Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Практические занятия по высшей математике. Численное решение алгебраических и трансцендентных уравнений, матричное исчисление, векторный анализ и интегрирование линейных дифференци

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

15.42 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 4215 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

С о д е р ж а н и е . Обращение треугольной матрицы (верхней и нижней). Разложение квадратной матрицы на произведение двух треугольных. Вычис ление обратной матрицы при помощи представления ее в виде произведения двух треугольных матриц.

I. ОБРАЩЕНИЕ ВЕРХНЕЙ ТРЕУГОЛЬНОЙ МАТРИЦЫ

Краткие сведения из теории

Сущность метода обращения верхней треугольной матрицы разберем на матрицах четвертого порядка, а формулы для обра щения верхней треугольной матрицы любого порядка приведем без вывода. (Заметим еще раз, что обращение матриц имеет исклю чительно большое значение для решения систем линейных алгебра ических уравнений, которыми, мы будем заниматься на следующем

практическом занятии)
Пусть А — верхняя треугольная			матрица четвертого		порядка
	а »	а 12	а13	« и
	0	°22	023	°24
	0	0	азз	аи
	0	0	0	йи.
а искомая обратная ей	матрица, элементы которой лц				подлежат
определению, запишется	в виде
	«11	«12	«13	« 1 4 '
	«21	а 22	«23	«24
	«31	а Э2	«33	«34
	-««1	«42	«43	«44.

По определению обратной матрицы должно выполняться равенство

А~1А = Е,

т. е.

"«11	«12	«13	«14~	“ О ц	°1 2	013	аи	- 1	0	0	о -
«21	«22	«2»	«24	0	°22	а 2з	024	0	1	0	0
«31	«32	«3»	«34	0	0	038	034	0	0	1	0
-« 4 1	«42	«43	«44-	_0	0	0	044-	_0	0	0	1.


Используя	правило		умножения матриц, перемножим матрицы
в левой части	равенства
«Ц 011		а 11С 12	4" « 12^22		а 11а 13	4~ а 12023 +		а 13С33
« 2 10Ц		«21012	4~	«22022	«21018	4“ «22028 +		а 23а 33
«310Ц		.а 31а 12	+	«32022	«31013	4*	«32023 +	«33083
-«41011		«41012	+	«42022	а 41а 1Э +		«4*028 4“ «4303?

« Ц 0 1 4	+ «120*4 +			«13034 + «14044
«21014 4" «2204 4 а 23а 34						4" а 24Д4*
«31014 4“ «32024 4 ' °83а 34						4 “ «34«44
«41014	4" «42024 4“ «43034 4“ «44«44-
		"1	0	0		0"
	в	0	1	0		О
	“	0	0	1	О
		.0	0	0	1

Исходя из определения равенства двух матриц, для отыскания неизвестных величин получаем уравнения, сравнив соответствую щие элементы первых строк,

						«ц0ц *	1;	(1)
						а 11а 12 4 “ «12«22 =	0;	(2)
				« Ц 013 +		«12«23 4" «13«33 *	Ф	(3 )
	\	«11«14 +		«12«24 4“ «13«34 4" «14«44 *			0.	(4)
	\	уравнении		следует:
Изэтйх		уравнении		следует:
ИЗ	(1) «11 = ^ ;							(5)
ИЗ	(2) «12		“2»		аП			(6)
			“2»		аП
из	(3)	«13 —	аП°1Э4“ Д12°аз			а 1*а„;		(7)
из	(3)	«13 —		озз		а 1*а„;		(7)
				озз

	/л\	_	аЧа1Л+а1?а*4+ а1Л°34_		1	^	/т
ИЗ	(4)	<*14 —	---------------------- д - ---------------------------- ^		2 * * ' * “ **-		(8 )
Проделав аналогичную работу для второй, третьей							и четвер
той строк,		получим для второй строки
				«21011 =		0;	(9)
				«21^12 4" «22022 ™		1»	(Ю )
			«21013 4	«22023 4- «23033 =		0;	(1 1)
		«21014 4 - «22«24 4*		«23034 4 " «24«44 =		0	(12)
из	(9)	а2, =	0,				(13)

С учетом, что а21 == 0,			получаем:
иэ (Ю)	«« = 3^ ;							(И)
из (11)	а23 =	-	= ------- а22а23;					(15)
		“за		изз			3
							3
из (12)	а24 =	— а»°м + ая°»« +			= — ± - V л2как4.			(16)
			в“			и Г 1
Для третьей		строки			аэ1а и	=		(17)
					аэ1а и	=		(17)
				«31®12 “Ь «Э2®22 я			0*	(18)
		а 310 13 "Ь		«82а 23 +	«33а 88	=	1*	(1 9 )
	« 8 1 ° 14 + «32а 24 +			«ЗЭа Э4 ~Ь’ «Э4а 44		==	0*	(2 0 )

Из	этих	уравнений следует:
из	(17)	аЭ1 =	0.
Учитывая, что				а31 =		0,	из (18)	получаем
							«82 =	0,
а учитывая,		что	и	а31 =		0,	и а32 =	0, находим:
из	(19)	<хээ =	“ за		;
			“ за
из	(20)	д34 =» —			аи	------Г— «3,084.
					аи		а4Л

(21)

(22)

(23)

(24)

И наконец,	для		четвертой строки имеем
						а41°и =			0;		(25)
					«41в12		«42°22 =			0;	(26)
				«41013 + «42а2Э+			«43а33 =			0;	(27)
	«41а14 ■+■«42°24 "Ь «43°34 Ч~«44°44 *									1*	(28)
Из (25), (26) и (27)			следует,		что
					«41 =	0:					(29)
					«42 =	0;					(30)
					«4з =	0.					(31)
а с учетом этого		из		(28) получаем
					«44 =	^ 7 •					(32)
Равенства	(9),	(21), (22),			(29),	(30)		и	(31)	показывают,	что
равны нулю те элементы обратной						матрицы Л-1, у которых					пер
вый индекс I больше				второго индекса			/',	т. е. если I > /, то
					«л =	0.					(6, 1)

Из равенств (5), (14), (23) и (32) диагональные элементы обратной матрицы А~1, у которых первый и второй индексы равны (/ = у), определяются так:

а	1	а22	1	1
а		а22	022	а33 = *зз
что можно объединить одной записью: если					» = у, то
					(6.2)
По формулам (6),		(7),	(8),	(15), (16), (24)	и (32) определяются

те элементы обратной матрицы для верхней треугольной, у кото рых первый индекс ( меньше второго индекса у (/ < у), т.е. эле менты, стоящие над главной диагональю. Полученная по этим формулам обращенная матрица будет также верхней треугольной.

Когда верхняя треугольная матрица имеет порядок п, эле менты обратной ей матрицы находятся по аналогичным формулам,

которые имеют следующий вид:
если	/ =	у,	то	а,у =	—	;	(6,3>
				“	а»
если	/ >	у,	то	а.ц =	0;		(6,4)
если 1<					/—•
если 1<	у,	то	аЧ = — ^ - \ а<>а*Л				(6.5)
				"
Например, по формуле (6,5) элемент обратной						матрицы
			4
а» ~		~	а‘а» =
			* -\|
— — ~ ~ (а11а 11~1~ а 12а2» + аХЗ°8» "Ь а 14а«).							(6,6)
“б®
З а м е ч а н и я . Применяя		формулу		(6,5), надо иметь в			виду,

что будут равны нулю те произведения, в которых первый индекс элемента а больше второго индекса. Можно указать простое пра вило для определения элементов обращенной верхней треугольной матрицы.

1. Определить диагональные элементы		обращенной матрицы
по формуле	(6,3).
2. После	этого матрицы подписать одну	под другой.

3.На места элементов, стоящих ниже главной, вписать нули.

4.Чтобы определить элемент, стоящий над главной диагональю обратной матрицы, надо составить алгебраическую сумму произ ведений элементов, стоящих в обращенной матрице /I-1, левее определяемого, на соответствующие элементы того столбца мат рицы А (т. е. той матрицы, для которой ищется обратная), в ко

тором	стоит определяемый 'элемент. Эту алгебраическую сумму
надо	разделить на	диагональный элемент матрицы А, стоящий
в том	же столбце,	что и определяемый элемент. Определяемый

элемент равен		этому частному, взятому с обратным знаком.
По	этому	правилу		выражение			в скобках в (6,6) получается
так: искомый элемент а1§ матрицы							Л- 1	находится	в первой строке
и пятом столбце.			Перед ним		в первой строке обратной					матрицы
Л- 1 стоят элементы аа , а12, а13,						и <х14,		а в пятом столбце матрицы
Л — элементы		а,», ам> а38 и			а3».		Составляется		алгебраическая
сумма	произведений первого элемента							в первой	строке	матрицы
Л- 1 на первый элемент в пятом							столбце матрицы Л,			второго
элемента в первой строке матрицы Л- 1								на второй элемент в пятом
столбце матрицы			Л и т .	д. Для		уяснения этого правила решим
несколько задач.
Задача 6, 1 . Найти обратную матрицу для матрицы
				"3	1		2	Г
				0	8		3	2
				0	0		6	4
				0	0		0	4
Р е ш е н и е ,		п. 1 . Находим			диагональные элементы аа , а22, а33
и аа обращенной			матрицы по формуле (6,3)

пЛ. 2 и 3. Подписываем матрицы одну под другой и вписываем нули на места элементов, стоящих под главной диагональю

	~3	1	2	Г
.	0и	8о	3о	^2
	0	0	6	4
	0	0	0	4

0 0 0 -^

1	1	■	1	1		Т 2 +	(	-	й
т	8	II	1	к	1		0<
0	1				°	• 2 +	-	д 3-
	1						6
	Т				—
	Т				—
0	0						1
0	0						т
							т
0	0						0
	1
	3	'			4
					4
		0 • 1+		7 ■ 2 + (		1- ? )	'	"	_
					4
		0 1 + 0			2 + ^ - 4
					4			6

3 ) ‘ -13

-144

■ т е -

			Г 1	I		13	1~
			Т ~ $ 4			ГО	35
			О	1		1	0
			О	т	~ т е		0
		А~1 =		т	~ т е
		А~1 =		0		1	1
			о	0		Т	“ т
						Т	“ т
			о	0		0	1
			о	0		0	4
	Для проверки		перемножьте	матрицы			А и А 1 и убедитесь,
что	получится	единичная матрица
			~1	0	0	0“
			0	1 0		0
			0	0	1	0	*
			0	0	0	1
	При решении этой задачи все элементы обратной матрицы
были представлены в виде простых						дробей. Мы так поступили
для	облегчения	контроля. На практике же все вычисления ведутся
в десятичных дробях.
			Н1
	Отметим, что		вычисление	<.<**/ по формуле (6,5) с помощью

настольных клавишных счетных машин или на арифмометре не требует никаких промежуточных записей, так как эти машины позволяют производить накопление произведений.

	-2	5	4	3"
I) А =	0	3	4	2
	0	0	3	1
	0	0	0	4_

	3	2	0
	0	2	— 4
3) /4 =	0	0	1
3) /4 =	0	0	0
	0	0	0
	0	0	0
	0	0	0

и проверить ответ умножением А быть единичной матрицей).

	1	2	— 1	3	5“
И	0	— 1	2	1	4
И	0	0	5	— 2	3
	0	0	5	— 2	3
	0	0	0	1	2
	0	0	0	0	—4_
	5	4	6'
	0	2 — 1
—3		2	7
	3	0	1
	0	4	2
	0	0	3

на А~х (произведение должно

О т в е т . 1)	1		5	, 4
	7		6	+	7
	0		1		4
А~' =	0		7	“	7
			7	“	7
	0		0
I	0		0	+	7
				+	7
			0		0
	0		0		0
2)	1	+2		3
2)	1	+2		5
				5
	О	— 1		2
	О	— 1		Т
				Т
Л“ 1 =	О	О		1
	О	О		7
				7
	О	О		0
	0	0		0
3)	1			4
3)	— 7	+	7	3
	— 7	+	7	3
	0		1	2
	0		7	2
			7
	0		0	1
/4-1 =	0		0	0
	0		0	0
	0		0	0
	0		0	0

”75

—15

31		3	“
5		10
9 . ‘		I
7		т
2		7
5		20
1		1
1		7
		7
0		1
0		4 -
		4 -
17		1	71"
9		2	27
2		5	13
2		4	- 7
		4	- 7
1		1	7
1	"	7	7
	"	7	7
1		0	1
7		0	9
7		1	9
0		1	— 7
0		4
		4
0		0	1
0		0

Поступая так же, как и для обращения верхней треугольной матрицы, получаем формулы для определения элементов матрицы, которая обратна нижней треугольной матрице

	~Ьп	0	0	0...	0“
В =	Ь2\	Ьг2	0	0...	0
В =	Ь9\	^32	ь3>	0...	0	1
	А з	ЬП2	Ьп»		Ьап_
	"&■	0	0	0...		0"
а - ‘ =	Р21	Р22	0	0...		0
а - ‘ =	Рз1	Рз2	Раз	0...		0
	А х	Рл2	РлЗ		р,*-

При	I <	/	р// = О						(6.7)
(т. е. все элементы,				находящиеся		над главной		диагональю,	равны
нулю).
При	1 = 1		р « = т г - .						(6,8)
				* г *
				°и
По этой формуле находятся диагональные элементы.
При	I > /				А - 1				(6.9)
				“	А - 1
По этой формуле определяются элементы,								находящиеся	ниже
главной	диагонали.			Из приведенных формул видно, что обратная
матрица	для нижней треугольной является также нижней треуголь
ной.
Пример		применения формулы				(6,9). Пусть требуется определить
Раз (*' “ 5;		/ = 3;	I	> /).		4
						4
				Р»з “	Ь~ш \ х		Рз^*1
						А	- 1
		Р*э =	—	г ~ (Рм&н +			+ Рэз6.а +	Раз^и)-

В скобки заключена алгебраическая сумма произведений элемен тов, начиная с первого, того столбца, в котором находится опре деляемый элемент, на соответствующие элементы той строки мат рицы В (той матрицы, для которой ищется обратная), в которой стоит определяемый элемент. Среди произведений, стоящих в скобке, могут быть и равные нулю. Это будут те произведения, у которых множитель (3 имеет первый индекс меньше второго.

Задача 6,3. Найти матрицу, обратную нижней треугольной матрице

	"1	О	0	0"
В =	О	2	0	0
	2	—3	4	О
	3	2	— 1	3.

Р е ш е н и е .

Прежде всего по формуле (6,8)

определяем

диаго

нальные элементы: рп = ± =

р22 = ^

= 4-;

р33 =

у- =

- т *

= ^

Вписываем

эти

элементы

главную

диагональ

и вписываем

нули на

места

над

ней. Теперь следует

определить элементы

р21;

Рз1 * Рз2*

Р*3-

удобства

по

Эти элементы вычислим по формуле (6,9). Для

мещаем матрицу В-1

под матрицей В.

"1 .

—3

— 1

_ | . ( | . 0) = 0

— ~ 1 1 • 2 +

0 • (—3) ] = — у

I столбец

- 1

[

| . 3 +

0 . 2 +

( - 4 ) . ( - 1 ) ] ------'

II столбец

(Г

;

III

столбцы

- 1 [ о . з + о . 2 + 1 . ( - ! ) ] = ■!	3

~	I	0	0	0
	0	1	0	.0
	0	7	0	.0
	1	7	1
	1	3	1	0
— 7		У	4	0
— 7		У	4
	7	5	1	1
_	'6'	24	Г5	т _

Задача 6,4 (для самостоятельного решения). Найти матрицы, обратные следующим:

1	0 0			'	1	0	0	0"
1) В = 2 3		0 ; 2) В =		— 2 1 0 0				0
3	1	4		— 4		5	3	0
					2	1	1 2	,
3)		О	О	О	О
		2	О	О	О
В =		2	3	О	О
		3 —2 4 0 .
		—3 — 2 — I		2	5

ивычисления проверить умножением В на В К

Ответ.

	1)	‘	1	0	0"
			2	1
в - »		=	“' У	У	0
			7	1	I
2)			— 15 ~	15	4
2)		1	О	0
		+ 2	1	0
В~* =		Л		1
В~* =		Л	3	т
			«	1	1
		- 1	4-	1	1
		- 1	4-		2'
3)	“	1	0	0	0	о '
3)		2	0	0	0	о '
		2	I
		1	I	0	0	0
		4	7	0	0	0
		4	7	1
В' 1 =		1	1	1	0	0
В' 1 =		1Г	— Т	3	0	0
		1	13	1	1	0
	”	45	“ 54	У	4	0
	”	45	“ 54	У	4	1
		7	7	0	1	1
		40	55	0	10 '	т _

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 4215 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги