книги / Устойчивость и колебания упругих систем. Современные концепции, парадоксы и ошибки

Следует отметить особую практическую важность именно первого приближения. Дело в том, что описание всех спе­ цифических нелинейных аффектов чаще всего содержится уже в первом приближении; в то же время объем выкладок, нужных для построения высших приближений, резко воз­ растает с каждым следующим этапом приближения. Одиако есть еще одно принципиальное соображение, которое не­ редко делает вообще сомнительной целесообразность пост­ роения высших приближений: параметры, входящие в уравнения движения конкретных механических систем, известны лишь с некоторой ограниченной точностью. По­ этому логично строить приближения лишь до того уровня точности, который соответствует точности задания парамет­ ров; во многих нелинейных задачах разумно остановиться уже иа первом приближении — построение высших при­ ближений может дать лишь и л л ю з и ю повышения точности. В литературе порой можно встретить подобные «уточненные» решения конкретных нелинейных задач с довольно грубо определенными исходными значениями па­

решены лишь в первом нелинейном приближении; подобная упрощенная постановка особенно оправдана в книге тако­ го характера, как эта.

Глава VI

НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ О КОЛЕБАНИЯХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

В этой главе рассматриваются относительно несложные вопросы теории колебаний линейных механических систем; как и в других главах, при выборе тем и аспектов их об­ суждения авторы отошли от традиций, господствующих в учебной литературе. Часть параграфов (§21—26) посвящена свободным колебаниям, в §27—30 разбираются вопросы вынужденных колебаний; изложение некоторых особых зачач о действии трения дано в § 31—33. В § 34 рассматри­ ваются параметрические колебания линейных систем.

§21. Системы с нецелым числом степеней свободы

Каждая приближенная теория имеет ограниченную сферу применимости, и притом тем меньшую, чем прими­ тивнее исходные модельные представления,— об этом пос­

161

тоянно говорят на лекциях и пишут в книгах. Иногда такие предупреждения сопровождаются более или менее четкими количественными указаниями («технической теорией из* гиба стержней можно пользоваться при условии, что высота поперечного сечения по крайней мере на порядок меньше длины стержня»), а в других случаях носят скорее качест­ венный характер («переменную во времени нагрузку можно считать статической, если она достаточно медленно изменя­ ется во времени» *)).

Но одновременно с этим нужно иметь в виду и другую сторону вопроса. Когда упрощенная теория приводит к какому-либо несоответствию с действительностью, иной исследователь видит в этом свидетельство полной негодно­ сти модели и склонен вообще забраковать такую модель. Но это тоже крайность, потому что несостоятельность от­ дельных результатов применения упрейденной модели в принципе неизбежна (должна же в чем-то проявиться при­ ближенность!) ; встретившись с такой ситуацией, не следует торопиться с полным осуждением модели, а нужно спокойно осмыслить существо обнаруженного конфликта — очень часто такие конфликты носят лишь локальный характер и не могут опорочить модель в целом.

На эти мысли может навести, в частности, обсуждение задачи о движении груза, показанного на рис. 21.1. Пусть у — отклонение груза от положения равновесия, с — коэф­ фициент жесткости пружины, k — коэффициент вязкого трения, т — масса груза. Тогда дифференциальное уравне­ ние свободного движения, возникающего после начального

Допустим теперь, что масса груза настолько мала, что ее решено принять равной нулю и рассматривать безынер­ ционную систему с уравнением

содержит только одну постоянную .4 и поэтому не может удовлетворить одновременно двум начальным условиям:

*) Этому ограничению можно придать а количественный характер; см. об этом ниже, на с. 207 и далее.

162

{/(0)=jfa, (/(0)= v o. Если потребовать выполнения первого условия, то получится А=ув и решение примет вид

et

при этом

у------(21.5)

т.е. найденное решение как бы «навязывает» начальной скорости значение

которое может сколь угодно сильно отличаться от неза­ висимо задаваемого значения с0. Впрочем, соотношение (21.6) вытекает также непосредственно из уравнения (21.2).

»1

линия)

Так с какой же скоростью начнется движение рассмат­ риваемой вырожденной системы — со скоростью vt или со скоростью — cyjk? Как будет происходить движение систе­ мы при /> 0 ? Ответы на эти вопросы дамы сплошной линией на рис. 21.2. В начале движения независимо от значения t>„ скорость скачком примет значение — cyjk, данное в вы­ ражении (21.5), после чего будет изменяться по показатель­ ному закону (21.4).

Для того чтобы понять существо полученного решения, нужно вернуться к полному уравнению (21.1) и рассмотреть его решение при малых, но отличных от нуля значениях

163

массы т. Эго решение, удовлетворяющее начальным усло­ виям i/(0)=$r«, y(0) = iy иллюстрировано на том же рис. 21.2

штриховой линией.

Различие между двумя зависимостями ощутимо только в самом начале движения, когда вместо быстрого изменения скорости системы с тф0 получается мгновенное изменение при т=0. Конечно, для начального этана движения безмассовая модель непригодна, но она становится приемле­ мой по прошествии некоторого небольшого промежутка времени — тем меньшего, чем меньше значение массы груза.

Коротко говоря, использование вырожденной модели приводит к некоторому конфликту, но он имеет лишь ло­ кальное (во времени) значение. Подобные конфликты, воз­ никающие при анализе вырожденных систем,— вынужден­ ная дань идеализации; Л. И. Мандельштам *) говорил, что «идеализация мстит за себя». Подобные несоответствия чаще всего носят лишь локальный характер (в пространстве или во времени). Описанный вырожденный случай рассмот­ рен в книге А. А. Андронова **), А. А. Витта и С. Э. Хайкина «Теория колебаний», где эта система названа «систе­ мой с 1/2 степени свободы». Основанием для такого необыч­ ного названия служит то обстоятельство, что дифферен­ циальное уравнение движения имеет первый порядок, тогда как для системы с одной степенью свободы уравнение дви­ жения имеет второй порядок.

Рассмотрим теперь системы, изображенные на рис. 21.3, предполагая во всех случаях консольный стержень идеально упругим и лишенным массы. Система а имеет 1/2 степени свободы, системы б и в — одну степень свободы. Система г имеет две степени свободы. Но сколько степеней свободы имеет система д? Для ответа на этот вопрос можно рассмат­ ривать эту систему как результат вырождения предыдущей системы, когда одна из масс равна нулю. Поэтому нужно

в области оптики, радиотехники и теории колебаний; один из создателей теории нелинейных колебаний.

**) Александр Александрович Андронов (1901—1952) — с 1931 г. профессор Горьковского университета, с 1946 г.— академик. Решил ряд важных проблем теоретической радиотехники, теории нелинейных колебаний и теории автоматического регулирования.

164

бодных колебаний. Для их составления удобно воспользо­ ваться коэффициентами влияния, называемыми в строи­ тельной механике единичными перемещениями.

Коэффициентом влияния упругой системы 6ik называ­ ется перемещение по направлению t, вызываемое статиче­ ской силой Р—1, действующей по направлению k. Это по­

исключить из системы перемещение yv и его производную то для перемещения у2 получится дифференциальное урав­ нение третьего порядка

Как видно, число степеней свободы рассматриваемой системы естественно считать равным Р/,, поскольку по­ рядок полученного уравнения в ll/s раза больше, чем норя-

105

док дифференциального уравнения для системы с одной сте­ пенью свободы.

Мы не будем заниматься решением уравнения (21.8), но отмстим, что соответственно его порядку о окончатель­ ный результат войдут т р и постоянные и для их определе­ ния необходимо исходить из т р е х начальных условий. В этой несколько нестандартной ситуации кроме обычных условий, относящихся к начальному отклонению yt (0)

н начальной скорости £*(0), необходимо указать значение

начального ускорения t/,(0). Это можно сделать, если рас­ полагать сведениями о начальном отклонении у ,(0) точки крепления демпфера; тогда нз уравнений (21.7) можно по­ лучить

5*Ф) в У\ (0) 6«i—у*(О) ^it т(Лив»—*?»)

После этого задача вычисления трех постоянных интег­ рирования уравнения (21.8) становится полностью опре­ деленной. Разумеется, что приведение системы к виду (21.8) не обязательно; можно решать — как это обычно и делается — непосредственно систему (21.7) и находить постоянные интегрирования из трех условий, относящих­

ся к начальным значениям </i(0), у»(0), и уг(0).

На рис. 21.4 показаны три системы, каждая из которых включает один груз, который может поступательно пере­ мещаться по вертикали, и опору, состоящую из комбина­ ции упругих и вязких элементов. Подробный анализ каж­ дого из случаев приводит к следующим числам степеней сво­ боды: схема а — 1, схема б — I1/». схема а — 2.

Отметим в заключение, что разнообразные комбинации упругих и вязких элементов (иногда также пластичных элементов) служат для наглядной иллюстрации свойств

166

различных реальных деформируемых тел и называются

реологическими моделями.

Книга А . А . Андронова, А. А . Витта и С .Э . Хавкина «Теория колебаний» (2-е над.— М .: Ф и з м а т » , 1959) в основном посвящена не­ линейным колебаниям. О реологических моделях см., например, книгу

стандартная линейная вязкоупругая модель, в — модель Бюргерса.

§ 22. Свободные колебания консоли в поле центробежных сил

Рассмотрим задачу о свободных изгибных колебаниях упругой консоли, изображенной на рис. 22.1, когда жесткая заделка равномерно вращается в плоскости чертежа) та­ кая система представляет собой предельно (а может быть,

Рис. 22.1. Схема консоли, опора которой вращается с постоянной угловой скоростью

чрезмерно) упрощенную схему турбинной лопатки. Из-за вращения системы развивается центробежная сила, которая растягивает консоль; вслед­ ствие этого ее изгибная жест- У, \ кость становится более высо­ кой, чем в отсутствие враще­ ния, а собственная частота колебаний будет больше, чем собственная частота колеба­ ний невращающейся консо­ ли*). Будут ли количествен­ но одинаковыми эти измене- У, ния при колебаниях в плос­ кости чертежа уг и при коле­ баниях, перпендикулярных плоскости чертежа?

Этот вопрос и является темой настоящего параграфа; для ответа необходимо реше­ ние двух вспомогательных ста­

тических задач, схемы которых представлены на рис.

*) Д л я собственныхчастот невращающнхея турбинных лопаток иногда пользуются бесспорно неудачным термином «статическая час­ тота».

167

Вобоих случаях поперечный изгиб, вызываемый силой Р, осложнен сопровождающим действием продольной силы N. Но в случае а сила N поворачивается при изгибе и ее

линия действия проходит через начальное сечение консоли, а в случае б сила N имеет неизменное направление. Найдем значения эффективного коэффициента жесткости с для обеих схем:

(22. 1)

где f — прогиб конца консоли.

Приведем решения обеих задач, записывая параллельно соответствующие выкладки для каждого из случаев.

где у — прогиб произвольного сечения консоли. Дифферен­ циальное уравнение изогнутой оси:

168

Можно проверить, что при отсутствии продольной силы ( а = 0) в обоих случаях после предельного перехода полу­

чится известный результат / = ^ j • Соответственно (22.1)

находим из выражений (22.14) и (22.15) коэффициент жест* кости:

На рис. 22.3 представлены отношения с!сй в зависимости от безразмерного произведения al. Из графиков видно, что коэффициенты жесткости могут существенно различаться, и, следовательно, рассматриваемые случаи смешивать не­ допустимо.

Теперь мы можем вернуться к вопросу об изгибных ко­ лебаниях консоли. Если эти колебания происходят в плос­ кости вращения, то переносная сила инерции направлена так, как это представлено на рис. 22.2, а; если же колеба­ ния происходят из плоскости вращения, тс направление этой силы соответствует рис. 22.2, б. В обоих случаях

где m — масса груза, © —* угловая скорость, так что в формулы (22.17), (22,16) следует подставлять

Конечно, значение изгибной жесткости EJ должно при­ ниматься соответственно тому или иному направлению изгиба.

После того как вычислен коэффициент жесткости, соб­ ственная частота *) определяется по простой формуле:

Иногда в литературе также отмечается влияние корио­ лисовой силы инерции, возникающей при колебаниях в

Рис. 22.3. Зависимость коэффициента и. гибной жесткости от безраз­ мерного параметра а/

плоскости вращения. Покажем, что учет этого влияния практического смысла не имеет.

Линия действия этой силы лежит в плоскости вращения системы и перпендикулярна вектору относительной ско­ рости груза, т. е. параллельна оси z\ кориолисова сила инерции циклически меняется по модулю и направлению Наибольшее значение кориолисовой силы инерции дости­ гается в момент прохождения грузом его среднего положе­ ния:

170