: R. Mises «СЬст die Slabilitatsproblemc der Elastizitatsiheorie» (Zeitsehr. ancew Math. Mech., 1923.— S. 406—462) и R. Mises, J. Ratzersdorier «Die Rnicksieherlieit von Fachwerkefi* (Zeitschr. agnew. Math. Mech., 1925.—S. 218—231).

В книге В. И. Феодосьевэ «Избранные задачи и вопросы по сопро­ тивлению материалов» (4-е изд.— М.: Наука, 1973) рассмотрена потеря устойчивости в виде перехода к смежным несимметричным формам рав­

новесия.

О теории катастроф см. книгу Т. Постона и И. Стюарта «Теория катастроф и ее приложения» (М.: Мир, 1980), а также Дж. М. Т. Томп­ сона «Неустойчивость и катастрофы в науке и технике» (At.: Д1ир. 1985).

§ 6. Примеры систем с перескоками

Способность некоторых механических систем к пере­ скокам в ряде случаев оказывается полезной. Так, напри­ мер, упругий элемент электрического переключателя дол­ жен «перескакивать» из одного состояния равновесия («вы­ ключен») в другое, резко отличающееся от исходного («включен»), и наоборот. Для этого кривая равновесных состояний упругого элемента переключателя должна обла­ дать заданной нелинейностью В других случаях способ­ ность к перескокам представляет собой недостаток кон­ струкции, который может быть следствием ошибок, допу­ щенных при проектировании или изготовлении.

Ниже будут разобраны некоторые из наиболее часто встречающихся случаев; оставляя в стороне количественный

значении происходит «прощелкиванне», и мембрана при­ нимает новую форму равновесия. На рис. 6 .2 изображены варианты кривых Р —v (о = х у Л , х'в — перемещение центра мембраны) для различных типов мембран, характеризуемых отношением Hih {Н — стрела подъема, h — толщина мембраны)

60