книги / Устойчивость и колебания упругих систем. Современные концепции, парадоксы и ошибки
.pdfПодставляя (24*5) 8 выражения |
(24.3) и (24.4), находим |
||
|
I |
|
|
П = ~ sin* pt j |
EJ (ГУ dz, |
(24.6) |
|
|
о |
t |
|
|
|
|
|
T |
cos* pt ^ m/* dz. |
(24.7) |
|
|
|
0 |
|
С течением времени каждая из этих величин непрерывно меняется, но, согласно закону сохранения энергии, их сумма остается постоянной, т. е.
rfJ P + D = o. |
(24.8) |
Если подставить сюда выражения (24.6) и (24.7), то мы при дем к равенству
t |
I |
|
5 EJ (Г)* dz = р* 5 mf* dz, |
(24.9) |
|
о |
о |
|
левая часть которого представляет собой наибольшую по
тенциальную энергию, а правая — наибольшую кинетиче скую энергию. Отсюда следует формула Рэлея, определяю
щая частоту изгибных колебаний стержня:
<
J EJ ifYdz
p* = -!i7------------- |
. |
(24.10) |
^ mf*dz
о
Бели со стержнем, обладающим распределенной массой ш, связань: сосредоточенные грузы с массами Mlt то формула (24.10) приобретает вид
5I EJ {ГУ dz
|
о |
(24.11) |
|
Рг— ~ |
|
|
ImPdz + ^ M J ] |
|
|
о |
|
Коснемся трех вопросов, связанных с |
формулой Рэлея. |
|
1. |
Как относиться к этой формуле — считать ее точной |
|
или |
приближенной? |
|
Ш
Мы проследили весь ход вывода и можем сказать, что в рамках принятых допущений (справедливость технической теории изгиба стержней, отсутствие неупругих сопротивле ний) эта формула т о ч н а я , если /(г) — истинная форма колебаний. Однако, к сожалению, функция f(z) заранее неизвестна. Чтобы точно ее найти, нужно решить дифферен циальное уравнение задачи; но при этом зачастую громозд ком решении одновременно определяется и величина р *), так что формула Рэлея становится ненужной.
Практическое значение формулы Рэлея состоит в том, что с ее помощью можно найти собственную частоту р, з а д а в а я с ь формой колебаний /(г); при этом в решение вносится более или менее серьезный элемент приближен
ности. По этой причине формулу Рэлея иногда |
называют |
п р и б л и ж е н н о й , хоти приближенность |
(правда, |
всегда неизбежная), в сущности, связана не с самой форму лой, а с приемами ее реализации.
2.Рэлею принадлежит не только вывод формулы (24.11),
но и доказательство очень важной теоремы: при любом вы боре формы колебаний f(z), удовлетворяющей кинематиче ским граничным условиям задачи, формула (24.10) (или (24.И)) дает значение о с н о в н о й частоты всегда бо лее высокое, чем ее истинное значение.
В 1939 г. в книге С. А. Бернштейна «Основы динамики сооружений» в связи с обсуждением формулы Рэлея со вершенно справедливо отмечалось, что «частота, вычислен ная для формы изгиба, отличающейся от истинной, будет всегда выше истинной частоты». К этому верному утвержде нию автор пришел путем разумных, хотя чисто качествен ных соображений, не опираясь на теорему Рэлея.
Прошло два года, и С. Л. Бернштейну показалось, что приведенная выше фр за неверна. Во втором издании той же книги ои, отказавшись от прежнего утверждения, пи шет! «Приближенное вычисление частоты по методу Рэлея может давать как преувеличенное, так и преуменьшенное значение частоты в зависимости от выбранной формы из гиба». На эту смену позиций автора натолкнул следующий приводимый им пример.
Рассматривается задача о свободных поперечных коле баниях шарнирно опертого стержня. Форма колебаний f(z) принимается в виде двух отрезков прямых, образующих треугольник с осью балки (рис. 24.1). Далее автор пишет, что поскольку в этом случае /'«=0, то числитель в формуле
*) Точнее, ряд значений р, образующих спектр собственных частот.
182
{24.10) обращается в нуль и, следовательно, р=0. Этим как будто доказано, что формула (24.10) может давать зна чения меньшие, чем истинное. После этого читаем: «Хотя в разобранном примере порок очевиден (нарушение плавно сти упругой линии), но достаточно было бы предположить конечную длину закругления, чтобы восстановить эту плав ность, не изменяя результата вычислений». Здесь имеется в виду форма изгиба, изображенная на рис. 24.1, б. Жаль, что С. А. Бернштейн поддался первому впечатлению и не про делал соответствующие выкладки.
Пусть два прямолинейных участка оси составляют углы Ф’2 с горизонтом и сопрягаются дугой окружности радиу са р. Длина этой дуги равна а=р<(: (рис. 24.1, б), гдер — радиус кривизны среднего учаака. Тогда числитель выра жения (24.10) становится равным
Устремим к нулю длину а криволинейного участка, считая, конечно, угол <р неизменным. При этом радиус кривизны также будет стремиться к нулю, а числитель в выражении (24.10) — к бесконечности. Таким образом, намеченной на
Рис. 24.1. Форма колебаний в виде двух игрезкоп прямых: а) без плавного перехода; б) с плавным переходом
рис. 24.1, б форме колебаний соответствует ие нулевое, а бесконечно большое значение числителя (24.10). Так как знаменатель в формуле Рэлея при уменьшении величины а остается конечным, то по формуле (24.10) получится часто та. равная не нулю, а б е с к о н е ч н о с т и ; этот резуль тат, конечно, не имеет никакой ценности, но вовсе не про тиворечит теореме Рэлея
3. Весьма распространен прием использования форму лы (24 10), обеспечивающий удовлетворение функции f(z) кинематическим граничным условиям, Для этого задаются
183
не функцией /(г), а некоторой фиктивной нагрузкой д(г)\ кривая изгиба, вызываемого этой нагрузкой, и подставля ется в формулу (24.10). При таком подходе граничные усло вия будут выполнены автоматически.
Достоинство этого приема состоит, кроме того, и в том, что вычисление наибольшей потенциальной энергии по формуле
i
n = l j £ y < n M z |
(24.12) |
о
можно заменить более простым вычислением работы
1 |
|
A = ± $ q f d z , |
(24.13) |
о |
|
так как величины П и А равны друг другу. При этом фор мула Рэлея (24.11) записывается так:
\qfdz
Ра= ~ ------ |
2------- |
(24.14) |
о
Если задаваемая фиктивная нагрузка содержит также сосредоточенные силы Ри то формула (24.14) принимает вид
i
5 < 7 /^ + 2 Л // |
|
г---------------------- • |
(24.15) |
+ 2 М |Я |
|
о |
|
Следует иметь в виду, что величины Af,и Р г, |
вообще |
говоря, не связаны между собой; первые представляют со бой массы ф а к т и ч е с к и имеющихся сосредоточенных грузов, а вторые — силы, входящие в состав п р и д у м а н н о й статической нагрузки. Точно так же не связаны меж ду собой функции т(г) и q(z).
Впрочем, часто в качестве нагрузки принимают действи
тельную нагрузку от веса стержня |
|
<?(z) = m(z) g. |
(24.16) |
Эго соответствует предположению о том, чтоформа колеба ний совпадает с формой статического изгиба, вызываемого
134
собственным весом стержня. Если сосредоточенные массы
на балке отсутствуют, то формула (24.14) записывается в
виде
1
J mfdz
--------- . |
(24.17) |
j mf* dz
о
При пользовании этой формулой функцию f(z) уже не вы бирают; она представляет собой вполне определенную кри вую статического изгиба.
Последняя редакция формулы Рэлея наиболее проста и обладает полной определенностью. Но в то же время она принципиально отличается от формулы (24.10): кривая из гиба от распределенных сил тяжести не совпадает с истин ной кривой изгиба при колебаниях; поэтому формула (24.17) н и к о г д а не может дать точного значения частоты р.
Если статическая нагрузка содержит также сосредото ченные грузы с массами Mt, то вместо формулы (24.17) по
лучится
t
$ mfdz -f 2 Мifi
p2= gn ------------------------ |
(24.18) |
5 т / * < ь + 2 а д
о
Эта формула, как и формула (24.17), дает всегда неточный результат.
В одном справочнике формула Рэлея дана в виде
I
l E J f T f d z + g Z M ' t ,
= — j--------------------------- |
- (24.19) |
$ т /М г + 2 |
а д |
о |
|
Эта формула вообще необоснована. Так, например, если подставить в нее истинную функцию /(г), то из-за лиш него слагаемого в числителе получится неверный результат (см. для сравнения формулу (24.11)).
Обратимся теперь к формуле Граммеля. Эта формула об ладает серьезными достоинствами, но до сих пор еще недо статочно популярна в технической литературе (возможно.
18$
вследствие своей относительной «молодости» — она была предложена в 1939 г.)-
Снова остановимся на той же задаче о свободных изгибных колебаниях, но прежде всего попросим читателя сразу взглянуть на окончательный результат (24.24). По первому впечатлению эта формула выглядит странно. Может даже показаться, что в нее вкралась ошибка: числитель и знаме натель как будто перепутаны местами (сравните формулу Граммеля с основной формулой Рэлея или любым из ее вариантов). На самом же деле эта странная конструкция вполне обоснована, как это можно видеть из следующего простого вывода.
Пусть f(z) — задаваемая форма свободных колебаний стержня. Тогда интенсивность максимальных сил инерции определяется выражением mp*f. где по-прежнему т= =tn{z) — интенсивность распределенной массы, рг — квад рат собственной частоты колебаний Эти силы достигают указанного значения в тот момент времени, когда прогибы мзксиматьны. г. е. определяются функцией /(г).
Запишем выражение наибольшей потенциальной энерции изгиба через изгибающие моменты, вызываемые мак симальными силами инерции:
Н— |
(24-20) |
|
о |
Здесь EJ — жесткость при изгибе, /ИШЭГ= М ШЗГ(г) — изги бающие моменты, вызываемые нагрузкой mp*f. Обозначим
через М„ЗТ изгибающий момент, вызываемый условной на грузкой mf, т. е. нагрузкой, в р*раз меньшей, чем силы инергии; тогда
М К,Г= Р 1Л4ЯЗГ |
(24.21) |
и выражение (24.20) можно записать в виде
= |
(24.22) |
Наибольшая кинетическая энергия, которой обладает си стема при прохождении положения равновесия, как и выше, определяется выражением
t
Г** = £ $ « / * & . |
(24.23, |
о |
|
186
Приравнивая выражения (24.22) и (24.23), приходим к
формуле Граммеля:
i
J mi* й г
Р ^ -^ Г !-------• |
*24.24) |
С Мизг <1?
Jо EJ
Для вычислений по этой формуле необходимо прежде всего задаваться подходящей функцией /(г). После этого путем умножения функции }{z) на т(г) определяется услов ная нагрузка rnf, и затем известными методами сопротивле ния материалов находятся вызываемые условной нагрузкой изгибающие моменты МКЗТ. Теперь остается вычислить вы ражения, входящие в числитель и знаменатель формулы (24.24).
Иллюстрируем это на простейшем примере свободных колебаний консольного стержня постоянного сечения. Пусть левый конец стержня закреплен (с этим концом мы совместим начало координат), а прасый конец свободен. Примем в качестве формы колебаний функцию
/(z)«=az2, |
(24.25) |
где г — координата сечения, а — постоянная. Эго выра жение удовлетворяет всем кинематическим условиям за дачи и может быть положено в основу вычислений как по формуле Рэлея, так и по формуле Граммсля.
Для того чтобы воспользоваться формулой Рэлея, пред варительно находим
i |
|
|
5 EJ{fydz = AaHEJ, |
(24.26) |
|
о |
|
|
от/ 2dz — таЧ5 |
* |
(24.27) |
Теперь по формуле (24.11) определяем квадрат собственной
частоты |
колебаний: |
|
|
|
(24.28) |
Заметим |
то этот результат существенно отличается от точ |
|
ного значения |
|
|
|
, 1 Z,3bEJ |
(24.29) |
|
р ----- 53Г -- |
187
Для вычисления собственной частоты по формуле Граммеля прилим ieM условную нагрузку в виде таг2 и находим соответствующие изгибающие моменты от этой нагрузки:
3/*)-
Теперь определяем знаменатель выражения (24.24):
C*Al5,r<Mlndz |
62,31 EJ |
(24.30) |
|
J BJ |
|||
|
Числитель того же выражения нами уже найден в виде (24.27). Разделив (24.27) на (24.30), находим
12,46£/ |
(24.31) |
|
ml* ’ |
||
|
что значительно ближе к точному результату, чем резуль тат, вычисленный но формуле Рэлея.
Метол Граммеля в его развернутой форме позволяет строить последовательные приближения и определять так же высшие частоты колебаний. Граммель доказал, что вычисленные по его методу собственные частоты всегда ближе к точным, чем вычисленные по методу Рэлея (при том же выборе аппроксимирующих функций).
Заключая изложение, нужно признать, что вопрос о вычислении первого приближения в последние десятиле тия утратил свою остроту благодаря широким возможно стям построения высших приближений на ЭВМ; при этом в основу вычислительных процедур обычно кладется метод Бубнова — Галерки на *). Вначале (метод был предложен в 1913— 1915 гг.) он был нацелен на решение задач относи тельно узкого класса, но впоследствии получил признание как весьма универсальное и мощное средство современной вычислительной математики.
Пример, якобы опровергающий теорему Рэлея (см. выше рис. 24.1. б), был приведен С. А. Бернштейном во втором издании книги «Основы динамики сооружений} (М.: Госстройиздат, 1941). Критиче ские замечания по поводу соображений С. А. Бернштейна были опу бликованы М. И. Длугачем (см. его статью «К вопросу о решении задач
*) Иван Григорьевич Бубнов (1872— 1919) — один из основополож ников строительной механики корабля. С 1909 г.— профессор Петер бургского политехнического института, с 1910 г.— профессор Морской академии.
Борис Григорьевич Галеркин (1871— 1945) — профессор Ленин градского политехнического института, академик (с 1935 г.) Автор работ в области теории упругости, в частности — по теории пластин.
188
устойчивости и колебаний упругих систем энергетическим методом», С6. трудов Института строительной механики АН УССР, Киев, 1951,
.V 15).
Формула (24.19) приведена в книге И. И. Гольдеяблзта и А. №. Си зова «Справочник по расчету строительных конструкций на устойчивость и колебания» (М.: Госстройиздат, 1952, с. 175).
Формула Граммеля была предложена в его статье «Ein neues Verfahren zur Losung techniseher Eigenwertprobleme» (Ingenieur Archiv, 1939, T. 10) (см. также книгу: Бицено K-, Граммедь Р. Техническая ди намика,— М.: Гостехиэддт, 1950, т. I, с. 257—261).
§ 25. Ошибка Лагранжа
Теория колебаний линейных механических систем с несколькими степенями свободы была дана Лагранжей *)
в его классическом труде «Аналитическая механика». На помним основные положения этой теории.
Уравнения свободных колебаний для линейной механи ческой системы с п степенями свободы имеют следующий вид (при отсутствии неупругих сопротивлений):
П
2 (aiktik+ clk4k) ~ О |
(1==1» 2, . . . . П), |
(25.1) |
*=1 |
|
|
причем в консервативных системах инерционные коэффици енты ащ и кеазиупругие коэффициенты с{„обладают свой ством взаимности:
alk— ам* |
clk— Cki• |
(25.2) |
Для интегрирования этой системы уравнений принима ются частные решения в виде
<7*=/4t sin(p* + <p). |
(25.3) |
Подстановка (25.3) в (25.1) приводит к системе алгебраи ческих уравнений
k2- 1 (а*Р4- с * ) 4* = 0 |
(1 = 1 ,2 ..........п). |
(25.4) |
В этой системе п уравнений содержится п+1 неизвестных, а именно амплитуды А1у . . ., Ап и частота р.
*) Жозеф Луи Лагранж (1736—1813) — с 19-летнего возраста про фессор математики в Турине. С 1759 г. член, а с 1766 г,— президент Берлинской Академии наук; с 1787 г. жил в Париже, где продолжал научную работу в качестве члена Парижской Академии наук. В 1776 г. был избран почетным иностранным членом Петербургской Академии
■иук.
189
Ввиду того, что система уравнений (25.4) однородна относительно амплитуд Ак, она удовлетворяется тривиаль ным решением
Аг- А г- . . . = А Я- О, |
(25.5) |
которое соответствует отсутствию колебаний и реализуется лишь при нулевых начальных условиях:
<?! = <?*= •• • =</п = 0, |
= |
•••-<?„«= 0. (25.6) |
Помимо этого тривиального решения возможны нену левые решения для Ак, но при условии, что равен нулю оп ределитель системы уравнений (25.4):
|
Л(р2) = 0, |
|
(25.7) |
или, более подробно, |
|
|
|
апР*-си |
в |гРг — cia- • • |
в|иР* —«К, |
|
a n p i—cn |
вггР* — г**- •• |
atnP*— etn = 0. |
(25.8) |
— c„i |
°ntP *—cn i‘ " |
a«nP* - с„п |
|
Если развернуть этот определитель, то получится ал* гсбраическое уравнение с неизвестной р%, причем степень этого уравнения равна п, т. е. числу степеней свободы сис темы. Решив это частотное уравнение, мы найдем п корней Pz. р\> . ., р%\ доказано, что все эти корни вещественны и положительны.
Частоты р называются собственными, поскольку все они полностью определяются свойствами самой системы, ко торые представлены коэффициентами а(к и с[к.
По при выполнении условия (25.7) одно из уравнений системы (25.4) является следствием остальных. Поэтому каждому значению р( соответствуют определенные соотно шения между амплитудами Akt\ иными словами, все ампли туды Ак{ могут быть выражены через одну из них. Соотно шения между амплитудами Ак1определяют й о собственную форму колебаний.
Свободные колебания, возникающие после произволь ного начального возмущения равновесия системы, пред ставляют собой сумму п колебаний типа (25.3):
П
Для того чтобы полностью определить этот процесс, необходимо знать еще 2п постоянных (одну из амплитуд и фазу для каждого слагаемого); они могут быть найдены
190