книги / Практические занятия по высшей математике. Численное решение алгебраических и трансцендентных уравнений, матричное исчисление, векторный анализ и интегрирование линейных дифференци

Ах =

X*.

(8,3)

Перепишем

это

уравнение в виде

или

Ах — Кх = О

(А — 1Е)х =

0,

(8,4)

где Е — единичная

матрица,

порядок

которой

равен порядку мат­

рицы А,

а О— нулевой

вектор-столбец,

т. е.

столбец, все элемен­

ты которого

равны нулю.

Без множителя

Е

при X уравнение

(8,4) не имело бы смысла.

х Ф 0,

При

условии,

что

вектор

равенство

(8,4) возможно

только тогда,

когда определитель его левой части равен нулю, т. е.

\А— ХЕ| =

0.

(8,5)

Уравнение (8,5) называется характеристическим уравнением

матрицы

А, а его левая часть А — ХЁ— характеристическим много­

“ 1 0 0 0 . . .

(Г

“ X 0 0 0 . . . 0

0 1 0 0 . . .

0

0 X 0 0 . . . 0

ХЕ= X•

0

0

1

0

. . .

0

0

0

X 0 . . . 0

' Ч•

1

_0 0 0 0 . . . х_

_0 0 0 0 . . .

Поэтому уравнение (8,5) на основании правила вычитания мат­

риц с

учетом

равенства

(8 , 1 ) в

развернутом

виде запишется так:

« п

—

X

«12

«13

. . .

«1/1

«21

#22---

X

«23

• • •

«2л

= 0

(8,6)

«81

«32

«зз —

^ • • •

«ал

- а т

«л2

° п з

• • •

а п п

Уравнение (8,6) и есть характеристическое уравнение (8,5).

Оно называется также

вековым

уравнением

и очень часто

встре­

чается

в теории

колебаний,

теоретической и

строительной

меха­

Д |1 -- ^

01 2

01 3

•

• • •

0 1 л

~Ьи~

"

0 -

в 21

0 2 2

023

•

•

0 2 л

ьи

0

031

0 3 2

0 з з —^

•

•

•

0 з л

Ь 31

=

0

•

•

•

_ « Л1

0 * 2

« 3л

•

•

* а пп

.

_Ь«1_

_

0 _

(а„ — Ху)6и + О12&2/ + амьзI +

*** + а\/Рп1 —Ф

ацЬц +

(Озг— Х() Ьи +

а2ЛЬ31+

• • • +

ВгпЬп1■= 0;

Я зА / +

а з*Ь*1 +

(°зз — Х,)Ь3< +

• • • +

аа„Ьп1 =

0;

(8,8)

а п ] Р и

+

а п 2^21 +

а п3^31

+

• • •

+

( а п п

“

0 .

(»' =

1,

2, 3 , ------- п)

Определитель системы

равен нулю, так

как

из этого условия

были определены собственные значения X, матрицы Л (следовательно,

эти уравнения не

являются независимыми). На

примерах будет

показано,

как

определяются

неизвестные

Ь,< (<,

а »

1,

2,

. . . ,

я).

Таким

образом,

будут

определены все элементы

собственного

вектора Ь,.

Следует иметь в виду, что собственный

вектор

можно опреде­

лить с точностью до постоянного множителя.

Подставляя в (8,8) поочередно Х„ Х2, . . . ,

Хя,

получим я

соб­

ственных

векторов.

вектор.

Вектор

называется

нормированным,

Нормированный

если

сумма

квадратов

его

элементов

(компонент,

координат)

равна

1.

Так,

если

вектор

_

_

Щ

У =

1>3 ;

V -

щ

-*>п-

-О'п-

то их скалярное произведение

УУ =

+

У#0г +

V3Щ +

• - - + ОлШп.

Взаимно-ортогональные

векторы. Два

вектора называются вза­

если ее столбцы попарно ортогональны.

Ортонормированные

матрицы. Матрица

называется ортонорми-

рованной, если

каждый

ее столбец есть

нормированный вектор,

а все столбцы

попарно

ортогональны.

Легко

проверить, что, например,

матрица

-1

1

1 “

7

2

2

1

0

1

7

2

1

I

1

является

~

2

ортогональной.

тии— методом академика

А.

Н. Крылова. Заметим, что метод

Леверье в последнее время

нашел большое применение в связи

с использованием счетных

машин, для которых определение сте­

Л„ =

1.

^ 1 ш Л

' 5^

А =

| И

15 , - Л 05 2);

(8,9)

Ла =

-у (Л251 Л25 2

Лп5а):

л« =

(^з$1 — Л2^2 ■+■^1^3 — Л05«);

векторы матрицы

'5

1

4’

Л =

3

3

2 .

6

2

10

Р е ш е н и е .

Характеристическое уравнение (8,6) имеет

вид

|Л — Х Е |= 0 ,

т. е.

5

—X

1

4

3

3—X

2

= 0.

6

2

10—X

После раскрытия определителя в левой части этого уравнения

получится

( -

1)®Х3 +

(— 1)2Л,Х= +

( - 1 ) Л2Х+ Л, = 0;

(8, 10)

X8 — ЛхХ* +

Л2Х— А3 = 0,

а коэффициенты

Аи

Аг и А„ определятся по формулам (8,9).

Находим степени матрицы А и следы полученных

матриц:

А =

6

2

10

5 , =

5 +

3 +

10 =

18;

'5

1

4’

~Ь

1

41

Г52

16

62ПI

А2 = 3 3

2 . 3 3

2 = 36 16

38 ;

.6

2

.6

2

Ю.1

1.96

32

128]

5 2 =

52 -Ь 16

+

128 =

196;

52

16

62

1

4

680

1

А3= А2А =

36

16

38

3

21 =

[

160

;

96

32

128

2

10

1728]

5 , =

680 +

160

+

1728 =

2568.

Аг =

— ЛА) =

у

( 18 •

1 • 196) =

64;

А3= -д-(ЛА — Л А + Л А ) =

-д-(64 • 18— 18.196 + 2568) = 64

(проверьте, что определитель матрицы А равен

А3= 64). Подстав­

ляем эти значения в уравнение (8,10):

X®— 18Х‘ +

64Х— 64 = 0.

Очевидным корнем этого уравнения является X! =

2. Разделив левую

часть уравнения на X— 2 по схеме Горнера, получаем

1

— 18

64

—64

2

2

—32

64

I

—

32

0

Подчеркнутые

числа — коэффициенты того квадратного

уравнения,

из которого найдем остальные два корня

X®— 16Х +

32 =

0;

X= 8 ±

|/3 2 ;

Х2 = 4 (2 + Уй)\

Х3 = 4(2 - У %

Итак, Х2 = 2;

Х2 = 4(2 +

V 2);

X, = 4(2 — У 2).

|3

1

2 ]’

.

.11

4 .

,

14

31. .

~

13

I

кг.

— {!

2 Л;

= 1 2

3 1 я<‘

13

1

6|] •

—2&

^21 ** 6^1 ^2! =

Первый собственный

вектор

—2

Ьг = к

6

О

Определение второго собственного вектора (* = 2).

Подставляя в

систему (8,11) второе собственное значение матрицы X, = 4 (2 4- У 2),

получаем систему уравнений

(5

8—4 ^ 2)612 +

Ь2г

— 4 У2) 6 2 2

+ 46,,

™ О*

36„

(3 — 8

4~

** 05

или

6612 4- 26„

+ (ю — 8 — 4

1/2) 6, 2 = 0

(— 3 —* 4 ]/"2) 6 „

4“ 6 , 2

4“ ^32

** 0;

•)- (—5 — 4 1 /2) 622

2^2

*» 0;

6 ^ | 2

4" 2Ьц

4- (2

4 К 2 ) 6 „ = 0.

Определитель этой системы также равен нулю. Отбросим третье

уравнение и решим систему уравнений

(— 3 — 4 1 /2 ) 6 „ 4" ^ 2 2

4- 4^32=

0 ;

3612 4- (— 5 —

4 1 /2 ) 6 , 2

4- 26,2 =

0 .

Матрица

коэффициентов записывается так:

Г -3 —41/2

1

4

[

3

- 5 - 4 ] / 2

2

а

неизвестные равны

[/12

I

1

4

62

4

- 3 —4 К 2 к;

1—5—41/2

2

2

3

у32

- 3 - 4 1 / 2

1

А,

—5—41/2

т.

е.

6,2 = (22 4- 161/2)*;

622 =

(18 4 - 8 1 /2 )6;

632 =

(4 4 4 -3 2 ^ 2 )6 .