книги / Устойчивость и колебания упругих систем. Современные концепции, парадоксы и ошибки

существования нетривиального решения найденной одно* родной системы дает возможность получить характеристиче­ ское уравнение для конкретной схемы; именно так и полу­ чены уравнении, приведенные в обсуждаемой таблице.

Важно отметить, что в этих вполне обычных выкладках предполагается, что величина р не равна нулю. Почему от­ брасывается возможность того, что р = 0? Есть ли для этого основания, в чем они заключаются и насколько они универ­ сальны? Почему отброшены нулевые корни а /= 0 , удовлет­ воряющие характеристическим уравнениям для схем 1, 2,

Для определения постоянных Сг нужно воспользоваться граничными условиями, зависящимиот типа концевых закреплений. Если, например, рассмотреть схему 1, для которой должно быть

V (0 ) -0 , Vf {0 ) - 0 , V (/) = 0, У '(О - о,

С, + 2С:1/ + ЗС4Р = 0,

определитель которой не равен нулю. Это означает, что все постоянные С{ равны нулю, т. е. движение предполо­ женного вида попросту н е с у щ е с т в у е т . Аналогич­ ным образом можно убедиться в том, что случай р—0 дол­ жен быть отброшен и для схемы 2. хотя а / —0 формально удовлетворяет характеристическому уравнению (см. таб­ лицу).

Если же рассмотреть схему 4, то результат получится иным. Для этой схемы граничные условия имеют вид

2'Л

После подстановки сюда выражения (26.il) получим

V=Ctz,

и согласно (26.3) движение описывается выражением

v={A + В1)г,

в котором постоянная С2 включена в А и В. Полученное движение представляет собой равномерное вращение жест­ кой балки вокруг левого шарнира; такое движение в самом деле не исключено, хотя оно и не носит колебательного ха­ рактера.

Итак, нулевому значению собственной частоты отве­ чает движение балки без деформаций. Это — общее пра­ вило: если система допускает перемещения частей как жестких тел, то возникают нулевые собственные частоты. При этом число таких частот равно числу степеней свободы механической системы, которая получится из заданной си­ стемы, если ее звенья считать недеформируемыми. В схе­ мах 1—3 общая подвижность отсутствует; поэтому здесь нет и нулевых собственных частот. Схеме 4 соответствует одна нулевая собственная частота, а схеме 5 — две такие частоты.

Наличие нулевых корней следует и из формального рас­ смотрения характеристических уравнений для схем I, 2, 4, 5, но в первых двух случаях эти корни должны быть от­ брошены, а в двух других случаях они имеют смысл. Таким образом, совпадение характеристических уравнений не означает полного совпадения спектров корней (и собствен­ ных частот).

Обычно, когда говорят о собственных частотах, то ну­ левые частоты, если они имеются, даже не упоминаются, а как бы подразумеваются,— так и поступил автор цити­ рованной книги. Однако о их существовании необходимо помнить, в особенности если сопоставляются собственные частоты различных систем; как мы видели, без этого возни­ кают конфликты с общими теоремами.

Исправим последние строки данной выше таблицы, вне­ ся в них пропущенные нулевые корпи (см. с. 203).

Пробежав глазами по вертикальным столбцам этой таблицы, мы убеждаемся, что монотонное невозрастание корней налицо и нужный порядок достигнут.

Во мно1их книгах можно найти формулу

202

определяющую собственную частоту крутильных колебаний двухмас­ совой системы, показанной на рис. 26.1. В этой формуле У, н У, — мо­ менты инерции дисков относительно оси системы, I — длина упругого

вала,, GJр — жесткость вала при кручении, Эта формула, конечно, верная, но в сущности она определяет не п е р в у ю собственную частоту, а в т о р у ю: первая собственная частота равна нулю и соот­ ветствует вращению системы вокруг оси как жесткого целого.

Теперь мы переходим к другому рассказу, в котором речь пойдет тоже о «потере» первой собственной частоты, но н е р а в н о й н у л ю (тема подсказана авторам О. А. Са­ виновым).

Будем рассматривать свободные продольные колебания стержня, находящегося в упругой среде, которая создает реакции, пропорциональные продольным перемещениям. Обозначив эти перемещения через w(z, t), запишем интен­ сивность продольных реакций среды в виде —т, где г — коэффициент жесткости среды. При этом вместо обычного дифференциального уравнения продольных колебаний

Е SPw dho р дгг dt2

(Е и р — соответственно модуль упругости и плотность материала стержня) получится несколько более сложное дифференциальное уравнение

203

( f — площадь сечения стержня). Разыскивая частное реше­ ние в виде w-=W(z)T(z) и разделяя переменные, приходим к дифференциальным уравнениям

<2815)

Решение уравнения (26.13)

Т = A sin (pt + у)

показывает, что движение представляет собой гармониче­ ские колебания с угловой частотой р\ решение уравнения (26.14)

вместе с граничными условиями позволит найти значения р. Остановимся на случае, когда левый конец стержня (z=0) свободен, а на правом конце (г=1) со стержнем связана со­ средоточенная масса /И. При этом граничные условия на обоих концах будут относиться к продольной силе, кото­ рую можно записать в виде

Так как при г—0 продольная сила тождественно равна нулю, то первым граничным условием будет служить соот­ ношение 1Г'(0) = 0; при этом согласно (26.16) С,—0 и, сле­ довательно, дальше можно исходить из более короткой записи

На правом конце стержня продольная сила равна силе инерции груза, которую можно представить в следующем виде:

— м Щ г_ = — М \ Р ( 1 ) Т = М Ч Р ( 1 ) р * т =

=+ (26.19)

Приравнивая (26.17) и (26.19) при г=1, получим второе гра­ ничное условие

204

которое при учете выражения (26.18) приводит к харак­ теристическому уравнению

согласно (26.15) определяет наименьшее значение соб­ ственной частоты

(26.22)

Если уменьшать относительную массу груза, то штрихпунктирная линия будет несколько изменяться, причем точка ее пересечения со сплошной линией будет переме­

203

найденных результатах ничего подозрительного нет — уменьшение массы груза и должно повлечь за собой воз­ растание собственной частоты.

Если на правом конце нет груза, то вместо граничного

корень at—0 позволяет согласно (26.15) найти первую соб­

(26.22) . Вот это уже странно: устранение концевого гру­ за должно было повлечь за собой увеличение собственной частоты.

Возникает естественное подозрение, что выражением (26.22) определяется не первая, а в т о р а я собственная частота и, следовательно, выражения (26.22) и (26.23) нельзя сравнивать. Но где же была «упущена» п е р в а я собственная частота для стержня с грузом?

Если внимательно обдумать наши выкладки, то можно заметить одно сомнительное место: при решении трансцен­ дентного уравнения (26.21) мы считали, что его корни а / должны быть в е щ е с т в е н н ы м и .

Однако из соотношения (26.15) видно, что отрицатель­ ность а* (и соответственно мнимость а), вообще говоря, мо­ жет не противоречить положительности />*, и поэтому впол­ не возможна. Поэтому нужно проверить, имеются ли кор­ ни характеристического уравнения в мнимой области.

На рис. 26.3 представлено графическое решение этого уравнения для принятых выше значений постоянных т= 1, е= 1 . Здесь сразу обнаруживается корень р/=0,735, кото­ рому соответствует (р/)*^0,540 и (al)*——0,540. Подставляя этот результат в соотношение (26.15), находим

2%

предполагалось выше, результат (26.22) относится ко вто­ рой собственной частоте. Читатель может проверить, что первым собственным частотам (26.23) и (26.25) соответствует несколько особенная собственная форма — перемещение всего стержня как жесткого целого вдоль своей оси.

В связи с переходом от уравнения (26.21) к уравнению (26.24) вспоминаются образные слова французского мате­ матика Ж. Адамара: «Наиболее короткий путь между двумя

истинами в вещественной области часто проходит через мни­ мую область».

Таблица, приведенная в начале параграфа, заимствована со с. 356 книги А. Н. Крылова «Вибрация судов» (Л.: М.: ОНТИ, 1936). В том же виде ее можно найти на с. 77 книги А. П. Филиппова «Колебаимя деформируемых систем» (М.: Машиностроение, 1970).

§27 . Медленно изменяющиеся силы

На первых страницах многих курсов сопротивления материалов, строительной механики и теории упругости можно встретить приблизительно такой текст: «Основное содержание настоящей книги посвящено случаям стати­ ческого нагружения, когда внешние силы изменяются столь медленно, что можно пренебречь ускорениями, а следовательно,— силами инерции и соответствующими им динамическими эффектами». К сожалению, подобный текст не содержит ограничений количественного характе­ ра, и читателю остается неясным, что конкретно нужно понимать под словами «столь медленно». Конечно, в на­ чале рурса вывод соответствующих количественных оце­ нок был бы затруднителен, поскольку читатель к этому еще не подготовлен. Но, к сожалению, такие оценки не

207

Отношение амплитуды колебаний к перемещению PJc, вызванному статически действующей силой Р» (т. е. при <о—*-0),

называется коэффициентом динамичности. При малых значениях отношения сolp коэффициент (л мало отличается от единицы. £сли, например, пренебрегать динамическими эффектами, составляющими меньше 5% от статических, то статической можно считать такую силу, при действии кото­ рой коэффициент динамичности Не превосходит значения 1,05. Из этого условия можно с помощью (27.3) найти усло­ вие «статичности» действующей силы co//?<0,218 или

где Т —- период вынуждающей силы, Т0— собственный период системы. Округляя иоследний результат, скажем, что гармоническую вынуждающую силу можно считать статической, если ее период по крайней мере в пять раз превосходит собственный период колебаний системы.

Обратимся теперь к системе с р а с п р е д е л е н н ы ­ ми п а р а м е т р а м и . Если гармоническая вынуждаю­ щая сила приложена к одному из торцов стержня с прямо­ линейной осью, совершающего продольные колебания, а другой конец стержня закреплен, то для наибольшего зна­ чения продольного перемещения нагруженного торца мож­ но найти

Pot 2р ■ лю EF ж о g 2р 1

р — соответственно модуль упругости и плотность мате­ риала стержня, F — площадь сечения, / — длина. Так как статически действующая сила Ра вызывает перемещение конца PJ/ (ЕЕ), то коэффициент динамичности равен

р =

Если и в данном случае исходить из допустимости пяти­ процентной погрешности, то для частоты «медленной» силы получится условие со/р<;0,239, для периода — неравенство

которое не слишком отличается от условия (27.4).

200

В целом из этих эталонных расчетов можно получить достаточно ясное представление о том, в каких случаях гар­ моническую вынуждающую силу можно считать статической.

Обратимся теперь к случаю, когда на систему с о д н о й с т е п е н ь ю с в о б о д ы действует сила, изменяющаяся во времени по закону, показанному на рис. 27.1, а, т. е.

Рис. 27.1. а) Заданное изменение силы; б) изменение силы в первой вспомогательной задаче; в) изменение силы во второй вспомогательной задаче

сначала возрастающая по линейному закону Р=()7, а затем при £><* остающаяся постоянной. По-видимому, при достаточно больших значениях времени силу можно считать статической, а при весьма малых значениях /„ — внезапно приложенной; поэтому при постепенном убыва­ нии ** коэффициент динамичности будет увеличиваться оче­ видно, от единицы до двух.

Сначала решим вспомогательную задачу о действии си­ лы, изменяющейся во времени так, как это показано на рис. 27.1, б. В этом случае дифференциальное уравнение

(а — инерционный коэффициент). Если записать общее решение и затем подчинить его нулевым начальным услови­ ям, то в результате получится для £>0

Этим результатом можно воспользоваться и во второй вспомогательной задаче, когда внешняя сила меняется так, как показано на рис. 27.1, в. Для этого нужно в (27.7) изменить знак q и вместо t подставить t—1*. Тогда для /> /* получится

210