Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Практические занятия по высшей математике. Численное решение алгебраических и трансцендентных уравнений, матричное исчисление, векторный анализ и интегрирование линейных дифференци

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

15.42 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 429 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Так можно определить приближенное значение корня. Отделить корень следует методом проб.

3.	Необходимо проверить,			удовлетворяет		ли функция	<р [х)
из п.	1	условию	(3,7)
			1 < р '(* )К		1
во всех		точках интервала изоляции			корня.
4.	Определить		число М для	использования		неравенства	(3,11),

т. е. для того чтобы узнать, при какой абсолютной величине раз

ности между двумя	последовательными приближениями будет до
стигнута требуемая	точность.
5. Решение задачи провести по схеме (3,6).
Придерживаясь	этой схемы, решим предложенное уравнение.
1. Перепишем уравнение в виде

откуда	х2= 2 — $1п4х =	1 +со$2х,
откуда	_________
	х = ± У 1 +	с05® х.	(А)

2.Для того чтобы упростить построение графика функции у =

=/(*), перепишем уравнение

51П® X — 2 — X 2 .

Из чертежа видно, что корни расположены симметрично относи тельно начала координат. Отделение корня дает

/(1) = 1* +		5Ш® 1 — 2 =	1 +	0,70728 — 2 = — 0,29272 < 0 ;
/ (1 ,1 ) =	1,1® +	ап* 1,1 — 2 =		1,21 + 0,79388 — 2 = 0,00388 >		0.
Значение	корня	будет ближе к		1,1, чем к 1 , так как
		1К М ) 1 < 1/ 0 ) 1-
Таким образом, интервал изоляции корня определен.
3. Проверка		условия (3,7). Из (А) следует,			что
			у 1 + С05* х\
				$1п X СО$ X
		! ? ' ( * ) ! -
Вычислим	17 ' (1)\| и \|?'(1 ,1 )\|, причем большая				точность при	этом
не требуется:		IУ (0 I =	0.40: \у (1,1) 1 = 0,38.
		IУ (0 I =	0.40: \у (1,1) 1 = 0,38.
Процесс будет сходиться,			так	как

ИР* (*) I < 1

во всех точках интервала изоляции корня.

4. Число М возьмем равным 0,41. Теперь определим по фор* муле (3,11), какой должна быть абсолютная величина разности между двумя последовательными приближениями, чтобы считать требуемую точность достигнутой.

, „	.. . _ е<1 — ЛГ)		0,0001 .(1 -0 .4 1 )	0.0001.0.59._ Л л™ ,
\хп	Хп~11 ^	■}%	------------ о!41	— 0 4\|

Таким образом, когда разность между двумя последовательными приближениями будет равна 0,0001, итерационный процесс следует остановить.

5. Воспользуемся схемой (3,6) для вычисления корня уравнения. Исходное уравнение имеет вид

	х ~ V 1	+ соз* г,	дг0 =	1 ,1 .
Все вычисления поместим в таблицу:
X	соз X	СОЗ2 х	1 +	соз2 х	У 1 + соз2 х
1.1	0.45360	0.20575	1,20575		1,09806
1.09806	0.45532	0.20732	1.20732		1.09878
1.00878	0.45468	0.20673	1,20673		1.09851
1.09851	0.45492	0.20695	1.20695		1.09861
1,09861

Округляя до четырех десятичных знаков, получаем два соседних приближения

х3= 1,0985; x^ = 1,0986.

Быстрота сходимости объясняется здесь удачным выбором нулевого приближения, сравнительно небольшим значением числа М и не большой заданной точностью. Итак, уравнение имеет два решения

д<*> = — 1,0985; *<2>= 1,0985.

Задача 3,5. Найти наименьший положительный корень уравне ния

х — х = 0

с точностью до 0,0001.

Р е ш е н и е . 1) Представим уравнение в виде

•* = ?(<)

В нашем случае оно будет таким:

С2

К задаче 3,5

2) Построим графики функций у*= х и у — * (см. чертеж к этой задаче). Легко усмотреть, что за нулевое приближение можно

принять дс0 = ■§"гс* Таким	образом корень находится		на интервале
3) Проверяем выполнение условия (3,7):
9 (*) =	* <р' (*) =	зес* х.
Внутри интервала изоляции корня (к,		?'(*) \| >	1 , поэтому ус
ловие (3,7) нарушено. Непосредственно видно, что			если бы мы
вели решение по уравнению

х =

и взяли х0 ** у «, то уже второе приближение не могло бы быть

найдено. Действительно,

хх =

= ± 00•

Поэтому уравнение перепишем в другом виде, а именно

х = агс1§ х + л; х0= * = 4,71237.

Вычисления помещаем в таблицу. Следует иметь в виду, что к значениям агс1е х, которые находятся из таблиц (например, Чем берса) следует прибавлять число к, так как прямая у »■ х пересе кает ту ветвь кривой у = агс (§ х, которая удовлетворяет условию

% < агс * < - | *,

т. е. фактически

хагс!§ х 4- *.

X	•гс(в*	1С	агс 1% х + я
4,71237	1.36169	3.14159	4.50328
4,50328	1,35227	3.14159	4.48386
4.49386	1.35185	3,14159	4.49344
4.49344	1.35182	3.14159	4.49341
4.49341	1.35182	3.14159	4.49341

Таким образом, искомым корнем с четырьмя верными знаками яв ляется

х = 4,49341.

Ниже помещены задачи для самостоятельного решения.

Задача	3,6. Методом итераиии найти			корень уравнения
		х’— 2х6— Юх* + 1 = 0
с пятью верными десятичными знаками.
У к а з а н и е .		Уравнение переписать		в виде
		х —\|Л ),1 — ОД*6 +		0, 1х7.
О т в е т , х =		0,31529.
Задача 3,7. Вычислить с четырьмя верными десятичными зна
ками действительный корень			уравнения
		х2+	4 з!п х = 0.
О т в е т ,	х ——0,9338.
Задача	3,8. Определить с шестью верными знаками корень урав
нения		Зх — со$х — 1 = 0.

О т в е т , х =		0,607104.
Задача	3,9. Найти корень уравнения

2х — 1ое«* = 7

сточностью до 0,0001.

От в е т . х = 3,7893.

ЧЕТВЕРТОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ

С о д е р ж а н и е . Основные определения теории матриц

I.ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ МАТРИЦ

1. Матрица и ее элементы

Матрицей называется система элементов (в частном случае чисел), расположенных в определенном порядке и образующих таблицу. Если в этой таблице т строк и я столбцов, а ее эле менты обозначены через а</, где »— номер строки, а / — номер столбца, на пересечении которых находится этот элемент, то матрица записывается в следующем виде:

	«11	О м	013	*	•	•	«1л
А =	«31	0 2 2	023	*	•	•	а гп
А =
	_ а т \	0\|ПЗ	й т ь	*			& т п-
Короче эта матрица может быть записана так:
А = 1«</Р, (/ =	1, 2,	3.............	т; } =			1, 2. 3...............		л) (4.2)
Каждый элемент матрицы называется также ее компонентой.
Матрица (4,1) имеет	размер т х л.							столбцов л,
Если число строк	матрицы		т не равно числу ее					столбцов л,

то матрица называется прямоугольной.

2. Различные виды матриц

Матрица-столбец. Если в матрице только <ущн столбец, т. е. если л = 1, то она называется матрицей-столбцом и имеет такой вид:

«11
«81
А = « 3 1 .	(4,3)

Матрица-столбец называется также вектором-столбцом.

• Матрицы в дальнейшем обозначаются эиаком [ ]. а определители квад ратных матриц — знаком | |.

В6

Матрица-строка. Если в матрице только одна строка, то она называется матрицей-строкой и имеет такой вид:

Л = [йц	ом • • • а1л).	(4,4)
Матрица-строка называется также вектором-строкой.
Примеры.
Матрица	1

А = 3 5 7

есть матрица-столбец. Ее размер 5 x 1 . Иначе, это пятимерный вектор-столбец.

Матрица

/1 = 12 0 4 3 7 2)

есть матрица-строка. Ее размер 1 x 6. Иначе, это шестимерный вектор-строка. Когда это не может вызвать недоразумений, векторстолбец и вектор-строку мы будем называть просто вектором.

Транспонированная матрица. Если в матрице А поменять местами строки и столбцы, то получится новая матрица, которая по сравне нию с матрицей А называется транспонированной. Транспониро ванную матрицу будем обозначать через А’.

Примеры.

1) Если матрица

»11	Й13	о1Я	ч
»11	Й13	о1Я	о»
А = а и	^22	а гз	а>24^ •
°31	а 32	а ЭЗ	0>34.1

то транспонированная матрица запишется так:

°П	»21	а31
А' = °12	°22	а 32
а 13	»28	а 33

			_аи а24 Оз4_
Матрица А имеет размер 3 x 4 ,					а транспонированная матрица
А' — размер	4 х З .
	1	3	5
2) А =	1	2	4;]•
Транспонированная			матрица		3
				'2	3
			А' =	1	1
			А' =	3	2
				3	2

5 4

Транспонирование матрицы-столбца дает матрицу-строку и на оборот.

Квадратная матрица. Если в матрице столько же строк, сколько и столбцов, т. е. т = п, то матрица называется квадратной.

а п а 12 а 12 * * * в 1я

А =	а22	023	*	*	* От
- а а,	а пг	а пЪ	•	*	* ат _

Матрица (4,5) имеет размер п х п. Однако в случае квадратной матрицы вместо термина размер употребляется термин порядок.

Матрица (4,5) — матрица п-го порядка. В квадратной матрице об элементах аи , а^, а33, ... , а„„ говорят, что они образуют главную

диагональ, или что они стоят на главной диагонали. Об элемен тах, стоящих на линиях, параллельных главной диагонали, гово рят, что они образуют побочную диагональ. В матрице порядка п имеется п — 1 побочная диагональ, расположенная выше главной, и л — 1 побочная диагональ, расположенная ниже ее.

Пример.

Матрица

	1	4	— 2	5
А =	3	2	0	— 1
А =	1	4	2	0
	1	4	2	0
	5 —7		2	1

— квадратная матрица четвертого порядка. В ней число строк /п= = 4 и число столбцов п =» 4.

Нулевая матрица. Матрица, все элементы								которой равны нулю,
называется нулевой и обозначается символом 0.
0	0	0	0	•	• •		0”	1
0	0	0	0	• ♦		•	0		т строк (4,6)
0	0	0	0	-	-	•	0	'	т строк (4,6)
0	0	0	0	-	-	-	0_	!
	п столбцов

Диагональная матрица. Квадратная матрица, у которой все элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю,

называется диагональной.	Эта	матрица			имеет следующий	вид:
О и	0	0	.	• .	0
О и
0	а 2Л	о . . .			0
А = 0	0	О з з	*	• •	0	(4,7)
_ 0	0	0	-	•	—
					—

Таким образом, в диагональной матрице все элементы с неравными индексами равны нулю.

Скалярная матрица. Диагональная матрица, все элементы кото рой, стоящие на главной диагонали, равны между собой, назы вается скалярной матрицей. Скалярная матрица имеет такой вид:

			~аХ1	0	0	.		• •	0	"
	в	-	0	ац	0	•		• .	0
	в	-	0	0		•		• .	0	•	(4.8)
			_0	0	о	. • ■
								■ ° 11_
Единичная матрица. Диагональная матрица, у											которой все эле-
менты,	стоящие на	главной диагонали. равны 1,									называется еди-
ничной.	Единичная		матрица		обозначается					символом Е и имеет
такой вид:
			1	0	о	о . . .			0
			0	1	0	0	- . . 0
			0	0	1	0	- . .		0	•	(4.9)
			0	0	0	1	•	• .	0	•	(4.9)
			0	0	0	1	•	• .	0

_0 0

о .

	•
О	•

• 1_

Индекс п в символе Е показывает порядок единичной матрицы. В матричном исчислении единичная матрица играет роль, в извест ной мере аналогичную той, которую в арифметике играет единица.

Верхняя треугольная матрица. Квадратная матрица, в которой все элементы, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю, называется верхней треугольной матрицей. Она имеет вид

0. 1	^12	а 13	. . .	о , „
0	а 22	0^3	* • .	а%п	(4,10)
0	0	а 33	. « •	а 3п	(4,10)
0	0	а 33	. « •	а 3п
0	0	о	. . .	^Л/1—
				^Л/1—

Нижняя треугольная матрица. Квадратная матрица, в которой все элементы, расположенные выше главной диагонали, равны нулю, называется нижней треугольной матрицей. Эта матрица имеет такой вид:

Г в а	О О О * * *
	^22 0 ,0	• ♦ *
ап	азг ам 0	• • •	(4,И)

_оя. ^п2 ^лЗ ^п4

Симметричная матрица. Симметричной матрицей называется квадратная матрица, в которой все элементы, расположенные сим* метрично относительно главной диагонали, равны между собой. Для симметричной матрицы имеет место равенство

о.ц *■ О//.

Пример квадратной симметричной матрицы:

1	4	2 ‘
4	3	6 .	(4,12)
2	6	5

Блочная матрица. Если в матрице провести горизонтальные и вертикальные «перегородки», то матрица окажется разбитой на прямоугольные или квадратные клетки, или блоки. Такая матрица называется блочной. Вот пример такой матрицы:

		аи	а1г	а 13	\|	аи	ац	а1$
		а 21	<кг	а 23	\|	0*4	Д2*	а 26
А	=	°31	а В2	азз	1	а34	Д3*	азз
А	=				1
		1	ап	а 43	!	аи	ац	а«в
		а*	ап	а 43			ак	а«в
		_?ч	а»г	Д*3	!	аи	ак

Элементы в каждом блоке образуют следующие матрицы:

Ац =	О ц	О ц	<*13
Ац =	агх	о22	о*з ;
	Оц		Сзз_
Ац	а 1«	°16	Ом
Ац	аи	°2»	*
	к.ан	ам

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 429 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги