книги / Практические занятия по высшей математике. Численное решение алгебраических и трансцендентных уравнений, матричное исчисление, векторный анализ и интегрирование линейных дифференци

Каждая квадратная матрица удовлетворяет своему характе­

ристическому уравнению,

которое

следует понимать в матрич­

ном смысле.

Объясним это.

Если для матрицы А характеристическое уравнение имеет вид

(8.7)

1

(— 1 у»-2 Л„Х"-:г+

+

(— 1)" Xя + (— 1)«-' Л,Х"-' +

+ (— 1) Ат—IX 4- Ап =

0,

то

получается матричное

равенство

(— 1у» Ап + ( — 1у*-1Л.Л"-' +

(— 1)я-*АгАп~2 +

• • • +

+ (— 1) Д,_| А

АпЕ =

0,

(9.11)

где

Е — единичная

матрица того

же порядка, что

и А,

а

0 —

нулевая

матрица.

Определение обратной матрицы при помощи

теоремы

Кэли-Гамильтона

Если

А — невырожденная матрица, то

равенство

(9,11)

позво*

ляет найти Л-1 — матрицу, обратную А.

Умножим (9,11) слева на А-1:

(— I)" А > -Ч -(— I)"-1Л,Л"-* + . . .

+ (— 1)Ат-|Л“ Ч

+ Л,Л_1Е = 0

Отсюда,

учитывая, что Л-1Л =

Е,

получим

Л-* = -

4-К—I ) »

—1)«-‘ЛжЛ»-2+ .. . + (—1)ЛЯ_,Е]. (9,12).

Эта формула дает удобный практический метод вычисления

обратной

матрицы,

так

как

определить

коэффициенты

Аи

Ла

Задача 9,9. Доказать, что матрица

]

5

1

4

А = 3

3

2

6

2

10

(см. задачу 9,1).

Р е ш е н и е .

Заменим в левой части

характеристического, урав­

нения

X на матрицу А:

или

А3 — 18Л»

+ Ш

—64Е

(9,13)

А э

А' 1

Г1001

'5

1

'5

1

5

1

4]

3

3

2 — 18 . 3

3

2

+ 64 • 3

3

2 1 — 64

0 1 0 .

6

2

10

6

2

10

6

2

Ю.|

[о о и

Аг =

3 3

2

2

3 3

2 •

3

41

'5

1

А'

'5

1

А

1

6

2

10

6

2

10

2

ЮТ

52

16

62

]

36

16

38

96

32

128

А3 = А3 • А =

52

16

62

1

36

16

38

3

96

32

128

2

I

680

224

860

456

160

556

1344

448

1728

А в выражение (9,13)

Подставляем полученные степени матрицы

и убедимся, что оно обратится в нулевую матрицу

‘

680

224

860 1

'52

16

62

456

160

556

-- 18.

36

16

38

.1344

448

1728 |

96

32

128

5

1

4

1

0

о'

+ 64-

[:

3 2 — 64 • 0 1 0

2

10

[

0

0

1

'

680

224

860

936

288

1116

456

160

5561 -

648

288

684

+

1344

448

1728 I

1728

576

2304

320

64

256

1 Г64

0

о'

'о

0

о’

192

192

64

0

=

0

0

0

[

128

384

128

640Н

о °

0 64.

0

0

0.

Задача 9,10.

Найти матрицу, обратную матрице А предыдущей

задачи.

,

Р е ш е н и е . Характеристическим уравнением матрицы А явля­

ется уравнение

X3— 18Х* + 64Х — 64 = 0

(см. задачу 8,1).

теоремы Кэли-Гамильтона матрица А удовлет­

На основании

воряет этому характеристическому уравнению. Поэтому

А*— 18Л2 + 64А — Ш = 0.

Поэтому обратная к А матрица

Л~1__ !_

52

16

62

36

16

38

Л ~ 64

96

• 32

128

72]1

Г64

'52

16

62'

' 90

18

0

0 '

64

36

16

38 —

54

54

36 |

+

0

64

0

96

32

128

108

36

180]1

[ о

0

64

1

26

—2

— 10

— 18

26

2

Й

— 12

—4

12

Таким образом, обратная

матрица

26

—2

— 18

26

— 12

—4

А~1 = 35

13

— 1

—9

13

- 6

- 2

П р о в е р к а :

Л~‘ • Л

13

— 1

- 5 ]

Г5

1

—9

13

1

3

3

—6

—2

6 ]

| б

2

| 1

0

01

Е.

- О

1

0

=

1.0

О

1]

Заметим,

что

формула

Кэли-Гамильтона

позволяет,

зная

(л— 1)*ую степень матрицы А, найти ее

л-ую степень,

учитывая,

что коэффициенты характеристического

уравнения легко

вычисля­

ются по формулам (8,9).

Так, из характеристического уравнения задачи 9,9

X* — 18Х*+64Х — 64 = 0

на основании

теоремы Кэли-Гамильтона следует

откуда

А3— 18Лг + 64Л — 64Е = 0,

Л® = 18Л*— 64Л +

64Е.

Действительно,

легко проверить,

что

найденное раньше значе­

ние (см. задачу

9,9)

'52

16

62'

5

1

4'

'1

0

0'

36 16

- 6 4 - 3 3

2 + 64 • 0 1 0

96 32

1§ 8

6 2 10

0 0 ]

Убедитесь,

что это выражение

равно матрице

'

680

224

860'

I

456

160

556 .

.1344

448

1728.

Задача 9,11 (для самостоятельного решения). Доказать, что

матрица

II

- 6

2

[—6

10

—4

удовлетворяет

своему характеристическому уравнению

Хэ— 27Х» +

2

- 4

6

180Х — 324 = 0

и найти матрицу

Л” 1, обратную матрице

Л.

О т в е т .

44

28

4"

28

62

32 .

4

32

74.

Задача'9,12

(для самостоятельного решения). Для матрицы

,4 =

Гб

3

2'

!3

6 2

[2

2

1

характеристическим

уравнением является

Найти /1* и А~1.

X3— 13Х* +

13Х — 3 = 0.

У к а з а н и е . На основании

теоремы Кэли-Гамильтона мат­

рица

А

удовлетворяет

своему характеристическому

уравнению,

т. е.

имеет место равенство

Отсюда

А3 — 13Аг + 31А — ЗЕ = 0.

А3= 13А2 — 31А + ЗЕ,

а-на

основании формулы (9,12)

А~1= -^(Лг — 13Л +

31Я).

О т в е т .

198“

- 6 '

А3 =

454

427

т

к - II

1

427

454

198.

2

—6

198

198

89

1—6

- 6

27

Задача

9,13

(для' самостоятельного

решения). Для матрицы

3

2

1]

Л =

2

4

2

2

3 |

характеристическим

является

уравнение

X3— ЮХ* + 24Х— 16 = 0.

Убедиться,

что

эта

матрица

удовлетворяет

этому

характери­

стическому уравнению.

Определить

обратную

матрицу А ~ 1 и

найти

А3.

О т в е т .

Л“ » =

^,(Л* — 10/1 +

24Я);

'

8

—4

0'

84

112

76'

[11 2

160

112 .

1

2

2'

[2

1

— 2 ,

ее собственные значения

и, пользуясь теоремой Кэли-Гамильтона,

обратную ей матрицу А~х 2

— 2

1

О т в е т . 1) X3 — ЗХ2 — 9Х + 27 = 0;

2) Х2 ■ 3)

Х2 = 3; Х2 — —3[

3) а -1 = - ± (А * — ЗА -9Е )

А '1 = — 272

- 6'

‘

6

—3

Квадратичной формой двух

переменных

называется

выражение

вида

2

2

Р ( * 1, * г ) =

Е

2

Ъ / х а / .

( 1 0 ,1 )

/-1 1-1

В развернутом виде оно записывается так:

Р(х1, Х г )

2

(а,/*,*/ + аг,хгх,) =

= 2

= Ч\\ХхХу

Дц*!** +

ПцХаХ}

а22х2х2.

Окончательно

Р (*1 . *2> = аих\ +

а 12х,х2 +

ал1хгхл+

а22х§.

( Ю.2)

Если окажется,

что

коэффициенты а 12

и 021

при произведении

х,х2 равны между

собой, т.

е. а21 — а1 2, то формула

(10,2) при­

мет вид

Р (х2,

х2) = ацХ2, +

2аг2х,х2 Н-

(Ю.2 ,)

С таким

видом квадратичной • формы

мы будем встречаться

при решении задач. Легко проверить, что

выражение (10,2) может

быть записано в виде произведения трех матриц

хг) = (х,,

хг] • Р*1'

(Ю.З)

1

а21

Введем такие обозначения:

Л =

|° “

в“ 1 ,

(Ю.4)

1021

аггГ

А — матрица

коэффициентов квадратичной формы.

* - ! ; ; ] *

<а д

X ' =

[х, хг]

(10 ,6)

(матрица X' является

транспонированной матрицей X).

Выражение (10,3)

с этими обозначениями запишется так:

Р(хи хг) = Х'АХ.

(10,7)

Задача состоит в

том, чтобы

выражение ( 10,2») или,

что то

же, выражение (10,7)

представить

в виде суммы квадратов. В этом

виде оно не должно содержать члена с

произведением переменных

х» и х2. Преобразуем это выражение к

новым

переменным х[ и х'2

так, чтобы оно приняло вид

Р (х,, х^) = Х,х;2 +

Х2х;*,

(10,8)

Р (х», X,)

1*1

(10,9)

или, введя

обозначения

( 10, 10)

( 10, 11)

( 10, 12)

получим

(10,13)

Таким

образом, задача сводится к определению коэффициентов

Хх и Х2 в

выражении (10,8).

Перейдем к геометрическому истолкованию этого преобразо­

вания.

Будем

рассматривать

переменные х1 и х2 как

координаты

точки

М на

плоскости

в системе

прямоугольных координат (х1(

Хг):

ось

ОХу— ось абсцисс,

а

ось

Ох2— ось

ординат. Сохраняя

без

изменений начало

координат,

повернем систему

координат

х,Охг

на

некоторый угол а.

Мы получим

новую систему

коор­

динат,

которую обозначим ххОх2, а

координаты

точки

М в

новой

системе координат — через х\

и х2 (фиг. 10,1).

Единичные векторы осей первоначальной системы координат

назовем ( и /,

а новой системы

координат — соответственно (х и /х.

Обозначим

С05(I,

1у) = С05 а = /п;

С05(/,

/х) =

С05 (90

+

а ) = —51П а = /12;

сову,

1у) = С05(90° — а)=51па = /аг, С05(/,

/О—соз а = /22.

(10.14)

X I I + Х г ! =

(10,15)

7

. 7 *

(

если к ф р

*

’р *

I

1, если к шв р,

получаем

Х1— Х\1ц + Х2112]

X*=

х[1п + х'2и2.

(10,16)

Х = 5Х*.

(10,19)

Л1^12 +

1ъ\1гг — 0;

+

/*( — 1»

/и^21 +

Лг^гг “ 0;

/*2 +

1\г * 1.

5 ' =

Ч

22-1