книги / Устойчивость и колебания упругих систем. Современные концепции, парадоксы и ошибки

посмотреть, каковы достоинства и недостатки других спо­ собов.

Второй способ. В общем случае действия произвольной возмущающей силы Р(() решение имеет вид (27.18) (в пре­ дыдущем параграфе мы подробно говорили о физической сущности этого решения), или

Теперь положим, что в моменты времени О, Т, 2Т, . . .

к системе прикладываются одинаковые импульсы S. Тогда для интервала времени \пТ, (л+1) Т\ по выражениям (28.9) находим

А = — ^ [ s i n рТ + sin2/> 7'+ . . . + sin npT], (28.10)

5 = ^ -[1 Ч w s p T cos2pT -{-. . . + cosnpT], (28.11)

Этим выражениям можно придать более компактный вид путем следующих преобразований. Умножим сумму, вхо­

Сложив все эти равенства, получим вместо выражения, стоящего в скобках формулы (28.10),

222

Аналогично этому, выражению, стоящему в скобках фор* мулы (28.11), можно придать форму

2sin рТ

Окончательно формулы (28.10), (28.11) приобретают вид

Таким образом, для определения движения на любом ин­ тервале нет необходимости в утомительном суммировании, которое требуется в первом способе; нужно лишь предвари­ тельно найти числа А и В по формулам (28.12), а затем воспользоваться весьма простым выражением (28.8).

Тем не менее рассматриваемый способ все же содержит

одного периода к другому (в эти выражения входит номер л), то для полного описания движения придется повторять вычисления заново для каждого нового периода. Эго тем более досадно, что, по-видимому, главной частью движения несомненно является п е р и о д и ч е с к и й п р о ц е с с , «навязываемый» упругой системе импульсами, повторяю­ щимися с периодом Т.

Чем объяснить, что полученное решение не обнаружи­ вает такой периодичности? Ответ на этот вопрос звучит несколько парадоксально: это решение «слишком» точное — в нем содержится не только описание стационарного коле­ бательного процесса с периодом Т, но и отражено влияние начальных условий, которое в действительности из-за не­ упругих сопротивлений очень быстро затухает. Кажется, что эта «примесь» к стационарному процессу вообще не может быть исключена, поскольку исходное уравнение записано для строго упругой системы, лишенной неупругих сопротивлений.

223

Можно ли вообще получить чисто периодическое реше­

демпфирование? Да, можно, как это показывают два сле­ дующих способа решения.

Третий способ. Рассматриваемая нами система линейна, и этим определяется законность принципа наложения, ко­ торым мы пользовались выше, когда добавляли к действию первого импульса действие второго импульса, затем треть­ его импульса и т. д. Однако этот принцип может быть применен по-иному. Произвольную периодическую силу Р{() с периодом Т можно представить в виде бесконечной

Идея решения состоит в том, чтобы сначала найти движения, вызываемые каждой из гармоник, а затем — опираясь на принцип наложения — просуммировать эти «парциальные» решения. Для вычисления коэффициентов On и Ьп следует воспользоваться формулами Фурье

В рассматриваемом случае действия периодических мгно­ венных импульсов имеем

224

Таким образом.

(28.16)

Я*1

и нам придется иметь дело не с мгновенными импульсами, а с бесконечной суммой, входящей в выражение (28.16);

Рассмотрим движение, которое вызывается действием только одного такого слагаемого. Для этого нужно решить дифференциальное уравнение движения

Частное решение (не связанное с начальными условиями) ищем в виде

Амплитуду Ап можно найти путем подстановки решения (28.18) в уравнение (28.17):

( - i = ? . ) 4 + P м „ - £ .

откуда следует

(28.19)

Таким образом, решение (28.18) имеет вид

Суммируя отдельные решения типа (28.20), т. е. складывая движения, вызываемые каждой из гармоник ряда (28.16), находим для одного периода

Здесь первый член соответствует первому слагаемому SIT в выражении (28.16). Хотя решение (28.21) требует сумми­ рования бесконечного ряда, но этот недостаток не может

225

движение в течение всего лишь одного периода. Это свойстворешения (28.21) выгодно отличает его от непериодических решений, полученных двумя первыми способами.

Стоит углубиться в причины, которые позволили полу­ чить желаемое периодическое решение, и обдумать ответы на два вопроса:

1.Каким образом удалось исключить «примеси», на­ рушающие периодичность?

2.Является ли полученное здесь решение более точным, чем решения, найденные двумя ранее изложенными спосо­ бами, или, напротив, менее точным?

Ответ на первый вопрос прост. Ведь решение (28.18) уравнения (28.17) представляет только чисто периодиче­ скую (с периодом Т) часть движения, так как в нашем ре­ шении заведомо «отсечены» те члены полного решения, которые могли бы нарушить эту периодичность.

Отсюда, казалось бы, вытекает и ответ на второй вопрос: найденное решение (28.21) не является точным решением задачи, так как нами не приняты во внимание начальные условия. Но в действительности из-за действия демпфи­ рующих факторов (неучтенных при составлении уравнения движении) начальные условия влияют на процесс движения лишь очень недолго и после некоторого небольшого числа периодов процесс приобретает стационарный характер, и последующее движение будет практически повторяться от периода к периоду. Можно сказать, что, разыскивая только

мальной, по, очевидно, разумной точки зрения решение (28.21) т о ч н е е отражает истинные закономерности,

чем полученные выше два других решения.

Четвертый способ. После всего сказанного выше трудно представить себе, что возможно столь счастливое сочетание достоинств замкнутости и периодичности, как в рассматри­ ваемом здесь четвертом способе.

Рассмотрим какой-либо одни из периодов Т, приняв за начало отсчета времени момент исчезновения последнего импульса. В течение рассматриваемого периода колебания

223

В конце этого периода, непосредственно перед приложением очередного импульса (т. е. при (= Л * имеем

но скорость мгновенно изменится на величину S/a и при

Хотя эти выкладки просты, но возможно, что читатель еще не уловил, с какой целью они сделаны. Все станет ясным после следующего решающего шага: вследствие предпола­ гаемой п е р и о д и ч н о с т и процесса величины Яг и q» должны быть равны соответственно величинам ft и ft, т. е.

Таким образом, мы получили систему двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными ft и ft; решив ее, найдем

И все? Да, это окончательное выражение исчерпываю­ щим образом решает задачу. Здесь нет конечных (как в спо-

227

собе 1) или бесконечных (как в способе 3) сумм; от способа 2 это решение выгодно отличается своей периодичностью. Достаточно построить закон движения для одного периода; в следующих периодах движение будет полностью повто­ ряться.

Как мы уже писали выше, периодичность достигнута вследствие игнорирования заданных начальных условий (т. е. условий, относящихся к начальному моменту, непо­ средственно перед приложением первого импульса); в ре­ альных системах благодаря демпфированию (которое в уравнении (28.22) не было нами учтено) в конце концов осуществляется именно такое периодическое движение.

Впрочем, при желании можно отразить в решении и действительно заданные начальные условия. Пусть в на­ чальный момент времени заданные смещение и скорость

соответственно составляют ql и <£. Конечно, они отлича­ ются от величин дви дв, которые относятся к чисто периоди­ ческому процессу и даны выражениями (28.32). Запишем тождества:

(28.34)

Первые слагаемые правых частей отвечают периодическому (с периодом Т) движению (28.33), а вторые слагаемые по­ служат причиной свободных колебаний (с периодом 2л(р)

9*=(^-slrd*4 ) С°М+(4 “ Я?)sin P f ' <28-35>

Здесь, в отличие от (28.33), время t отсчитывается от под­ линного начала процесса. Таким образом, движение будет описываться надлежаще образованной (с учетом различия в началах отсчета времени) суммой решений (28.33) и (28.35). Еще раз повторим, что вторая часть имеет практическое значение в течение небольшого промежутка времени вблизи начала процесса.

На этом можно было бы закончить рассказ, но полезно хотя бы кратко проанализировать результат, содержащийся

228

При всех иных соотношениях частот отклонения оказы­ ваются конечными. Наибольшее отклонение системы со­ гласно (28.33) равно

* - . - £ / > + ' * « • 4 - 1

H s" 4

Так как дробь S/(ap) есть максимальное отклонение, вы­ зываемое одним мгновенным импульсом 5, то выражение

2 1sin -5£- <•>

можно назвать коэффициентом влияния повторности. На рис. 28.1 изображена зависимость р от отношения частот

/

1

Рис. 28.1. Коэффициент влия­ ния повторности импульсов Q5

О

оi/p. Как видно, здесь возможно неограниченно большое число ударных резонансов (соответственно формуле (28.36)). Наименьшее возможное значение р равно 1/2.

В заключение нужно отметить, что основная идея, ле­ жащая в основе изложенного варианта, с тем же успехом может быть применена и в более общем случае — когда внешнее возбуждение представляет собой периодическую силу, с л ю б ы м законом изменения в течение периода.

Выбирая последовательность изложения четырех вариантов ре­ шения, мы сознательно нарушили хронологический принтшп.

Первый из способов можно найти в книге Н . К. Снитко «Динамика сооружений» (М.: Госстройиздат, 1960, с. 69). Второй способ был пред­ ложен А. Н. Крыловым (см. его книгу «Вибрация судов»,— М.: ОНтИ,

§7). В книге С. А. Бернштейна *Основы динамики сооружений» (М.:

Госстройиздат, 1938, § 51) тот же способ применен к задаче о действии периодических импульсов конечной продолжительности и дана некая

229

oneпнл суммарного эффекта. Казалось бы, что эту опенку можно путем несложного предельного перехода отнести к случаю действия мгновен­ ных импульсов, однако найденный С. А. Бернштейном результат со­ вершенно ошибочен — в выкладках принято, что при любых целых числах т и п «cos n (2т—1)л=»—1, так как n (2m—1) — нечетное чис­ ло» (с. 153),

Третий способ неоднократно применялся многими авторами для задачи о действии периодической вынуждающей силы общего вида; во многих прикладных дисциплинах этот способ обладает как бы моно­ полией (например, при анализе колебаний коленчатых валов двигателей внутреннего сгорания).

Четвертый способ был предложен в 1918 г. Дуффингом для общего случая действия периодической вынуждающей силы и с учетом вязкого сопротивления излагается во всех изданиях книги Л. Г. Лойиякского и А. И. Лурье «Курс теоретической механики» (см., например, 6-е изд., М.: Наука, 1983, § 184). Опираясь на приведенное там решение, можно перейти и к случаю действия периодических мгновенных импульсов на систему без трения; впрочем, в указанном издании этот частный слу­ чай рассмотрен и независимо (см. с. 79—81). См. также «Курс строитель­ ной механики» И. М. Рабиновича, т. 2 (М.: Госстройиздат, 1954), где разъяснен и прием дополнительного учета действительно задаваемых начальных условий с помощью выражения (28.35).

«Математическую автобиографию» Н. Г. Чеботарева см. в журнале «Успехи математических наук» (1948, 1. 3, №4 (26)).

В первые два издания нашей книги в фразу, предшествующую вы­ ражению (28.37), вкралась неточность — вместо «наибольшее отклоне­ ние» было написано «амплитуда». Этой неточности, а также еще одному, пожалуй, более серьезному авторскому промаху (в 4 4) была посвящена статья Y. Рironпеан «Sut la stability des systemes elastiques et de quel* ques erreurs» (Atinales des Ecole nationale suplrieure de mecanjque, Nan* tes, I sem„ 1975).

§ 29. Об «обратной» форме дифференциальных уравнений колебаний

Уравнении Лагранжа представляют собой наиболее общую форму записи дифференциальных уравнений коле­ баний механических систем со многими степенями свободы. Пусть рассматривается консервативная система с л степеня­ ми свободы, причем qt— обобщенные координаты, aik— инерционные коэффициенты и сц,— коэффициенты жестко­ сти. Кинетическая и потенциальная энергия равны

Соответственно уравнения Лагранжа приобретают форму

п

где Qi— обобщенные силы, являющиеся заданными функ­ циями времени (вынуждающие силы).

230