Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Практические занятия по высшей математике. Численное решение алгебраических и трансцендентных уравнений, матричное исчисление, векторный анализ и интегрирование линейных дифференци

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

15.42 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 4210 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Матрицу А можно представить в виде матрицы, элементами кото рой являются матрицы А/.

3. О пределитель матрицы . Ранг м атрицы

Определителем квадратной матрицы называется определитель,

составленный из элементов матрицы, расположенных так же,	как
и в матрице. Определитель матрицы А обозначается символом	\| А \|
или й(А).

Если определитель \А\ матрицы не равен нулю, то матрица на зывается неособенной (иначе, невырожденной). Если же определитель | А | матрицы равен нулю, то матрица называется особенной (иначе, вырожденной или сингулярной).

Ранг матрицы. В прямоугольной матрице можно вычеркнуть несколько строк и несколько столбцов так, чтобы элементы, кото рые остались невычеркнутыми, образовали квадратную матрицу

порядка к. Определитель такой		матрицы называется минором дан
ной	матрицы. Если, например	(стр. 92) взять матрицу размером
3 х	4, то вычеркиванием одного	какого-либо столбца можно полу

чить четыре квадратных матрицы третьего порядка, вычеркиванием двух столбцов и одной строки можно получить 18 матриц второго порядка, а вычеркиванием трех столбцов и двух строк можно полу чить 12 матриц первого порядка.

Число матриц порядка к (к < пип (5, г)), которое можно получить из матрицы размером в х г, подсчитывается по формуле

п = С)- С*,

где С* и Скг есть соответственно число сочетаний из 5 элементов по к в каждом и из г элементов по & в каждом, причем число сочетаний из л элементов по т вычисляется по формуле

			= т ! (п — т )!			^
Поскольку в указанной			выше матрице 5 = 3,				г =		4,	число мино
ров порядка к =	3
п _		• 04 — 3\| (3 _ 3), •				з \|(4 —3)\|		_ '
п —									"*
(надо учесть, что принимается 0 ! = 1 ).
Число миноров порядка к = 2
„ _ г % г * ______31_________ 41							3 - 6 =			18.
п — Сз •		— 2) (3_		2), •	21(4 — 2)1
Число миноров порядка			к =	1		4!
гЛ	гЛ	—	31	!)\|			3 - 4 =			12.
п —с 3	•		ц (3_		II (4 — 1)1

Рассмотрим			определители		всех	таких	квадратных матриц.
Наибольший порядок г минора матрицы,							не равного нулю, на-
зывается		рангом матрицы. Так, если				в матрице размером 3 x 4
определители всех матриц третьего порядка							равны нулю, а		хотя
бы один		из определителей матриц второго порядка						в этой	таб
лице	не	равен	нулю, то	ранг	заданной матрицы г			равен	двум
(г =	2).
Таким		образом, чтобы		определить		ранг	матрицы,	надо из ее

элементов составить всевозможные квадратные матрицы вычерки ванием строк и столбцов и найти определители этих матриц. Ранг заданной матрицы равен наивысшему порядку того из этих опре делителей, который не равен нулю.

Ранг нулевой матрицы равен нулю. Ранг диагональной квадратной

матрицы равен ее порядку, конечно,					при условии, что ни один
из ее диагональных элементов не равен нулю.
Заданная матрица	° 1Х
А =		а 12		а 13	а и
	1	а	22	Пи	а.д .
	а%
	■а 31	а 32		а 33	а 3*-

Матрицы 3-го порядка, полученные из заданной вычеркиванием

одного столбца:

Номер вычеркнутого столбца

1 2 3 4

в18	в14	а 11		в14"\|	[* П	°12	в,4"\|	Г° И	°12	°1э!
1й -12 0])	0^4	°21	а28	\|	I аа	Огг	\|	I °21	°22	02э 1
\|А2		1^31	а зз	о3^	1А1	а$2	о84^	1^91	082	083.1

Матрицы 2-го порядка,				полученные из заданной вычеркиванием
двух столбцов и одной строки:
Номер				Номера вычеркнутых столбцов
вычеркнутой	1 н 2		1 в		1 и		\| 2 н		2 и		\| 3 и 4
строки				3		4		3		4
1	[ваз в24\| I		[ви	О24]	[ваа	о23 \|	1 К ,	а241	[в21	в2з 1 и[ва1 022 I
	1^88		Кг	аи \	[вЭ2 ом] \| [034				[Оэ\|	Озз]\|[Оз\| О м]
		II	[а1Я вц]		! [а1а	в181	Кх	°н\|	[вц 0,3]		[аи в,2]
2	[в,8 а1«] 1
	Iезз	аэ4м\|			1 К *	взэ^			[вэ,	03э]	10з, 0^1

3	[°1Э	ви \| 1 Го,2 Ои 1			[в!2 в13\|		[вц	ои1	[в\|\| 0,3 1		\|вц о,г1
	[ваз 02^1 1		\|022	Ог4\	[ваа в ^		[а2\|	024 ]	[о2\|	02Э]	[ва, о42]

Матрицы 1-го порядка, полученные из заданной матрицы вычер киванием трех столбцов и двух строк:

Номера			Номера вычеркнутых		столбцов
вычеркну		2, 3 и 4	3, 4 и 1	4, 1	и 2	1, 2 и 3
тых строк
2 н 3			0\|2	013		ои
3 и	1	4и	0*2	<2*3		4
1 н	2	4)1	Оза	0	$ 3

4.Алгебраическое дополнение элемента матрицы. Союзная матрица

Если из определителя квадратной матрицы порядка п вычерк нуть ё-ую строку и /-ый столбец, на пересечении которых стоит элемент а,,, и составить из оставшихся элементов определитель


порядка п — 1 , умножив его			на (— 1)'+/,	где * ' + / — сумма номе
ров вычеркнутой строки		и	столбца, то	полученное	произведение
называется	алгебраическим		дополнением	элемента	ац матрицы
и обозначается символом		Ац.
Союзная	матрица. Если		из алгебраических дополнений всех
элементов	матрицы А составить новую матрицу и транспониро

вать ее, то полученная так матрица называется союзной по отно

шению к данной. Союзная	матрица		обозначается символом Л
и записывается так:
^11	./4*1	^31 •	•	• Ац\
^12	А22	^32 •	•	• Ап2	(4,13)
					(4,13)
К	Ах*	Л и*

Союзная матрица А называется также присоединенной.

5.Формула для вычисления определителей

Свычислением определителей приходится встречаться во мно* гих случаях. Укажем весьма удобную формулу для вычисления определителя л-го порядка:

0 ц	0 1 20 1 3 •		• • 0 \| . л—1 0 1 л
а 2\	а 2г	а 23 •	•	.	0 2 , л —1	“гя
	(232	азз •	•	•	аз. л - 1	“Зя —
Я/11	0Д2 &лЗ *		•	* 0 Л. л—1		О’пп

	“ И	а 12	а 11	а 13	“ И	“ ь я—1	0 Ц	а 1л
I	021	^22	021	023	“ 21	“ г. л—1	021	02л
I	0 Ц	012	011	013	“ 11	“ 1 . я—1	0 ц	0 \|л
а	031	032	а 31	а 33	“ 31	0 9,	а 31	03л	(4,14)
»—1	031	032							(4,14)
	\|Оц	0121	\|о „	Ом!	“ И	“ Ь я—1 1И\|а П		01л
	\| “ я!	“ ч2 •	\| “ я!	0 яз \|	“ И	“ Ь я—1 1И\|а П		01л
	\| “ я!	“ ч2 •	\| “ я!	0 яз \|	0л1	0л. л—1 \|	10л1	0лл
Предполагается,			что	аи ф 0. Если а п =			0, то перестановкой
строк и	столбцов		всегда можно из данного определителя						полу*
чить такой, в котором оп ф 0. Эта формула							очень проста		в упо
треблении и позволяет вычисление определителя								порядка п свести
к вычислению		определителя			порядка п — 1.

II.АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ НАД МАТРИЦАМИ

1.Равенство матриц. Две матрицы А и В называются рав ными, если: 1) обе они имеют один и тот же размер, т. е. если число строк матрицы А равно числу строк матрицы В, а число столбцов матрицы А равно числу столбцов матрицы В, и 2) соот ветственные элементы этих матриц равны между собой, причем под соответственными элементами понимаются элементы с одними

нтеми же индексами.

Таким образом, если матрица

<*и	“Н •	•	• Ощ
021	ОгЗ •		• “гя
А =
От1	йт2 •	* * ^тп_
а матрица
Ьц	Ь\г •	•	•
Ьц	Ь22 •	•	• &гп
В =
_ Ьт1	•	•	• Ьтп_

и о// = 6// (( = 1 , 2 , . . . , т; } = 1, 2 , . . . , о), то А = В.

Линейное преобразование. Пусть п величин

х2, х3.......хп

связаны с т величинами уи у2,

у3,

, уттакими зависимостями:

Уз =

оа,*,

а12х2 +

013*3

• • • +

о,я*„

У2

а 21х 1 +

а 12Х 2 +

а 23Х 3

‘

* +

<НпХ п

/д 1е»

У т

= а*,*, +

атгхг+

а*,х3+

• ♦ • +

атпх„

По этим формулам величины уи у2, ...

, ут выражаются линейно

и однородно через п других величин хи х2,

х3, . . . ,

хп. Преобра

зование величин хи х2, . . . ,

хп при

помощи формул

(4,15) в вели

чины

уи

У г..........У т

называется

линейным

преобразованием.

Формулы

(4.15) сокращенно можно записать так:

У1

Ц ацх, (*' =

т).

(4,16)

/-•

Коэффициенты

линейного

преобразования

(4,15) величин

х, (/ =

= 1 , 2, . . . ,

п) в

величины у{(1 =

2, . . . ,

т) могут быть

запи

саны

в виде матрицы

. аХп

Оц

а 12 .

Оу

и22.

. о2я

А =

_ 0*1

О/тй

•

0*я _

которая

называется

матрицей

линейного

преобразования

(4,15)

величии

х/Ц = 1,

2 , . . . , п) в величины

р/(( =

1, 2, . . . . /л).

Правила алгебраических преобразований над матрицами стано вятся наиболее понятными, если пользоваться введенным понятием

линейного преобразования одних величин в другие.
3.	Сложение	и	вычитание			матриц. Пусть			имеется линейное
преобразование
	У1=	Оц*1 + вкХг +				*** +		ащХп
	Уз “	021*1 +		Ог2*2 +		* * *	+	02я*я	.. ,_х
	Ут=	011 +		022 +		• • • +		атпх„
величин */(/ — 1 , 2, . . . ,			п)	в	величины р,(< = 1 , 2,				, т ) .
Матрица этого преобразования
		. _	Оц		О12 .	•	• о!я
		. _	021		С22 •	• • 02я			(4,18)
									(4,18)
			0*1		0*2 . . .		0*я

	Пусть имеется другое линейное преобразование величин							* /(/=
=	1, 2..........л)	в величины г, (< =		1, 2 ............т) по формулам
		г1 = Ь\\ХХ+ ^12^2		■+■**•+ Ьь,Х„}
		г2 =	ьг1х, + ЬцХг	+		• • •	Ч- Ь^Хг,;	(4.19)
								(4.19)
		~т ^т!1		Ч*		* * *	Ч" ^тп^а'
	Матрица этого преобразования
			Ьц Ьх2 .	.	•	К
			&2п ^2/1 •	•	•	Ь2п		(4.20)
			................. . .					(4.20)
			................. . .
			Ьт\1>тг *	*	•	Ьтп
	Составим	теперь	линейное	преобразование величин				*/(/ =
=	1, 2, . . . . л) в величины щ(1 =			1 , 2, . . . , /л), являющиеся суммой

величин у, и г/. Для этого сложим линейные преобразования

(4,17) и	(4,19) и получим
и 1 — Ух +	г 1 *	(а 11 +	^ п X)I + (а 12 Ч* ^м) Х 2 +	• • •	+ (0 \|„Ь1п)+ Х „;
иг = Уг4* г 2 “		(°21 +	^21) Х\ Ч" (в22 Ч* &гг)Хг +	• * • +	(агп+	ая) л»
и,„=Ут+гт~		(ат+Ьт1)хг + (ат2 + Ьта) хг +		• •. +	(атп+	Ьтп)хп.

(4,21)

Линейное преобразование (4,21) представляет собой сумму линей* ных преобразований (4,17) и (4,19).

Матрицу этого преобразования

а п	+	Ь ц	0 1 2	+ ^12		•	• • «1Я + *1л
а 21	+	Ь 2\	022	+	^22	•	•• ^2/1 Ч" ^2/1
°т 1 + Ьт			а тЛ +		ЬтЗ •		*• &тп "Ь Ьтп
и следует рассматривать			как сумму матриц линейных преобразо

ваний (4,17) и (4,19), т. е. как сумму матриц (4,18) и (4,19), т. е. как А + В. Таким образом,

А + В = С.

(4,23)

Итак, суммой двух прямоугольных матриц А и В равных раз меров (т х л) называется матрица С того же размера, элементы которой вц равны сумме соответствующих элементов матриц

А и В.

А + В - С,

если				О ц	+ Ьц = С ц						(4.24)
				О ц	+ Ьц = С ц						(4.24)
{1 — 1 , 2 , . .			. , т\		/ = =1 . 2, • • • 1				п),	т.	е.
~ап	012 •	•	*а1п			Ьп		&12 • • • ьи ~
021	022 •	•	’	*2п	+	Ь21		&22 •	•	•	&2п
					+
ат\	0/п2 *	*	• 0/ПЛ_			- ^т1			•	• Ьтп_
	О ц +	Ь ц		0 1 2 ” 1“ ^ 1 2 •			•	• + » + ь ш
	а 21 + Ь 21			0 22 + ^ 2 2 • •				■ ° 2 а + ^ 2 *
	О т \ +	Ь т \		&т2 “ Ь ^т 2			*	• • 0/71/1 “ Ь		&тп
				Сц	^12 •	•	•	С1п
				Сц	&22 •	•	•	?2„			(4.25)
											(4.25)
				^т\	^т2 •		•	• С/пп

Сумму следует понимать в алгебраическом смысле. Это зна чит, что разность А — В матриц А п В одного и того же порядка есть матрица О того же порядка, элементы которой равны раз ности соответствующих элементов матриц А и В, т. е.

=О ц — Ьц.

Понятяе суммы матриц распространяется на любое число матриц. Сумма матриц подчиняется таким законам:

а) переместительному

			Л + 5 »		5 + Л}
б) сочетательному
	(Л + В) + С =				А + (В + О.
Пример.							°1
[2	3	5	7	Г1	—3	4	°1
[1	4	2	3	+ 1	1	3	—2}
[ 2 + 1 3 + (— 3) 5 + 4					7 + 0		0	!]•
-С.1 + 2	4 + 1		2	+ 3 3 + (—2)]			5	!]•

4 И. А. Каплан

4.Умножение матрицы на число. Если умножить обе части

каждой из	формул			линейного		преобразования (4.17) на число ос,
то получим	=	аух =		ап ах! + аио.хг 4-			■ 4- а^аХп
01
щ =		*Уг	— 021**1 +		о22*Хг +		• • • +		о^аХп	(4.26)

		* У т	=	отЛа.Х1 4- ат2ах2+			•• •	+	атпахп
Формулы		(4,26)		определяют		линейное		преобразование величин
Х/Ц = 1 , 2 , . . . ,			гг) в величины			о, (с =	1 , 2 , . . . , т). Матрица коэф
фициентов этого			преобразования				аа1/1
					а&22
				0^21						(4,27)

естественно, может рассматриваться как произведение матрицы А преобразования (4,17) на число а.

Таким образом, возникает правило умножения матрицы на

число: чтобы умножить матрицу А на						число	а, надо на это
число умножить каждый элемент матрицы А.
Пример.	3	4	5*		15	20	25'
'2	3	4	5*	10	15	20	25'
1	2	—3	0	5	10	— Г5	0
2	1	1	3	10	5	5	15
Имеют место следующие равенства:
		(ос 4* Р) А =		аА 4~ ВА1			(4,28)
		ос (/4 4* 8 ) — а.А 4~ осВ)					(4,28)
		ос (/4 4* 8 ) — а.А 4~ осВ)

5. Умножение матриц. Возьмем линейное преобразование вели

чин до/0‘ =» 1 , 2 , . . . ,	п) в		величины					— 1 , 2, . . . , т), опреде
ляемое формулами
У\ = а11Х14 а 12*2 4"						* ' " +		а1П*п
Уг “	а2114- а222+					• • • 4- 02пХп			(4,29)
									(4,29)
У т -	а т 1*1 +			ат г х а 4 -				4* о,71лДол
с матрицей преобразование
		~ О	ц	а 1 2	•	•	•	п
	А =	° 2 1		а 22	•	•	•	^ 2/1	(4,30)
	А =								(4,30)

- А п 1

® т 2 * •

Рассмотрим еще	одно	линейное преобразование, которое пре
образует величины	=	1 , 2 , . . . ,		т) в величины гг(г«- 1 ,'2 , . . .
. . . . 5) по формулам
г1 — Ьп9\ +			ЬцУъ +	• *•		4" Ь1тут
2г «= ЬцУ1 4- ЬггУг 4* •						4* ут
						(4,31)
2} *■ Ьяух 4 - ЬдУъ 4"				' * *		4* ^тЛпг
с матрицей преобразования
	4>хх		Ь \г •	•	•	Ъ1т
в	=	Ь2\	^22 •	♦	• Ь2т
в	=
	Л .				•	Ьш

Отметим уже в этом месте, что число строк в матрице А первого линейною преобразования равно числу столбцов в матрице В

второго

преобразования.

1 , 2 , . . .

Поставим

перед собой задачу выразить величию! г, (г =

. . . ,

а)

через

величины

х/Ц =

1, 2, . . . ,

п). Для этого

заменим

в формулах (4,31)

величине! § $

— 1, 2 , . . . ,

т ) их значениями из

формуян (4,29):

21 — Ь п(а11Х1 4" °12Х2 +

* * *

а\пХп) 4‘ ^Х2(°2Х*1 + а22Х2 +

+ я2лх.) +

+ Ь 1т (ат1хх + атйх* +

*• • 4- а ^ )

г 2

— ^21(°1**Х +

0x2*2 4"

* * *

а щ Х п )

4" ^22(°21^1 4* ®22*2 4“

* * * + °2я*„) +

* * *

&3т (° т х 1 +

°т2Х2 +

~ ~ + <Ьн^Ь,) ^ *

2 ,

— Ьа (йцХ+ 4 “ 0 1 2 * 2

4* * * *

4* ®1в*в) 4"

(Оа**Х 4" ®2 $ * 2 4* (г

• • •

4 - ва«*л) 4-

• • •

+ Ь „ ( р тгХ 1 + а я^ь +

• • • 4 - о в. ) Ч и

Каждую из этих формул преобразуем, собирая члены с общими

множителями X/ и вынося эти множители за скобки:

*Х=

(^11а и4-Йх2а2Х+

• • • 4“ ^1таяч) Х14* Фи°12 4" &120»2 4* ** * 4*

“Ь ^1т^п2) хг 4-

' • •

4- Фи<*1п + Ь1&2п +

* •* + Ьтвтп) хп

гг =

(Ьгх^хх 4- ^22а2Х+

• • • 4* ^2татх) *Х 4“ (^ХХ^хг 4"

4" ^22^22 4 -

* * * 4- ^гя^тг) *2 4- * * *

4* (&2хОц 4- &2202„ 4“

4 - . . . 4- Ь ^ та)х„

2 5 = (6$1а и 4- Ьпаи 4- • • * 4* ^*патх) *х 4- Фца2й 4- Ь$2аг2 4-

• • • 4- баиАпа) хг 4-

. . . 4- Ф*Рщ 4- Ь^хи 4*

4- ••• 4 -Ьгп/1тп)хп.

Мы

получили

формулы

линейного

преобразования

величин

* / ( / - ! ,

2 ......... п)

величины

г,(г = 1 , 2 ............а), минуя

проме-

жуточное преобразование (4,31). Матрица этого окончательного линейного преобразования

(р11ап 4* ЬиРп 4* * * * 4*			т	ОтО • * * Фч^1п 4"
(Ьг1йц +	+ Ьма2„+	’ * *	+	^1иА лл)
(Ьг1йц +	Ьца21 4* • • *	4* ^2тат\) - ♦• (^21а1я 4*			. (4,33)
С	4- ^22^2п 4-	*	4-	ЬгпРтп)	. (4,33)
(Рп^И 4*	4“ * ' *	4" ЬипРтО • * * Фл°1а 4*
	4- ьяРгп 4-	• ♦•	4- ^*яАпя)

Матрица С называется произведением матрицы В на матрицу А. С = ВА.

Размер ее равен $ х п.

"*п	Ь12 .	•	• ^хт	ап	012	•	•	•	°1п
Ь2х	Ь22 •	•	• ^2т	а21	а22	•	•	•	а2п
С =				•
	ЬЛ:	•		_а<"1	ат2 *		•	•	0/П/1__

Элемент сц матрицы С, стоящий в 1-ой строке и 1-ом столбце, равен сумме произведений элементов 1 -ой строки мат рицы В на соответствующие элементы 1-го столбца матрицы

А, т. е.

сц - Ьпа^ 4- 6,2% 4- • • • 4- Ь1тат, = ^ Ь 1как,.

(4,34)

Например,

С23 — ^иа134- ^22^23 4* ** * 4" ^2/гЛлЗ*

Формула (4,33) и определяет произведение матрицы В на матрицу А. Свойства произведения двух матриц, а) Не всякие две мат рицы можно перемножить. Произведение ВА двух матриц в ука занном порядке возможно в том и только в том случае, если число столбцов матрицы В равно числу строк матрицы А. Если размер матрицы В равен &X т, а размер матрицы А равен т х п, то матрица ВА имеет размер &х п. Символически это

можно записать так:

(з х т) - (т х	п) = в х п.	(4,35)
Значит, в матрице, являющейся	произведением двух	матриц,

число строк равно числу строк левого сомножителя, а число столбцов— числу столбцов правого сомножителя.

б) Произведение двух матриц в общем случае не обладает свойством переместительности (иначе говорят, что оно не обла дает свойством коммутативности), т. е.

ВАфАВ.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 4210 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги