книги / Практические занятия по высшей математике. Численное решение алгебраических и трансцендентных уравнений, матричное исчисление, векторный анализ и интегрирование линейных дифференци
.pdfВторой собственный вектор |
|
|
|
|
|||
|
|
|
'22 + 1 б |
/ 2"| |
|
|
|
|
|
6, = * 1 8 + 8 / 2 . |
|
|
|||
|
|
|
4 4 + 3 2 / 2 | |
|
|
||
Определение третьего |
собственного |
вектора |
(/= 3 ). Для Хэ —■ |
||||
= 4(2 — / 2 ) |
из системы |
(8,11) |
получаем |
|
|
||
(5— |
8 + 4 /2 ) 6ц + Ь2з |
|
+ |
46ЗЭ |
= 0; |
||
|
|
36ц + (3 — |
8 + |
4/ 2 ) 62з + 26ээ |
= 0; |
||
|
|
66ц + 262, |
|
|
+(10 — |
8 + 4 /2 )6 Эз = 0 |
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
— |
(3 — |
4 /2 ) 6ц + 623 |
+ |
4бз3 |
= 0; |
||
|
|
36ц + (— 5 + |
4 /2 ) 62з + 2633 |
= |
0; |
||
|
|
ббц + 2633 |
+ (2 + |
4У2) б,, |
= |
0. |
|
Ясно, что определитель и этой системы уравнений равен нулю.
Отбрасываем первое уравнение н решаем |
систему уравнений |
|||||
З613 + |
|
(—5 + |
4 / 2 ) 62з + |
2б3з = 0; |
||
6613 + |
26м |
|
|
+ |
(2 + 4 У 2) 633 = 0. |
|
Получаем |
|
|
|
|
|
|
Ьи = ( 1 8 - 1 2 / 2 ) * ; 62, = (6— 1 2 /2 )* ; |
||||||
|
|
6ЗЭ = |
(36 — 24 У 2) к. |
|||
Таким образом, третий |
собственный |
вектор |
||||
|
|
|
18— 1 2 / 2 " |
|||
|
6Э= * |
6 — 1 2 / 2 . |
||||
|
|
|
36 - |
24 / 2 |
|
|
Учитывая, что собственные векторы определяются с точностью |
||||||
до постоянного множителя, можно, |
полагая * = 1, матрицу соб |
|||||
ственных векторов записать в таком виде: |
||||||
— 2 |
22 + |
1 6 / 2 |
18— 1 2 1 / 2 " |
|||
[ |
6 1 8 + 8 1 /2 |
6 — 12 / 2 . |
||||
|
0 44 + 3 2 / 2 36 — 2 4 / 2 |
|||||
З а м е ч а н и е . Очевидно, |
что, |
давая |
множителю к различные |
|||
значения, этой матрице можно придать бесконечное множество видов. Данное замечание относится н к следующим задачам, в которых, определяются собственные векторы и их матрица.
Задача 8,2. Для матрицы
найти ее собственные значения и собственные векторы.
Р е ш е н и е .
Заданная матрица — симметричная.
Эти матрицы обладают такими важными свойствами:
1. Матрица, составленная из собственных векторов симмет ричной матрицы, ортогональна-
2.Матрица, составленная из собственных нормированных векторов симметричной матрицы, также ортогональна.
3.Если матрица Ь — ортонормирования, то матрица, транспо
нированная |
по отношению |
к ней, |
является для нее и обратной, |
||||||
т. |
е. |
|
|
|
Ь • Ь' =* Е, |
|
|
||
а |
это значит, что |
|
|
|
|||||
|
Ь' = |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Ь— симметричная |
||
|
Следует |
также |
иметь |
в |
виду, |
что |
если |
||
матрица, то |
транспонированная |
по |
отношению |
к ней матрица Ь' |
|||||
совпадает с |
матрицей о. |
|
|
|
|
|
|||
|
4. |
Если 6— матрица, |
составленная |
из |
собственных нормиро |
||||
ванных |
векторов, то |
произведение |
|
|
|
||||
Ь• А - Ь~л —
т.е. это произведение равно диагональной матрице, диагональные
элементы которой равны собственным значениям матрицы.
5. Собственные значения симметричной матрицы — вещественные
числа. |
|
|
|
|
|
Характеристическое уравнение |
(8 ,6) в нашем случае запишется |
||||
так: |
11—А. |
—6 |
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
— 6 |
10—X —4 |
0. |
(8, 12) |
|
|
2 |
— 4 |
6—X |
|
|
Если раскрыть определитель |
в левой |
части, то |
получится на |
||
основании (8,7) |
уравнение |
|
|
|
|
( - |
1)3Х3 + ( - 1)М,Х* + ( - 1 ) А2Х+ А3= |
0 |
|||
или |
X»— Л , Х * - М 2Х — Лз = 0. |
(8,13) |
|||
|
|||||
Определяем вторую и третью степени матрицы А:
II |
—6 |
2‘ |
|
|
|
|
|
А = | — 6 |
1 0 —4 |
5, = |
11 |
+ |
1 0 + 6 |
= 27; |
|
2 |
—4 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
—6 |
2 ' |
' |
11 |
- 6 |
2‘ |
Д*=/4-.4 = |
|
10 |
- 4 . |
— 6 |
10 |
—4 |
|
|
|
—4 |
6 |
|
2 |
—4 |
6 |
|
|
161 |
— 134 |
|
58" |
|
|
|
|
134 |
152 |
—76 |
• |
|
|
|
|
58 |
— 76 |
|
56 |
|
|
|
|
161 + |
152 |
+ |
56 = |
369; |
|
|
[ |
161 |
— 134 |
58' |
11 |
— 6 |
2 |
||
- 1 3 4 |
152 |
76- |
— 6 |
10 |
—4 |
|||
|
|
|
|
|
66 |
2 |
—4 |
6 |
|
58 |
—76 |
|
|
|
|
|
|
|
[2691 |
|
|
756 |
|
|
|
|
5 3 = 2691:+ |
2628 |
+ |
756 = |
6075. |
|
|
||
Мы заметили, что данная матрица А — симметричная. Ее квад
рат Аг — также симметричная матрица. |
А3 и |
А3 характеристи |
||||||||||
Теперь определяем коэффициенты |
Аи |
|||||||||||
ческого уравнения |
по формулам (8,9) |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
А, = |
А031= |
1 ■27 = |
27; |
|
|
|
|||
|
|
Л2 = у |
(-4,5! — 5*) = |
у |
(27 • 27 — 369) = 180; |
|
||||||
А, - у |
(Лг5, — А 5* + 5,) = |
1 |
(180 • 27 — 27 • 369 + 6075) = |
324 |
||||||||
(проверьте что определитель матрицы А равен А3= 324). |
|
|||||||||||
Та.ким |
образом, уравнение (8,13) запишется |
в виде |
|
|
||||||||
|
|
|
X* — 27Х* + |
180Х— 324 = 0. |
|
|
|
|||||
Одним |
корнем |
уравнения |
является |
X, = 3, |
в чем |
легко |
убе |
|||||
диться |
непосредственной |
проверкой. Разделим |
левую |
часть |
урав |
|||||||
нения |
на |
X — 3 по схеме Горнера: |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
—27 |
|
180 |
- 3 2 4 |
|
|
|
||
|
|
|
3 |
|
3 |
|
—72 |
324 |
|
|
|
|
|
|
|
I |
—24 |
|
Ю8 |
0 |
|
|
|
||
Коэффициенты частного подчеркнуты. Квадратное уравнение для определения остальных двух корней запишется так:
X*— 24Х+ 108 = 0; X = 12± К 144— 108;
Х2 = 6; Х3 * 18.
Итак, корни характеристического уравнения
Х| = 3; Х2 = 6; X, = 18
(проверьте, равна ли сумма корней следу матрицы, а их произ ведение—ее определителю).
Система уравнений (8,8) для определения координат собствен ных векторов в нашем случае запишется так:
( П - Х , ) б 1, - 6&„ + 2&„ = 0; |
|
~ ® 1 1 + (Ю — X,) Ьн— 463, = 0; |
(8,14) |
2Ь1(— 462, + (6 — X,) Ь31= 0. |
|
Подставим в нее поочередно X,, Х2 и |
Х3. |
Определение первого собственного |
вектора (/= I). Подставляем |
в систему (8,14) ^ = 3 и получаем |
|
86ц — 66ц -|- 26ц = 0; —66ц 76ц — 46ц — 0; 26ц — 4621 -)- 36ц = 0.
Ясно, что определитель этой системы равен нулю. Здесь неза висимы только два уравнения (действительно, если сложить второе уравнение с третьим и сумму умножить на —2 , то получится пер вое уравнение). Рассмотрим систему, состоящую из первого и вто рого уравнений
Матрица коэффициентов
6ц = 106; 62> = 206; 6ц = 206,
а первый собственный вектор
Определение второго собственного вектора (/ = 2). Подставляем в систему (8.14) 1, = 6 и получаем для определения координат второго собственного вектора систему уравнений
5&12 — 6&и 2632 в 0;
~б&12 4“ 4*22---4Ь32= 0;
2&12 “ 4*22 ■“ о,
определитель которой равен нулю. Независимых уравнений в этой системе только два (если второе уравнение разделить на —2 и сло жить с третьим, то получится первое).
Решим систему, состоящую из второго и третьего уравнений. Матрица коэффициентов
Ь я — 16^1 &22 * |
86; Ь%2 * 16Л, |
а второй собственный вектор
Определение третьего собственного вектора (/ = 3). Система (8,14) для X, = 18 примет такой вид:
—7й13— б&2» -Ь 2йзз= 0» —6^13-- 8*2, --- 4&33 = 0:
26„ — 4^23 12йзз * 0.
Определитель этой системы равен нулю. Здесь опять-таки только два уравнения независимы (если первое уравнение умножить на
—2, а второе на 2 и сложить их, то получится третье уравнение). Матрица коэффициентов первых двух уравнений
*,з = 40*; Ь1а = — 40*; Ь33— 20*,
а третий собственный вектор
40 * , - * • —40 .
20
Так как собственные векторы определяются с точностью до по стоянного множителя, то можно взять * = 1 для *1( Ь3 и Ь3.
10 — 16 40'
Ь= 20 — 8 — 40 20 16 20
Матрица Ь по свойству 1 симметрических матриц (стр. 202), как легко проверить, действительно ортогональна:
Ьг • Ьг = 10 - (— 16) + |
20 • (—8) + |
20 |
• 16 = |
0; |
Ь, • Ьа= 10 • 40 + |
20 • (—40) + |
20 |
- 20 = |
0; |
Ьг • Ь3= — 16 • 40 + (— 8) • (— 40) + |
16 • 20 = |
0. |
||
Пронормируем, каждый из собственных векторов Ьи Ь2 и Ь3 и со ставим матрицу из нормированных собственных векторов.
Для первого собственного вектора Ь2 нормирующий множитель
„I__________
(см. стр. 194). |
|
у ю * + |
20* + |
20* |
35 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
Для второго собственного вектора Ьг нормирующий множитель |
||||||||
|
М2 = |
1 |
|
|
|
|
I |
|
|
(— 16)* + (— 8)* + |
16* ~ |
" Я * |
|||||
|
|
— V |
||||||
Знак минус перед корнем выбран для |
того, |
чтобы матрица пре |
||||||
образования Ь была |
симметричной. |
|
|
|
|
|||
Для третьего собственного вектора Ь3 нормирующий множитель |
||||||||
|
М ,= |
|
|
|
|
60’ |
||
|
|
/4 0 * + (—40)*+ 20» |
||||||
Нормированные собственные векторы обозначим соответственно |
||||||||
через Ь г , Ь 2 , |
Ь 3 : |
|
~ |
|
|
|
|
|
|
“ 1 “ |
2 “ |
|
|
|
2 “ |
||
|
Т |
|
|
7 |
|
|
|
У |
|
2 |
; |
Ьг = |
1 |
* |
Ь$ — |
2 |
|
|
У |
7 |
3 |
|||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
_ 3 _ |
|
7 _ |
|
|
|
_ У_ |
|
и составим |
из них матрицу |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Л |
2 |
|
2 “ |
|
|
|
|
|
■!_ |
|
|
|
||
|
|
|
з |
т |
|
7 |
|
|
|
|
Ь = |
2_ |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
3 |
т |
|
т |
|
(8.15) |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
_ 7 |
т |
|
т |
|
|
Проверим выполнение свойства 2 симметричных матриц (стр. 202).
Составим скалярные произведения Ву • Ь2, Ьу • В3 и Ьг • Ь3. Легко убедиться, что каждое из них равно нулю.
|
|
4-4+4-(-4)+4-4“ °; |
(8'|6> |
|
^• 6,=— |
4)• (—4)+(4)■4“ °- |
|||
Таким |
образом, |
векторы Ьу, Ьг и Ь3 попарно |
ортогональны, |
|
матрица |
(8,15) — ортогональная матрица, а так |
как |
векторы |
|
Ьг н Ь3 нормированы, то матрица (8,15) ортонормирована. Заметив, что матрица (8,15) ортонормированная, проверим выпол
нение третьего свойства.
Составим произведение Ь • 5' и убедимся, что получится еди ничная матрица. Это будет означать, что матрица В’ обратна матрице Ь:
|
- 1 |
2 |
2 ~ |
“ 1 |
2 |
2 “ |
|
|
т |
7 |
7 |
|
7 |
7 |
7 |
Ь-Ь' = |
2 |
I |
2 |
|
2 |
1 |
2 |
7 |
7 ~ 7 |
|
* 7 |
7 |
“ 7 |
||
|
2 |
2 |
1 |
|
2 |
2 |
1 |
|
_ 7 ~ Т |
Т _ |
_ 7 ” 7 |
7 _ |
|||
|
|
|
0 |
0 |
= Е. |
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
ние
X
Поскольку Ь • Ь' — Е, то Ь’ есть матрица, обратная Ь- Теперь проверим выполнение свойства 4. Составим произведе
Ь• А - Ь~1:
|
|
“ |
1 |
|
|
|
7 |
Ь • А ' Ь~1— |
23 |
||
|
|
|
2 |
|
2 |
_ 7 |
|
Г1 |
2~ |
||
7 |
7 |
7 |
|
2 |
1 |
1 |
= |
3 |
3 |
~ 7 |
|
2 |
2 |
|
|
_3 |
— 3 |
7_ |
|
2 |
2 “ |
|
11 |
— 6 |
2 |
|
|
7 |
3 |
|
|
|
|||
1 |
2 |
• |
—6 |
10 |
—4 |
|
|
т |
” 7 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
|
|
2 |
—4 |
6 |
|
3 |
7 _ |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
— |
2 |
2 |
|
“ 1 |
|
2 |
2“ |
1 |
|
3 |
|
7 |
3 |
||
4 |
2 |
— 4 |
• |
2 |
|
1 |
2 |
з’ |
|
7 |
3 |
||||
|
|
|
|
|
|||
12 — 12 |
6 |
|
2 |
“ |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
3 |
7 |
з . |
|
(8,17)
Действительно, получилась диагональная матрица с диагональ
ными элементами, равными X, = 3, |
Х2 = |
6 |
и Х3 = |
18. |
|
||
Отметим также выполнение свойства 5: все собственные числа |
|||||||
симметричной матрицы — действительные |
числа. |
Этим |
мы и за |
||||
кончим решение данной |
задачи. |
|
|
|
|
|
|
Задача 8,3. Найти собственные значения и собственные век |
|||||||
торы симметричной матрицы |
Гб |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||
|
Л = |
I 3 |
6 |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
1 |
|
|
|
и проверить свойства |
1 и 2 |
симметричных матриц, указанные в |
|||||
предыдущей задаче. |
|
|
|
|
|
|
|
Р е ш е н и е . Характеристическое |
уравнение запишется |
так: |
|||||
6 — X 3 |
2 |
|
= 0. |
|
|
||
3 |
б — X |
2 |
|
|
|
||
2 |
2 |
|
I — X |
|
|
||
Если раскрыть определитель в его левой части, то получится
уравнение такое |
же, |
как |
и (8,13). |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
X8— Л,Х* + |
Л2Х— Л3 = 0. |
|
|
(8,18) |
||||
Чтобы |
найти коэффициенты Аи Л2 и Л3, найдем Л* — вторую |
|||||||||||
степень матрицы Л |
и диагональные |
элементы |
матрицы |
Л3. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5 , |
= |
13; |
|
|
|
|
|
б |
3 |
|
|
|
|
149 |
40 |
20 |
|
|
Л* = Л |
Л = |
3 |
б |
|
|
|
|
40 |
49 |
20 |
5 2 = 107. |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
20 |
20 |
9 |
|
|
|
|
Г49 |
40 |
201 |
'6 |
3 |
2 |
= |
'454 |
|
|
|
Л3 = Л* • Л = |
1 40 |
49 |
20 |
3 |
6 |
2 |
|
454 |
• |
|||
|
|
| 20 |
20 |
9 | |
2 |
2 |
1 |
|
|
- |
89. |
|
Л0 = |
1; |
|
|
|
5 3 = 997. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Л, = |
5, = |
13; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А2= у (Л15 1 - 5 2) = 1 ( 1 3 . 13— 107) = 31;
С этими значениями коэффициентов уравнение (8,18) запишет
ся так: |
X» — 13).2 + |
31Х — 3 = 0. |
||
|
||||
Его корнем, |
как легко проверить, |
будет |
X, = 3. Разделим левую |
|
часть этого |
уравнения на X— 3 |
по схеме |
Горнера; |
|
|
1 — 13 |
31 |
—3 |
|
|
|
3 |
—30 |
3 |
|
1 |
|
1 |
0 |
Коэффициенты частного от деления подчеркнуты, а квадрат-' ное уравнение для определения остальных двух корней будет таким:
X*— 10Х+ 1 = 0
Х2 = 5 + 2 1/*6; Х, = 5 — 2)/б .
Таким образом, собственные значения матрицы найдены
X, = 3; Х2 = 5 + 2 |/б ; Х3 = 5 — |
2 ) / 6. |
Система уравнений (8,9) для определения |
собственных векто |
ров с найденными собственными значениями матрицы А запишет ся так:
(6 — X,) 6,, -(• 362, + |
= |
0 |
|
||
36,, |
+ (6 — X,) Ьц -|- 2Ьц = 0 |
(8,19) |
|||
26„ + |
2Ьц + |
(1 — X.) 63, = |
0 |
|
|
|
(*'= |
1,2,3). |
|
|
|
Для определения собственных векторов подставляем в эту си стему поочередно X,, Х2 и Хэ.
Определение первого собственного вектора (/ = I). При Х, = 3
система (8,19) примет вид |
|
36ц -Ь 36ц -+• 263, = |
0; |
36ц -)- 362| 262| — 0; |
|
26п + 26ц — 2631 = |
0. |
Определитель этой системы равен, конечно, нулю. Здесь вто
рое уравнение совпадает с первым. |
Независимых уравнений в си |
|
стеме два. |
второго и третьего уравнений |
|
Решим систему уравнений из |
||
36ц •+• 362, |
2631 = |
0; |
26,, -)- 2621 — 263, = |
0- |
|
|
Матрица |
коэффициентов записывается так: |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
2 | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
— 2\ ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 ,, = |
— 1ОЛ; 6 3 , ■ ЮЛ; |
6 л = |
0, |
|
|
||||||
а |
первый собственный |
вектор |
Г - Ю ! |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 , |
« Л . |
1 0 . |
|
|
|
|
|||
|
Определение второго |
собственного |
вектора |
(( » 2). |
Для |
Х2 => |
||||||||
= |
5 + 2/<> |
система |
(8,19) |
запишется |
так: |
|
|
|
||||||
(6 — 5 — 2 / 6 ) 6|2 + |
3623 |
|
|
|
|
+ |
263, |
|
|
м0; |
||||
|
|
|
36.24' (6— |
5— |
2 / 5 |
) 6ц + 26„ |
|
|
= 0; |
|||||
или |
|
26.2 + |
2622+ |
(1 — 5 — 2 /6 ) 632 = 0 |
|
|
||||||||
|
_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
(1 “ |
2 /6 ) Ь,2 |
-(- Зб2г |
|
|
+ |
2633 |
= |
0; |
|
||||
|
|
|
36,* + |
(1— |
2 /3 ) Ьц + |
2632 |
= 0 ; |
|
||||||
|
|
|
26,3 + |
26гг |
|
|
+ (— 4— 2 /6 ) 6зг = 0. |
|
||||||
Определитель этой |
системы |
равен нулю, в ней только два |
неза |
|||||||||||
висимых уравнения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Решим |
систему из первого и второго уравнений |
|
|
||||||||||
|
|
|
(1 — 2 1 ^ 6) б» + |
36,2 + |
2632 - |
О, |
|
|
||||||
|
|
|
36ц + |
(1 — 2 / В ) 623 + 26зг = |
0. |
|
|
|||||||
|
Матрица |
коэффициентов этой системы имеет вид |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
Г1 — 2 /<Г |
3 |
|
2] |
|
|
|
||||
|
|
|
|
[ |
|
3 |
|
1 — 2 / 6 |
2\' |
|
|
|
||
Неизвестные определяются формулами
б,, = ( 4 / 6 + |
4) Л; |
622 = ( 4 / б + 4)Л; |
||
632 = (16 — 4 /3 )Л . |
||||
Второй собственный вектор |
|
|
|
|
|
4 |
+ |
4 |
/ ( Г |
63 = Л |
• 4 + |
4 |
/ 6 . |
|
|
16 |
— 4 |
/ 6 |
|