Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Практические занятия по высшей математике. Численное решение алгебраических и трансцендентных уравнений, матричное исчисление, векторный анализ и интегрирование линейных дифференци

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

15.42 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 4216 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

III. РАЗЛОЖЕНИЕ КВАДРАТНОЙ МАТРИЦЫ НА ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ТРЕУГОЛЬНЫХ

Основные сведения из теории

Многие методы решения системы линейных алгебраических уравнений основаны на представлении квадратной матрицы (не треу гольной) в виде произведения двух треугольных матриц, из кото рых одна нижняя, а другая верхняя. Для любой квадратной мат рицы

	0ц	а\г • **ат
	021	022 **' 02"
	_ 0Л 1	й п2 • • •а п п _
такое представление	является	возможным и единственным при соб
людении следующих	условий:
1) диагональные элементы одной из треугольных матриц от
личны от нуля;
2) главные диагональные миноры отличны от нуля (так назы
ваются миноры определителя		матрицы, у которых на главных диа

гоналях стоят диагональные элементы матрицы).
Такими минорами,		например,			будут:
		О ц	0 1 2 .		0 1 1		0 1 2
		О л	*				0 2 2
		О л	0 2 2		0 2 1		0 2 2	^ 2 3
					031		0 3 2	а 33
а также и сам определитель матрицы							\| А \|.
Рассмотрим такое		представление				на	примере		квадратной мат
рицы четвертого	порядка		(л = 4). Пусть требуется матрицу
			а11		012	013		Д14
		^	021		^22	023		024
			031		032	033		034
			041 042 043 044_
представить как произведение двух треугольных									матриц (нижней
и верхней)	0		0 ■				Г*п Ьц			Ьц~
С11	0	0	0 ■				Г*п Ьц		&13	Ьц~
С2	С22	0	0				0	Ьгг	&23	Ьм
1	С22	0	0	и В =			0
С21		С33	0	и В =			0	0	^33
С21	С4	С33	0				0	0	^33	Ь*4
_^41	С4	С43	см_				0	0	0
_^41	2	С43

« и

012

«13

с и

Г * н

^13

Ьг4-

022

С22

&Х

а п

«33

^24

С21

•

бгз

&23

Ьгх

«31

Ц32

«33

034

С31

^32

Сзз

Ь33

&34

_«41

Ц42

«43

044 _

_ с и

042

^«3

^44

ь « _

(6. 10)

Задача

заключается

в определении элементов Сц(/ >

/) и

Ьа (1 < /).

Таких

неизвестных

элементов у

нас

20,

так

как

л2 4- л =* 16

4 =

20. Это следует из формулы для суммы

членов

арифмети

ческой

прогрессии.

Перемножим матрицы в правой части равенства (6,10) по пра

вилу

умножения матриц и,

пользуясь

равенством

- -

—— »

приравняем элементы матрицы СВ соответствующим элементам матрицы А.

Получим такие равенства:

	0 и & п	~	а 1 и	0 )
	0Ц&12 в		012э	(2)
	0 Ц ^13	■“	а 13>	Р	)
	0Ц&14 *“ ^14»			(^)
	021^11 ~		Д21»	(®)
021^12 4 “ 022^22 *			022*	(®)
021^13 4“ 022^23 “			023»	(^)
021^14 +	022^24 — 024» \|			^	^0
	031^11 =		^31?	^
031^12 4	032^22	в	а 3 2*	(
031^13 4 “ ^32^23 4 “ 033^33		в	033*	^	^
031^14 4 е ^32^24 4 “ 033^34 =			Д34^
	С41&Ц = Ц 4Ь			( 13)
041&12 4" ^42^22 2=5 042»*				^
^41^13 4" ^42^23 4 “ ^43^83 ** С4з!
041^14 4 “ 042^24 + 043^34 4 " ^44^44 =			044^ .

Мы получили 16 уравнений для определения 20 неизвестных. Поэтому четырем неизвестным можно приписать любые значения, причем для этого имеется бесконечное множество возможностей.

Пользуясь произвольностью выбора значений четырех неизвест ных, положим, что каждый из четырех диагональных элементов в первой матрице правой части (6, 10) равен единице:.

си * 1» ^22 * 1» 0зз ™ 1» ^44 ~ 1*

Тогда первые четыре			уравнения				в (6,11) позволят определить
неизвестные элементы Ьп , Ь12, Ьи , Ьи, н окажется, что
^11 ш		^12 =		^ 12,				^14 “		(6, 12)
Из уравнений	(5),	(9)	и (13) с			учетом,		что	Ьи — ал, получаем:
« ■ - Й !				= ■ % :			* «	- Й	-	,6Л З»
Зная, что с22 = 1 ,		из уравнений (6), (7) и (8) находим
Ь22— 022---^21^12 — <*22—								^262,
							а			(6.14)
баз * в23-—		С 2 1 ^ 1 3 “		0 2з — 5] С 2>Р,23>						(6.14)
						*=1
!>2« — о24— с2хЬц — а22— ^								С2)Рк*-
							*»х
Здесь символ	суммирования				\	, собственно, ничего нового не
					2 - 1
дает. Мы его ввели для			последующих обобщений — см. формулы
(6,19) и (6,20).
З а м е ч а н и е . Как покажут					дальнейшие				вычисления,	сумми
рование производится		по	индексу			к,	который		изменяется	от 1 до
1 — 1, где I — первый		индекс		у	определяемого элемента.					В дан
ном случае у определяемых				элементов Ь22, Ь2з и Ь24 первый индекс
I = 2.							с32 и с42:
Из уравнений	(10)	н (14)		находим			с32 и с42:
„	_ °32 — СЭ1^12
С3 2	------------	Г----------
		° 2 2								(6,15)
										(6,15)
	_ °«2 — <41^12
с42 =
В символе	индекс		суммирования к					изменяется от		1 до 1,

*- 1

т.е. фактически принимает только одно значение, равное 1, при

чем	1,	стоящая сверху,	есть 2 — 1 , т. е.	/ — 1 ,	где	/ — второй
индекс		у определяемых	элементов с22 и с42.	Как уже		было заме
чено	выше, введение такого символа в этом			месте	ничего нового

не дает, но необходимо для ссылок при последующем обобщении этих формул.

Из	уравнений ( 1 1 ) и (12) определим				элементы Ь3<и		Ьэз	(учи*
тывая,	что	сзэ =		1):
					2
	^ 3 3	=	О 3 3	^31 ^1 3 ^ 32^23 * “ Одз ™	^	^ЗцЬ^З!		(6,16)
					а			(6,16)
					а	с9кск4;
	Ьы = а3з — с91Ь14 — о9гЬц = аы— V					с9кск4;
					А
						к в символе	а
В этих формулах индекс суммирования						к в символе	1]	изме*
							А - 1
няется	от	1	до 2, а стоящее сверху этого символа число 2 =					3 — 1,
т. е. * — 1,			где * — первый индекс у определяемых элементов Ь33
и Ьм.
Теперь из уравнения (15) найдем

_а«з —С ц Ь и

— С43О3 3 _ °4»

*■!

С&Ьк(

(6,17)

ь43

В символе

индекс суммирования

изменяется от

1 до

причем число

* - 1

/ — второй индекс

2, стоящее сверху, есть / — 1 , где

у определяемого элемента си .

учитывая,

что с44 = 1, получаем

Наконец, из

уравнения (16),

^44 =

0 *4

С* 1 & и

43^24

43^34

*44 ---------

. ^

° * к ^ к * ’

( 6 ,

1 8 )

- 1

Обратим опять внимание

на

то,

что

в символе

индекс

сумми-

ровання к изменяется от 1 до 3,

4—1

причем число 3, стоящее сверху,

есть 4 — 1, т. е. <— 1,

где ( — первый

индекс

определяемого

элемента

Ь44.

Ьц и Сц

Заметим, что определение

элементов

чередуется:

по

формулам

(6,12)

определяются

элементы

Ьц(/=. 1,

2, 3, 4) затем

по формулам

(6,13) — элементы

оа

(( — 2, 3, 4). После этого опять

определяются элементы Ьц(/ =

4) по формулам (6,14), а вслед

за этим по формулам (6,15) — элементы сп (( =

3, 4), потом — опять

элементы

&э/(/ =

3, 4) по формулам (6,16),

за

ними — элементы

с43 по формуле (6,17) и,

наконец, определяется элемент Ьи по фор

муле (6,18).

Если объединить формулы (6,14), (6,16) и (6,18) в одну, то

окажется,

что

Ьц =

0(1 —- 2

^1кЬк1 *‘ (1 ^

(6,19)

Л—1

(»

2, 3,

( =

4),

а объединение формул (6,15) и (6,17) дает

	/ -1
сц	О//— 2а с<кЬк1
сц	--------- ^ ------	; (I > [)	(6,20)

(( = г"4\ / = 2, 3).

Формулы (6,19) и (6,20) остаются верными для представле ния квадратных матриц любого порядка п в виде произведения двух треугольных матриц.

Легко показать схематически последовательность, в которой определяются элементы Ь{/ и с#: сначала заполняются строки, а по том— столбцы (см. табл. 1)

___________________ Т а б л и ц а !

«П	«12	«13	«14'	'!	0	0	0“	Г*п	Ьп	^13	^14
«21	«22	«28	«24	С21	1	0	0	0	Ъ%2		Ь&4
«31	«32	«83	«34	«31	«82	1	0	0	0	^33	Ь&4
-««1	«42	«43	«44-	-«41	«42	«43	1.	.0	0	0	ьи

Ьц	Ь1г	6ц	6и	— первый шаг
«21	Ь%2	&2Э	&24	—второй шаг
«31	«32 1	Ъъ8	Ьи	—третий шаг
«41	1	С43 \ \|	644	— четвертый шаг
«41	«42	С43 \ \|	644	— четвертый шаг
			1—1
		*//= «,/- . 2		« « V	(/<Л
			/—1
				«'***/
		СЧ -	ьи	:	<'>'■>

Представление квадратной матрицы в виде произведения ниж ней н верхней треугольных матриц производится так: для удобства вычислений записывается данная матрица Л а под ней — матрицы С и В, как указано в табл. 2, на стр. 156, причем вместо диаго нальных элементов матрицы С вписываются единицы.

Первая строка матрицы В н первый столбец матрицы С за полняются так, как указано в табл. 2 :

1. На основании формул (6,12) в первую строку вписываются соответствующие элементы матрицы А, а элементы первого столбца матрицы С равны соответствующим элементам первого столбца матрицы А, разделенным на его первый элемент— формулы (6,13).

2. Элементы, стоящие над ступенчатой линией, находятся по формуле (6,19) так: берется соответствующий элемент матрицы А и из него вычитаются произведения элементов, стоящих в той же строке левее н в том же столбце выше, что и вычисляемый эле мент, причем первый элемент строки умножается на первый элемент столбца, второй элемент строки — на второй элемент столбца и т. д.

«и	« 1 2	«13	«14
«21	«22	«28	«24
«31		«38	«34
«41	«4*	«43	«44

«11= 1		^11 “ «11	Ь12* «12		=■а 19		^14 — «14
	г — °и		«22 = I	ь%2	^23		Ь хх
	си-?1		«32	«88= 1		&83	Ь и
		“и
	«41 “ .			«42	«43		«44 “ *	Ь х х
		и11
3.	При вычислении же			элементов,	расположенных под ступен
чатой линией, поступают так же, как в					п. 2 , но полученный ре
зультат	делят на диагональный элемент Ьц(/ = 2, 3), стоящий в том
же столбце		(формула	(6,20), что и определяемый элемент. При вы
числениях с помощью арифмометра или настольных клавишных
машин никаких записей вне таблицы производить не придется.
Этот алгоритм вычисления				элементов	двух	треугольных		мат

риц— нижней и верхней, на которые разлагается матрица А, легко распространяется на квадратные матрицы любого порядка, что будет показано на ряде примеров, помещенных ниже.

Задача 6,5.
Матрицу	2	3	41
	2	3	41
А =	2	4	—3
А =	4	5	—2
	4	5	—2
	3	2	и

представить в виде произведения нижней и верхней треугольных матриц.

Р е ш е н и е . Используем только что указанный порядок дейст вий и расположим действия, как в табл. 2, причем приведем подробно все выкладки в каждой клетке и будем придерживаться порядка заполнения клеток, указанного в табл. I:

1	2	3	4
		3
—1	2	4	- 3
2	4	5	—2
4	3	2	1

1	1			2		3			4
		1	2—(—1) *		4 — (—1) -3 = 7				—3 — (—I) . 4 = 1
				Х2=4
		4 -	2 *2 = 0		1	5 -2 -3 —0 х			—2—2-4 — 0.1 = —10
		4 -	2 *2 = 0		1	X 7		= - !	—2—2-4 — 0.1 = —10
			4			X 7		= - !
	т - <	3 - 4 - 2		5 2 - 4 - 3 —		4 ) - .			1
	т - <	4		4	—1			4	< * - 4
					—1			4	< * - 4
	Итак,	нижняя		треугольная матрица
				~	I	0	0	<Г
				С =	— 1	1	0	0
				С =	2	0	1	0
					4	5	5	1
					4	4	4	1
						4	4
а верхняя		треугольная матрица
				“ I	2	3		4“
				0	4	7		1
				0	0	— 1	— 10
				0	0	0	“	5
				0	0	0	“	Т
	Легко	проверить, что			СВ	А.
					СВ	А.

Сделайте это.

2	—3	4	5	—1
1	3	—2	2	4
5	2	—1	3	2
—4	2	0	—5	0
3	—1	1	2	4
1 2	—3	4	5	—1

1	3 - 4 - ( - 3 ) -				2—
1	1	9	_ 2 _ \| . 4 = - 4							4 - 4 < - 1 ) = \|
7	1	9	_ 2 _ \| . 4 = - 4							4 - 4 < - 1 ) = \|
	~ 7
5	2_ 4 . (_ з , в		—	1 —	3 — 7 ' ° ~ 7				Х	2 - \| - - < - 1 ) —
5			1		3 — 7 ' ° ~ 7				Х
7	9	7	1			/	1 \		76	19		9	,
7	9	7		23		/	1 \		76	19		9	,
	7			23	х ( “		7 / = - 7			“ 7	7	------5
	7		“	9	х ( “		7 / = - 7			“ 7	7	------5
			“	9
						—5 — (—2)х							1
	2—(—2)*(—3)		0 — (—2) • 4 —			х	Ц _ \| ) .			0 — (—2) • (—1)—
										0 — (—2) • (—1)—

—2	9		- ( - 4 4		1	* ( - 4 ) - - ( - т ) - ( т ) -
—2	7			23	1
		8		7								154
	------9			40								154
			~~	23		х	( - ? )		-	------7 Г
								233
							*	23
	—1 —	3)	! 2 4— §"( 4)		( 4		4	*			7	9	,7 *
3	9			23	* ( - 4 4 *					1	9	2	23Л
2	2	7		9						х(- 5>-(Л )х
		7		17	* ( - ? ) ! ■					х(- 5>-(Л )х
	*	9	= 23		* ( - ? ) ! ■				26	/	154\		1153
	*	9	= 23		/	233\			26	/	154\		1153
						237”		ЙЗ		Х\		23 )~ ~ Ш

Решение было проведено в простых, а не десятичных дробях, как это обыкновенно делается на практике, для облегчения после дующей проверки.

Проведем вторично подробное решение еще одной аналогичной

задачи для матрицы пятого порядка.
Задача 6,6.
Матрицу		—3	4		5	— Г
“	2	—3	4		5	— Г
А =	1	3	- 2		2	4
А =	5	2	— 1		3	2
	—4	2	0	- 5		0
	3	— 1	1		2	4_
представить в виде произведения нижней					и	верхней треугольных
матриц.		так	же,	как	н в	предыдущей задаче:
Р е ш е н и е . Поступаем		так	же,	как	н в	предыдущей задаче:

искомые матрицы подпишем под матрицей А, неизвестные эле

менты определяем	в порядке, указанном в	табл. 1, а их число
вые значения — по	приведенному алгоритму	(см. пояснения, дан
ные к табл. 2). Решение проведено на стр.		158.

Таким образом, данная матрица равна произведению двух тре

угольных	матриц:
" 1		0	0	0 0 "		" 2 —3		4 5			— 1 “
1	•	1	0	0 0		0	9	—4		1	9
Т	•	1	0	0 0		0	Т	—4		~ т	т
5		19						23		76
т		9	1	0	0	0	0	9			—5
—2		8	40	1 0		0	0	0		233	154
—2		9 “ Й		1 0		0	0	0		“ Ж “ 23-
3		7	17	26	1	0	0	0		0	1153
_ 2		9	53	ЙЗ	1	0	0	0		0	233 _
Задача		6,7	(для самостоятельного решения).							Представить ма
трицы		'2	3	— 1	4"		1	2	0	4"
		'2	3	— 1	4"		1	2	0	4"
		5 2 . . —2 3					5 — 1 2			3
		4	5	—7 4	;	—4		0	5	2
		4	5	—7 4		—4		0	5	2
		1 2		3	4	—4		1	3	— 2
				Г4	'0	3	—2	3“
					—2	3	4 — 2
					— 1	О	—7	2
					- 5	2	3	— 1
					3	—2	1	4

в виде произведения нижней и верхней треугольных матриц» По лученные ответы проверить умножением.

О т в е т .

1		0			0		0' "2 —3									— 1		4
2 ,Г>		1			0		0				0	—5				0,5		—7
2	0,1818				1		0				0		0	-5,0909			—2,7274
_0,5	—0,0909			—0,6964				1 _		_0			0			0	—0,5357_
1		0			0		0 "			" 1			2			0		4 "
5		1			0		0	•			0 — 11					2		— 17
- 4	—0,7272				1		0	•			0		0			6,4544		5,6376
- 4	—0,7272				1		0				0		0			6,4544		5,6376
4	—0,8182			0,7183			1				0		0			0	—3,9589_
	" 1				0			0					0			0"
		0.5			1			0					0			0
	3)	1,25			0.5			1					0			0	X
		1.0			2.5		0,8182					—	1			0
	_0.5				- 1 ,5		0,4545			1		—				1
	_0.5			0	- 1 ,5		0,4545					-7,1542				1
	~4			0			4				—2					3
		0	- -2				1					5		- 3 ,5
	X	0		0		- •5,5					—7					0	•
		0		0			0			1,7726				-4,7500
		0		0			0					0			31,2324.
Задача 6,8. При определении неизвестных																элементов сц и Ьц
мы приняли,		что		си =		1	(» = 1,			2,		3,	4).	Показать,				что если
взять Ьи— 1		(» =	1,		2,	3,	4),	то	неизвестные							элементы		Ь// и сц
матриц,	стоящих		в		правой части						формулы				(6,10),		определятся
по следующим формулам:
				Ьц “=Ьг2 =				{>зз “			{>44 =”■ 1
		С11 ™ ° 11* С21 “						0*1» ^31 = °31,						• ••
			и		_а1».		и	__°Н.				/,	_в1«.
			°п		—		013 ——,					014	= —,
					“ 11		1—1	в11					аП
							1—1											(6,21)
						— ^ ^ с/кЬ/ц												(6,21)
		Ьц — -------;г-------- ,									если		I <		/	'
							С//\|									'
							/-»
		<*/ = оц — Е						с,{>/, если { >							/
							ля1

ко

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 4216 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги