книги / Практические занятия по высшей математике. Численное решение алгебраических и трансцендентных уравнений, матричное исчисление, векторный анализ и интегрирование линейных дифференци

1

- 5

4

0.092

/ А \

3.992

3.992

—

4,024

— 0.095

1

— 1.008

—

0,024

— 0.003 = /(3.992)

1

- 5

4

0,092

3.993

3.993

— 4,021

— 0.083

1

-1 ,0 0 7

— 0.021

0.009 = /(3.993)

От деления

получился положительный остаток г = 0,009. Зна­

чит, / (3,993) > 0, а / (3,992) <

0. Отсюда заключаем,

что значение

искомого корня

уравнения промежуточное — между

3,992 и 3,993.

Ограничиваясь тремя знаками, принимаем х = 3,992.

Считая, что х находится на отрезке (3,992;

3,993), мы допускаем

погрешность, меньшую 0,001.

В схеме (Л) уже имеются

коэффициенты

частного от деления

{(х) на х — 3,992. Эти коэффициенты равны

1; — 1,008 и —0,024,

а само частное

равно хг — 1,008х— 0,024. Приравнивая его нулю

и решая квадратное уравнение

х = 0.504 ± /0 ,2 5 4 +

0,024;

х -

0,504 ± /б ^ 7 8 |

[

1.031;

х = 0,504 ± 0,527 =

1—0,023.

Итак, корни уравнения

равны

П р о в е р к а .

х1+ х2•+■ х3— —0,023 + 1,031 + 3,992 =

5,

как

и должно быть на основании

формулы (1,28), так как у нас

— ^ = 5

(а# « 1 ; а2=

— 5).

На основании формулы (1,29)

* 1 * 2 * з = ( - П л^

п — 3; ап = 0,092

и должно

получиться,

что хх• хг • х3=* —0,092.

Фактически же

мы получаем

х, ■х2 • х3=* —0,096, что

следует

признать достаточно хорошим

приближением. Мы получили

х2*

= 1,031. Точным

значением

корня является х2«■ 1,03.

Значение наименьшего по абсолютной величине корня х =

— 0,023

можно было бы найти сразу,

решив уравнение вида (1,11)

Отсюда х =

Ах + 0,092 =

0.

— 0,023.

Проверим

этот .корень

делением

левой

части уравнения на

х + 0,023:

1

—5

4

0.092

—0,023

—0,023

+0.116

—0,094

1

—5.023

4,116

—0.002 = /(-0.023)

(остаток

от деления)

Поскольку

остаток от деления мал,

заключаем, что это хоро­

шее приближение.

Задача 1,2.

Найти с

точностью до 0,001 корни

уравнения

/(*) =

* » _ 4** — 7

х +

13 = 0.

Р е ш е н и е .

По правилу Декарта

заключаем, что положитель­

Отсюда

х = 2

х = 2 ± УТГ = ( +5,317

__

1-1.317,

так как

У \ 1 = 3,317.

Поскольку

нас

интересует больший по абсолютной величине

корень,

берем

дс — 5,317

и будем

считать

5,317 первым

прибли­

женным

значением

корня. Теперь

определим отрезок,

на

котором

находится корень,

т. е.

отделим

корень.

Разделив

по схеме Гор­

нера левую

часть

данного уравнения на х — 5,317,

получим

1

—4

—7

13

5,317

5.317

7.002

0.011

1

1.317

0.002

13,011 =/(5.317)

/ллт^ Л!/

пдпдиио\

(остаток

от деления)

Остаток

от

деления

13,011 и есть значение левой

части урад*

нения при х — 5,317. Возьмем теперь значение меньшее,

чем 5,317,

например,

х = 5,

и

для

определения

/ (5)

разделим

левую

часть

уравнения

на х — 5.

Пользуясь схемой

Горнера,

получим

1

1

—4

—7

13

1

5

5

5

—10

1

1

—2

3 =

/ (5)

(остаток от деления)

Теперь остаток

от деления равен

3 и /(5) = 3. Возьмем значе­

ние меньшее,

чем

5,

например х = 4,8, и разделим / (х)

на х — 4,8;

I

I

—4

—7

13

4.8

4.8

3.84

—15,168

I

1

0.8

—3,16

—2.168 = /(4.8)

(остаток от деления

Остаток

от деления

равен —2,168.

Остаток

поменял

знак.

Зна­

чение левой

части

уравнения

при х =

4,8 будет

/(4,8) = —2,168.

Поскольку

/

( 5 =)

3 > 0 ,

а

/(4,8) =

—2 ,1 6 8 < 0 ,

т.

е.

значения

маем за первое

приближение корня хх=

4,8. У нас х( =

5 ; хх=

= 4,8;

/ (*,) — 3;

/ (хх) = —2,168, и мы

получаем второе

прибли­

жение

корня по

формуле (1,4)

или, подставляя числа,

будем иметь

х*~

4,8 — (—2, 168) • _ 2 (68.1 з •

Значение дроби

4 ,8 - 5

-0 ,2

ЛЛОА

(А)

—2,168 — 3 ~

—5.168 —

и х , * 4,8 + (2,168) • (+0,039) =

4,8 +

0,084 =

4,884.

Итак, второе

приближение корня х2= 4,884.

х =

Вычислим теперь

значение левой

части нашего уравнения при

4,884.

Вычисление производим по способу Горнера, путем деле­

ния

левой

части уравнения

на

х — 4,884:

I

- 4

- 7

13

4,884

4.884

4.317

—13.104

I

0.884

—2.863

—0.104 =

/(4,884)

(остаток от деления)

Остаток

от деления г »

—0,104, а потому значение левой части

уравнения

при х = 4,884 будет / (4,884) =

—0,104. Теперь отрезок,

на

котором

находится

корень,

сузился.

Этот

отрезок

(4,884; 5(,

и мы имеем / (4,884) =

—0,104 < 0 , а

/ (5) = 3 > 0.

Тем

же спосо­

бом найдем и третье

приближение по формуле (1,4)

* • “

**

^(Хг) / ( 3 - / Л ) *

Здесь у

нас х» =

4,884;

по-прежнему

х, =■ 5;

/ (х2) = ! (4,884) = -0 .104;

/ (х,) =

/(5) =

3.

4.884 — 5

-0.116

0,037

(В)

—0.104 — 3

—3.104

1

—4

—7

13

4.888

4.888

4.340

—13.002

(С)

1

0.888

—2.660

—0.002= /(4.888)

(остаток от деления)

Теперь остаток от деления изменился с —0,104 в предыдущем

делении до —0,002,

и значение левой части данного уравнения при

х = 4,888

будет / (4,888) =

— 0,002.

Так как остаток

от деления

мал, испытаем значение на 0,001

большее,

чем третье приближение, т. е. х =

4,889. Если окажется,

что левая

часть уравнения

при

х = 4,889

будет положительной,

то искомый корень

лежит

на отрезке (4,888; 4,889]. Выполняем

деление левой части уравнения

на х — 4,889:

!

1

- 4

- 7

13

4.889

4.889

4.346

—12.975

I

I

0.889

—2.654

0.025=/(4.889)

Мы получили / (4,889) = 0,025 >

0, а так как / (4,888) = —0,002 <

0,

4,889], и мы достигли требуемой точности, так как

длина этого

отрезка равна 0,001. Принимаем х = 4,888.

Вычисления можно было бы сократить, если бы

при опреде­

лении третьего приближения вместо значения дроби

(В), равного

0,037, мы взяли значение дроби (А), равное 0,039,

которое уже

было вычислено при определении второго приближения (см. заме­

X 0,039,

т. е. х3 = 4,884 — (—0,104) • 0,039 = 4,884 + 0,004; хэ =

=

4,888,

как и прежде, но вычислительная работа сократилась бы

значительно.

Теперь покажем, как тот же корень можно определить по спо­

собу касательных (способ № 1 Ньютона).

Было

установлено, что корень

находится

на отрезке (4,8; 5].

У

нас

[ (х) = х8 — 4х® — 7х + 13.

Значит,

/' (х) =» Зх* — 8х — 7,

значение того

конца отрезка, заключающего

корень,

на

котором

знак

функции

такой

же,

как и знак ее второй

производной. Вто­

рая

производная

/" (х)

положительна

на всем

отрезке

(4,8; 5],

а

функция

/(х)

положительна на правом

конце этого

отрезка

(/ (5) > 0 ),

и за

первое

приближение

корня

следует

взять х = 5.

По формуле (1,3)

У

нас х, =

5: уже

было

найдено, что

-

/ (хх) =

/ (5) =

3, а /' (хх) =

=

/'(5 ) =

3 • 5* — 8

• 5 — 7 = 75 — 40

7 = 28;

/ ' (х^ = 28 (ввиду

простоты

вычислений схемой Горнера

мы не пользовались).

1

—7

13

4.893

4.893

+4.369

—12.873

1

0,893

—2.631

0.127 = /(4.893)

____ (_1

- 8

—7

4.893

14,679

+ 32.680

М

+6.679

+ 25.680 = / ' (4.893)

= Хг

7(*а) .

Г 1*1) ’

= 4,893 -

= 4,893 — 0,005 = 4,888.

Приводим

вычисления дробей

и р щ -

В

первом случае

=

0,00494.

Во

втором

случае -р— =

=

0,00454.

Из таблицы

(С) видно, что частное от деления левой

части урав-

нения На * — 4,888

имеет

коэффициенты 1; 0,888 и —2,660 (в таб­

лице

(С) они

подчеркнуты). Поэтому искомое

частное

будет равно

г 1+

0,888*— 2,660.

Приравниваем его нулю

и решаем

квадратное

уравнение

хг +

0,888*— 2,660 - 0;

* =

—0,444 ± КО, 197 +

2,660;

* = —0,444 ± К ^857;

-------- 0,444 ±

1.690 _

*1 =

—2,134

и *2 = 1,246.

*1-М 2 + * » - 4 ,

что и должно быть в соответствии с формулой (1,28),

так

как у нас

С1

— —4;

а0— 1.

Вычислив

затем

произведение

корней,

получим

*] • *2 • *3 =

=

— 12,997 вместо — 13, что также следует

признать

хорошим

результатом — см. формулу (1,29): п = 3;

ап =

13; о0 =

1.

Это же уравнение

{ (х) = *» — 4*2 — 7* +

13 = 0

решим по способу №

4.

1.

Составляем

квадратное уравнение

вида (1,10). У нас а„ _ ,=

=

—4;

=

—7; ап = 13, и это

уравнение

запишется так:

1

—4

—7

13

1.857

1,857

—3.980

1

—2,143

—10.980

13

Ьп-г

Составляем уравнение

вида

(1,13),.в котором

йп_, = — 10,980

и по-прежнему

ап =

13.

Получаем — 10,980* +

13 = 0,

откуда

вторым приближением

искомого

корня

будет

* =

1,184.

Делим

теперь левую часть уравнения на

* — 1,184, пользуясь опять-таки

схемой

Горнера:

1

—4

—7

13

1.184

1.184

—3,334

1

—2,816

—10,334

13

<71-1

Составляем

теперь

уравнение

вида

(1,16),

в

котором

будет

с„_, =

— 10,334

и по-прежнему

ап = 13.

Получаем

— 10,334* +

+ 13 =

0; * =

1,257. Это и будет третьим приближением корня.

Делим теперь левую часть уравнения

на * — 1,257;

1

—4

—7

13

1.257

1.257

—3.448

1

—2.743

—10.448

13

^л-1

1

—4

—7

13

1.244

1.244

—3.428

1

-2.756

—10,428

*П-1

На следующем шаге мы найдем —

то же значение х (проверьте!),

а потом на найденном значении и

остановимся. Этот же корень

Задача

13.

Найти

корни уравнения / (дс) = я*— 10х* + 44х 4-

+ 29 = 0 с

точностью

до 0,0001.

Р е ш е н и е .

Используя правило Декарта, заключаем, что урав­

число сохранений знака

равно единице (у

двух

последних коэф­

фициентов).

Желая определить приближенное значение наименьшего по

абсолютной величине корня,

решим,

согласно способу № 3, уравне­

ние (1,8).

У нас

ая_, =

44;

ая =

29

и уравнение

(1,8)

запишется

в виде

44х +

29 = 0,

х =

—0,66.

Теперь

определим

интервал,

в

котором

находится

искомый

корень. Разделим

левую

часть

уравнения

на

х 4- 0,66

и опреде­

лим остаток от деления:

1

—10

44

29

-0 ,6 6

-0 .6 6

7.04

—33.69

Г

ч

I

—10.66

51.04

—4.69= / (—0.66)

(остаток от деления)

х =

Отсюда заключаем,

что

значение левой части уравнения при

—0,66

будет

равно —4,69, т. е. / (—0,66) = —4,69.

Возьмем х = —0,56

и вычислим значение / (—0,56). Делим / (х)

на

дг + 0,56, снова

применяя

схему

Горнера:

1

—10

44

29

—0.56

—0.56

5.91

—27.95

|

1

—10.56

49.91

1.05 = /( —0,56)

(остаток от деления)