книги / Практические занятия по высшей математике. Численное решение алгебраических и трансцендентных уравнений, матричное исчисление, векторный анализ и интегрирование линейных дифференци

Р е ш е н и е .

АВ = 2 • 2 + 4 ■(—3) +

5 • (— 1) + 7 • 4 =

=

4 — 12 — 5 + 2 8 =

15.

Задача 5 ,3 . Если а — вектор-строка, 6 — вектор-столбец с одним

и тем же числом элементов, а

а — число,

то

доказать,

что

а (а • Ь) = (ад) •

Ь — а • (аЬ).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

1) Пусть

' V

а =

(а,,

а 2,

а8,

. . . ,

а„1;

6 =

62

6*

Тогда по формуле умножения матриц

" V

о • 6 =

[в],

Оз,

Оэ»

♦ • *,

6а

_

6Л _ |

=

+ йз^з +

О363 +

* •

„

• « А ;

(А)

а (а • 6) =

яаз&з +

ад262 +

аа363 +

. . . +

а яя6я)

2) ад =

а [аз,

а2,

а8,

. . . .

яп1 = [«в1(

<“>2.

<*+»>

задачу)

_

61

(а а ). Ь= [адь ад2',

ад3, . . . , аап]

аа1Ь1+

ад262 +

ао3й3 +

. . . + ад,6я).

(В)

Сравнивая выражения (А)

и (В),

приходим к выводу, что

а (а • 6) = (а • а) Ь.

Самостоятельно

докажите, что каждое из этих выражений

равно

а • (*&).

(для

самостоятельного решения). Доказать, что

Задача 5,4

если а — трехмерный

вектор-строка,

Ь и с — трехмерные векторы-

столбцы и а — некоторое число, то имеют место равенства

Задача 5 ,5 .

Пусть А — |ж,

у] и векторы-столбцы

а и Ь равны

соответственно

3

6'

•

ь —

а = .5

»

0 — .8

Определить

х, и у,

если

известно,

что А - а = х,

а А - В = у.

Р е ш е н и е .

По условию

А • а =

дс, а

А • Ь = у,

т. е.

\х,

у]

=

дс;

1*, у]

= У'

Отсюда для определения х л у получится система уравнений

Здг +

Ъу =

г,

|

или

бдс +

8у = У I

2х +

Ъу =

0;

бдс +

7у =

:}

0.

Так как определитель этой системы

2

5

б 7 =

14 — 30 = — 16=^0,

то она допускает только нулевое

решение: х = у =

0 .

Задача

5,6

(для

самостоятельного решения). Пусть х =

[х1( х2],

а векторы

а и Ь равны соответственно

а =

' 1 ' 4 4

Определить х1 и х2, если х • а =

4; * . Ь = —1.

О т в е т : х1=

; х2 —у .

Задача

5,7.

Найти произведение

а • Ь, если

а —

Г

2

\ Ь = (2,

3,

— 1).

3

5_

Р е ш е н и е .

По формуле

(4,

33)

получаем

а • Ь=

Г

2

[2,

3 , - 1 ] =

3

1 - 2

1 3

-5

3 — Г

=

1 • ( - 1)

=

2

2 • 2

2 - 3

2 ( - 1)

4

6 — 2

3 • 2

3 - 3

3 ( - 1)

6

9 —3

- 5 - 2

- 5 - 3

- 5 • ( - ! ) _

_ — 10 — 15

5_

Задача 5,9. Найти произведение

АВ вектора А 15, 7, - 2 1

.на матрицу

3

23 =

2

1

1

4

2 .

Г

3

1

АВ = [15,. 7. -—221] •- 1

1 4

2

3

— 1

А = \1,

В -

Г5

П

0.

— 1];

2

3 .

О т в е т . ( 1 , —7).

произведение АВ, если

Задача

5,11.

Найти

А =

5

7

—4]

2

5

1];

Р е ш е н и е .

Умножение,

возможно,

так

как

число

столбцов

матрицы А равно числу строк матрицы В.

По правилу (4,34) умножения матриц получаем

АВ =

5

7

—41

_

Г5

• 3 +

7

2 + ( - 4 )

• (-1)1 _ [331

2

5

1 Г

~ [ 2

- 3 +

5

2 + 1

( - 1 )

1-1151-

Размер этой

матрицы

(2

х 1),

как и должно

быть по правилу

(4,35):

(2 х 3) • (3 х 1 ) = (2 х 1).

Задача

5,12.

(для самостоятельного

решения).

Найти

произве­

дение АВ матриц А и В, если

-

В

1 —3

0

41

0_

..

2

5

5

2

;

в =

2

4

1

—7

— 1

3

гЗ

7

21

2М

"

1

1

2

В =

12

0

5.1

I

)

3)Л

=

{5,

7, - 2 ,

-3 1 ;

В

■ —9

О т в е т . 1)

20

2) | |5 |;

3) (0,2 1 ).

— 18

Г—5«х -+■ЗиЛ

Г 7 1

[ Ю^х — 6ы2]

[ - М ] ’

—5«х

3^2в

7)

10«х

— 6иа = — 14 / ’

Р е ш е н и е . Выполнив в левой

части равенства умножение

матриц, а в правой умножение числа

на матрицу, получим

Г 2 ы , +

З и 2 ]

Г 1 1

ы Л

[би! + 2и2] “

[ п

«Л

Но если

две

матрицы

равны,

то

их

соответствующие

элементы

равны, потому получаем

систему уравнений:

2ы, +“р

3« 2 == 1 1и ,)|

41*1

О и

или

6«1 +

9ы2 =

11и2 /

—9«! 4- Зи2 = 0 1

бох— 2и, = 0 Г

Получилась

система

из

двух

линейных однородных

уравнений

с двумя

неизвестными. Так как

определитель этой системы

112* 3^1*

Если обозначить

иг = к, то и2* 36

и вектор

где к — любое

число.

решения). Найти х и у из

Задача 5,20

(для

самостоятельного

уравнений:

О т в е т . 1)

х =

Зк; у — 2к; 2)

4к; у — Ък, где к — любое

число.