книги / Устойчивость и колебания упругих систем. Современные концепции, парадоксы и ошибки

По поводу приведенного решения необходимо сделать два замечания, правда, различной важности.

Рис. 12.1. Кривая состоя, аий равновесия растяну* той оболочки

Первое замечание связано с выражением (12.1) для тол­ щины, Л изменяющейся в процессе нагружения. На рис. 12.2 изображена схема нагруже­ ния элемента оболочки. Для бесконечно малого интервала процесса нагружения справед­ ливы следующие соотношения, вытекающие из закона Гука

(при р —0,5):

Так как сг1=<т1, а e*=e*, то первые два соотношения можно написать проще, подобно (12.3):

а последнему можно придать вид

dh da

т. е. при учете (12.9)

Эго соотношение, в отличие от (12.1), удовлетворяет условию неизменности объема оболочки при ее нагружении.

Если продолжить выкладки в духе изложенного выше, но исходить не из выражения (12.1), а из выражения (12.12), то получится результат, значительно отличающийся от (12.8), а именно:

< 1 2 1 3 >

Второе замечание имеет принципиальное значение и от­ носится к смыслу, который следует вкладывать в термин «критическое давление» в данном случае.

Как мы уже видели выше, нельзя делать прогнозы отно­ сительно поведения системы, если отчетливо не определен способ нагружения. Для стержня можно было рассматри­ вать два варианта нагружения: задание нагрузки и задание перемещения. Для рассматриваемой здесь оболочки также следует различать два случая:

1)оболочка присоединяется к весьма большому резер­ вуару, давление в котором задано и практически не меня­ ется при увеличении размеров оболочки;

2)в оболочку нагнетаются с помощью насоса все новые

иновые порции газа (или жидкости).

Впервом случае при давлении в резервуаре, большем чем />ир, процесс будет развиваться следующим образом: сначала будет происходить быстрое возрастание давления в оболочке от нуля (в момепт подключения к резервуару) до значения /;кр; этот этан процесса представляет собой не­

прерывную последовательность р а в н о в е с н ы х со­ стояний (восходящая ветвь кривой на рис. 12.1). Как только давление в оболочке достигнет значения упругое рав­ новесие оболочки становится невозможным; при дальней­ шем возрастании давления оболочка будет увеличивать свои

103

размеры, проходя последовательность н е р а в н о в е с ­ н ы х состояний. Поэтому формула (12.3) определяет дав­ ление, при котором диаметр оболочки неограниченно воз­ растает.

Во втором случае дело обстоит по-иному. С ростом коли­ чества накачиваемой жидкости радиус оболочки будет не­ прерывно увеличиваться; если при этом следить за измене­ нием давления (по манометру), то, в полном согласии с гра­ фиком на рис. 12.1, обнаружится сначала увеличение, а затем падение давления. Невозможно себе представить, что при фиксированном количестве поданного газа (жидкости) оболочка самопроизвольно станет «раздуваться». Поэтому хотя кривая р—v на рис. 12.1 имеет максимум, но при на­ гнетании газа (жидкости) система обязательно пройдет в с е состояния, описываемые графиком рис. 12.1, включая и падающий участок этого графика.

Суть в том, что в рассматриваемом случае независимой переменкой является, очевидно, не давление, а количество нагнетаемого газа (жидкости); значение давления р (так же как и соответствующего ему перемещения о) определяется этим же количеством. С ростом количества газа (жидкости) радиус оболочки будет монотонно увеличиваться, а давле­ ние— сначала увеличиваться, а затем падать.

В этом случае нагружения при максимальном давлении возникает п о т е р я у с т о й ч и в о с т и ф о р м ы обо­ лочки того же типа, что и описанная в конце §11: самое тон­ кое место оболочки становится все более и более тонким, а самое толстое — более толстым. Эго явление можно наблю­ дать, например, при надувании камеры волейбольного мяча.

§ 13. Вращение гибкого вала в жесткой трубке

Термин «гибкий вал» применяют в двух смыслах. Гибкими называют валы, угловая скорость вращения

которых выше критической скорости; слово «гибкий» здесь связывается с низким значением собственной частоты и вра­ щением вала в закритической области, когда проявляется стремление вала к самоцентрированию.

В тот же термин мы будем вкладывать другой смысл, имея в виду особую конструкцию валов, гибких в самом прямом значении этого слова. Такие валы широко исполь­ зуются в качестве привода к виброинструментам, автомо­ бильным приборам и пр. Конструктивно они представляют

т

собой несколько слоев проволочных спиралей, навитых один на другой таким образом, что направления навивки слоев чередуются; такой многослойный пакет помещается в труб­ ку. Эта конструкция вала обеспечивает относительно боль­ шую жесткость кручения и весьма малую жесткость из­ гиба. Устройство трубки таково, что позволяет искривлять ее ось и придавать ей произвольные очертания, определяю­ щие также форму оси вала; однако изгибная жесткость труб­

ки несравненно выше изгибной жесткости вала.

По замыслу конструкции гибкий вал не должен оказы­ вать заметного сопротивления вращению при любом задан­ ном очертании его оси; с этой целью вся полость трубки заполняется густой смазкой, благодаря чему трение вала о трубку практически отсутствует. Тем не менее иногда наблюдается заметное сопротивление вала вращению; это сопротивление меняется в течение одного оборота вала, что приводит к неравномерности вращения ведомого конца вала даже при строгой равномерности вращения ведущего конца. Колебания угловой скорости ведомого конца вала вызывают дрожание стрелки прибора, что является важным эксплуата­ ционным недостатком конструкции. Как оказалось, перио­ дически меняющееся сопротивление вала вращению может явиться результатом существования начальной погиби вала, т. е. искривления его оси до помещения в трубку. Как мы увидим, процесс вращения такого вала сопровождается пе­ риодически повторяющейся своеобразной потерей устойчи­ вости.

Особенности поведения гибкого вала можно выяснить, пользуясь упрощенной моделью криволинейного стержня

в жесткой трубке, ось которой является дугой окружности радиуса R; такую же форму представляет собой ось стержня после помещения его в трубку-оболочку. Допустим, что до помещения в оболочку ось стержня также была дугой ок­ ружности, но иного радиуса в частности, стержень пер­ воначально мог быть прямолинейным.

Положение сечения по длине стержня будем определять центральным углом 6 , отсчитываемым от одного из концов трубки (рис. 13.1).

В произвольном, поперечном сечении стержня примем систему координат, начало которой совместим с центром тяжести сечения, ось х направим по внешней нормали к оси стержня (рис. 13.2).

Прежде всего найдем начальные нормальные напряже­ ния о0, развивающиеся при сборке системы, т. е. при введе­ нии стержня в трубку. Будем считать, что плоскости, в ко-

105

ТОрых лежат криволинейные оси обоих элементов, непо­ средственно перед сборкой совпадают. Тогда после помеще­ ния стержня в трубку его ось изменит свою кривизну от

Рис. 13.1. Криволинейный упругий стержень в жесткой трубке

!//?«до 1//? и во всех сечениях возникнут одинаковые изги­ бающие моменты, равные

(BJ — изгибная жесткость стержня). Им соответствуют нормальные напряжения в поперечных сечениях стержня

Рассмотрим теперь перемещения, деформации и напряже­ ния, возникающие при действии крутящего момента М9>

Рис. 13.2. Поперечное сечение стер­ жня: а — угловая координата точ­ ка А; я|> — угол поворота сече­ ния

приложенного к одному из концов вала. Так как проскаль­ зывание вала вдоль трубки отсутствует, то каждое сечение вала поворачивается, оставаясь в своей плоскости. Силами

106

трения между стержнем и трубкой будем пренебрегать; та­ ким образом, реакция оболочки будет представлять собой лишь систему распределенных нормальных давлений.

Углы поворота сечений будем обозначать буквой ф, причем ф =ф (0).

Определим удлинение какого-либо кругового волокна, след которого в плоскости поперечного сечения обозначен на рис. 13.2 точкой А. Если полярные координаты этой точ­ ки до деформации равны р и а, то декартовы координаты

составляют

соответственно относительное удлинение волокна составит

с(/?+*')—(К+*)

R+x

Здесь числитель представляет собой разность радиусов кри­ визны волокна после поворота и до него. Подставляя сюда выражение (13.3) и опуская по малости в знаменателе сла­ гаемое ж, найдем

соответствующее нормальное напряжение определится вы­ ражением

Полное нормальное напряжение найдем, суммируя вы­ ражения (13.2) и (13.6):

Эта система напряжений приводится к изгибающим мо­ ментам, положительные направления которых показаны на рис. 13.3:

107

Теперь можно перейти к определению сдвигов, каса­ тельных напряжений и крутящих моментов. На рис. 13.4 показаны повороты двух смежных поперечных сечений

Соответственно касательное напряжение по закону Гука равно

Если рассмотреть равновесие элемента стержня и составить уравнение моментов относительно оси г, то получится сле­ дующее соотношение:

(13.13)

Подставив сюда (13.8) и (13.12), получим основное дифферен­ циальное уравнение пашей задачи:

10S

в котором штрихами обозначена операция диференцирования по координате в и введено сокращенное обозначение

Решение дифференциального уравнения второго поряд­ ка (13.14) должно быть подчинено двум граничным условиям:

ф = ф, при 0 = 0, ф' = 0 при 0 = 0 ,. (13.16)

С помощью первого условия в решение будет введен зада­ ваемый угол поворота ведущего конца вала (0 = 0 ); второе условие выражает предположенное выше отсутствие крутя­ щего момента на ведомом конце (0 = 0 ,).

Для решения дифференциального уравнения (13.14) представим его в виде

ф*=а* sinvj).

Умножив обе части этого равенства на

2ф'<*0 = ^ d 0 = 2йф

и затем проинтегрировав, найдем

где С — постоянная интегрирования, которая согласно второму условию (13.16) должна быть равна C=2a* cos ф,.

Теперь из (13.17) можно найти первую производную:

Отсюда после преобразований получим

Проинтегрируем это выражение в пределах всей длины стержня, расположенной между сечениями с координатами 0 , 0 |j в этих пределах угол поворота сечений меняется от значения ф, до значения ф(. Результат интегрирования име­ ет вид

cos1 —cos?

Равенство (13.20) определяет зависимость между углом по­ ворота ведущего конца стержня ф® и углом поворота ведо­

109

мого конца ф,; произведение а в 1 является параметром си­ стемы.

Пользуясь таблицами эллиптических интегралов пер­ вого рода, можно получить нужные нам зависимости в чис­ ленном виде. Эти результаты представлены на рис. 13.5 в виде графиков ф1=ф{(Фо); на рис. 13.5, а изображены ти­ пичные графики для значений параметра о в ^ л /2 , а на рис. 13.5, б — для значений параметра о в г> л /2 .

Для кривых, изображенных на рис. 13.5, а, характерна однозначная зависимость ф] от ф». В целом закон движения ведомого конца имеет нелинейный, но плавный характер.

На рис. 13.5, б показаны кривые, соответствующие o 0 t= 2 и а в (= 3 . Здесь отчетливо видно новое качество кри­ вы х — неоднозначность зависимости ф |—ф|(Ф«)- Если не­ прерывно увеличивать ф, (как это обычно имеет место, так как задается равномерное вращение ведомого конца), то при значении ф0=фл произойдет перескок — мгновенное увеличение угла ф {, как это показано на рис. 13.5, б стрел кой. Дальнейшее увеличение ф« повлечет за собой на неко­ тором участке плавный ростфь затем новый перескок и т. д.

Следовательно, непрерывному движению ведущего конца стержня соответствует разрывный закон движения ведомого

конца.

Тесную связь рассматриваемых здесь явлений с темой настоящей главы можно увидеть, рассмотрев кривую равно­ весных состояний системы. Для этого нужно найти закон изменения внешнего крутящего момента при монотонном увеличении угла поворота ф0.

110