книги / Практические занятия по высшей математике. Численное решение алгебраических и трансцендентных уравнений, матричное исчисление, векторный анализ и интегрирование линейных дифференци

и находим второе приближение

ха в 0,5520.

Делим левую часть уравнения на х — 0,5520:

Остаток от деления —0,3478 по сравнению с предыдущим —0,7982 уменьшился по абсолютной величине, но все еще оста­ ется большим, поэтому для ускорения сходимости применим форфулу (1,20), в которой ха = 0,5520, хх — 0,4254, гх= —0,7982, г2= —0,3478, и найдем третье приближение первого корня

—0.2926, —0.4504' х3 = 0,6496.

Поступая, как и раньше, найдем следующее приближение:

*, = 0,7238.

Делим теперь левую часть уравнения на х — 0,7238:

Следующее приближение находим тем же путем:

Остаток от деления оказался очень малым, а потому на этом приближении можно остановиться.

Корень0,7260 отличается от значения 0,7263, найденного раньше, только на 0,0003 (несмотря на то, что для улучшения сходимости была использована формула (1,20), изменение корня происходило

медленно, хотя применение этой формулы и ускорило сходи­ мость).

Задача 2,4. Решить уравнение

/(*) = *<— 10х3 + 48,1бх3 + 108,08х + 70,76 = 0.

Р е ш е н и е (рекомендуется сначала прочесть на стр. 16 «Опре­ деление комплексных корней алгебраических уравнений»). Прежде всего замечаем, что последние три члена соответствуют квадрат­ ному уравнению с комплексными корнями. В качестве первого приближения выделяемого из /(х) трехчлена берем трехчлен

48,16х2 + 108,08х-Ь70,76

и делением его на коэффициент при х2 получаем трехчлен

который принимаем за первое приближение выделяемого трех­ члена.

Делим левую часть уравнения на трехчлен (А) по схеме деле­ ния, указанной на стр. 18, до получения в остатке квадратного трехчлена, который уже не делится на делитель (А).

Коэффициенты остатка от деления подчеркнуты, з остаток от деления будет равен

68,07** + 120,45л: + 70,76.

Деление на коэффициент при х5 приводит к трехчлену

который незначительно отличается от трехчлена (С). Процесс очень быстро сходился и можно было ограничиться только тремя деле­ ниями. Приравнивая трехчлен (Б) нулю, решим квадратное урав­ нение

* * + 1,77* + 1,03 = 0;

Х1Л = —0,88 ± У 0,77 — 1,03;

•*|.2 = —0,88 ± У —0,26

и окончательно

Х|,2 = —0,88 ± 0,51/.

Для определения остальных двух корней надо разделить левую часть данного уравнения на трехчлен (И). Коэффициенты част­ ного уже известны из последней таблицы. Это 1; — 11,78 и 68,07. Таким образом, частное равно х*— 11,78* + 68,07. Приравниваем его нулю и решаем квадратное уравнение

**— 11,78*+ 68,07 = 0;

Хз.4 = 5,89 ± ]/34,69 — 68,07; хз.4 = 5,89 ± V -33,38;

*за = 5,89 ± 5,78/.

Итак, корнями являются числа *|,2 = —0,88 ± 0,51/, * 3,4 =

=5,89 ± 5,78/.

Пр о в е р к а .

*1 + *з + *э + *4 == 10,02 вместо 10; XI • хг • *3 • *4 = 70,14 вместо 70,76.

Коэффициенты остатка подчеркнуты, а сам остаток равен

27,33** + 53,33* + 54.

После деления на коэффициент при ** он принимает вид

По сравнению с трехчленом (С) мы получили незначительные изменения коэффициентов. Останавливаемся на этом приближении.

Приравниваем трехчлен (Б) нулю и решаем квадратное урав­ нение

*э.4 = 2,445 ± 4,620/.

П р о в е р к а .

*1 + *а + *з + х 4 = 2,94 вместо 3; *1 • *г • *з * *4 = 54,1 вместо 54.

При той небольшой точности, с которой велся расчет, результаты можно считать довольно хорошими.

Задача 2,6. Решить уравнение

Выделяем трехчлен вида (1,21) для определения комплексных корней с наименьшим модулем. Таким трехчленом будет 274,3** + + 132,8*+ 231, который после деления на коэффициент при ** запишется так: ** + 0,484* + 0,842.

1-й шаг. Расположим сначала делимое и делитель по убываю­ щим степеням буквы * и проведем деление по схеме деления многочлена на квадратный трехчлен:

бодный член 261,9 и получим, располагая трехчлен по возрастаю­ щим степеням буквы х,

1 + 0,09* + 0,004**. (А)

2-й шаг. Расположив левую часть данного уравнения по возра­ стающим степеням буквы *, найдем

Разделим теперь многочлен (В) на трехчлен (А). Деление выпол­ няем по той же схеме:

Таким образом, частное равно 231+112,01*+ 263,30**. Разде­ лим этот трехчлен на коэффициент при ** и получим

** + 0,425* + 0,877.

Повторим деление сначала так, как указано в 1-м шаге, а потом, как указано во 2-м шаге. Выполняем его по той же схеме на одной таблице:

Задача 2,8 (для самостоятельного решения). Решить уравне­ ние х* + 2*2 — 6* + 2 *= 0, применяя способ линейной интерпо­ ляции, а потом тот же способ в модифицированном виде. Точ­ ность 0,00001.