книги / Практические занятия по высшей математике. Численное решение алгебраических и трансцендентных уравнений, матричное исчисление, векторный анализ и интегрирование линейных дифференци
.pdfС о д е р ж а н и е . Решение трансцендентных уравнений
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ
1. Графическое решение. Приближенное значение корней урав нения
/(*)== 0 |
(3,1) |
можнб получить, если тщательно вычертить на миллиметровке кривую у — /(х) и определить абсциссы точек пересечения этой кривой с осью Ох. Для уточнения корней, найденных графи чески, можно воспользоваться способом Ньютона или способом хорд, которые описаны в первом практическом занятии, а также указанными там же модификациями этих методов.
Вместо построения кривой у = / (х), которое может быть затруд нительным, часто полезно представить уравнение / (х) = О в виде
или |
|
<р(х) — «|»(х) = |
0 |
|
|
|
||
|
?(*) = |
♦(*). |
|
|
|
(3,2) |
||
|
|
|
|
|
||||
после чего |
построить |
кривые |
|
|
|
|
|
|
|
|
у = <?(*) |
и |
у = |
ф(х), |
|
|
(3,3) |
причем, если удачно |
представить |
функцию /(х) в |
виде |
разности |
||||
<р(х) — <|>(х), |
то построить кривые |
(3,3) будет значительно |
легче, |
|||||
чем кривую |
у — / (х). |
|
|
|
|
|
|
|
Если уравнение / (х)— О заменено уравнением |
(3,2), |
то |
реше |
|||||
ниями исходного уравнения будут абсциссы точек пересечения кривых (3,3). Приведем пример.
Пусть требуется решить уравнение |
|
созх . ех— 1 — 0. |
(А) |
Представим его в виде |
|
соз х • е? — 1 |
|
или |
|
СОЗ X = ~ ! созх — с' |
(В) |
Построим кривые у — созх и у = е~*. |
|
Абсциссы точек пересечения этих кривых и будут искомыми корнями данного уравнения. Очевидно, что построить кривые (В) значительно проще, чем кривую у = соз х • е*— I (см. фиг. 3,0).
У
Кроме метода Ньютона и метода хорд, которые известны из предыдущих занятий, укажем еще один распространенный метод итерации, хотя методы хорд и касательных также являются частным случаем итерационных методов.
2. Метод итерации. После того,, как уравнение / (х) = 0 пере* писано в виде <р (дс) = ф (х), как уже было указано, даже грубое изображение этих кривых позволит найти приближенное значение корней уравнения / (х) = 0. Пусть таким приближенным значением одного корня будет х = х0. Проведем прямую х — х0. Она встре тит рассматриваемые кривые в двух точках: фиг. 3,1 или фиг. 3,2.
Из этих двух точек следует выбрать ту, для которой угловой коэффициент касательной к кривой в точке х0 имеет меньшую абсолютную величину. Положим, например, что
|
|
|<р'(*о)1< |
1Ф'(*о>|- |
|
|
|
||
На фиг. |
3,1 |
и 3,2 такой является |
точка Д, на |
кривой |
#=®(х) . |
|||
В этой |
точке |
|?'(ж#)1 < !♦ '(* •) I- По найденному |
значению |
х = х0 |
||||
определяем ординату у<,= ф(х 0) |
точки |
пересечения прямой |
х =* х0 |
|||||
с кривой у = |
ф (х). Через точку |
Д> |х0, |
® (х „ )) проводим |
прямую, |
||||
параллельную оси Ох, до пересечения в точке В1 |
с кривой |
у — |
|||||
= <р (х). Ордината точки |
В, такая |
же, как |
и |
ордината |
точки |
А0. |
|
Подставляя в уравнение |
у ™ <р (х) |
вместо |
у |
значение |
у0— 9 (х0) |
||
и решая уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
И *) = <? (х0), |
|
|
|
|
|
|
находим значение х ,— второе приближение |
корня. |
Найденное х* |
|||||
является абсциссой точки Вх и, следовательно, абсциссой точки Аг. По известной абсциссе точки Ах находим ее ординату уи которая равна значению функции ф(х) при х = хь т. е. у1— ?(*,).
Из точки Ах проводим прямую, параллельную оси Ох, до пере сечения в точке В3с кривой у = <]>(х). Ордината точки В3такая же, как и ордината точки Ах. Подставляя в уравнение у = <|>(х) вместо у значение ух= <р (х^ и решая уравнение
<Р(Ж) = ф(Х1),
находим х3— третье приближение корня, которое является одно временно абсциссой точек В3 и А3.
Дальше поступаем так же. Зная абсциссу точки Аг из урав нения у — 9 (х), заменяя в нем х на х2, находим у2- « <р (х2) — ординату точки А2. Из точки Аг проводим прямую, параллельную оси Ох, до пересечения ее в точке Вл с кривой у = <|>(х). Точка В3 имеет такую же ординату, как и точка А2. Зная ординату точки В3,
равную у2 = <?(ха), и |
подставляя |
это значение |
вместо у |
в уравне |
||
ние у — ^ (х), |
решаем |
уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
<|»(х) = |
ф(хг) |
|
|
и определяем |
абсциссу Ха точки В3. Значение х3 является четвер |
|||||
тым |
приближением искомого корня. |
|
|
|||
Следующие приближения находим так же. |
|
у = ф (х ) |
||||
Если угловые коэффициенты касательных к |
кривым |
|||||
и у |
(|) (х) вблизи точки пересечения имеют один и тот |
же знак, |
||||
то последовательные приближения х0, х1( х2, ... стремятся к корню с одной стороны (фиг. 3,1), а если эти угловые коэффициенты имеют противоположные знаки, то приближения х0, х1, х2 стре мятся к корню, принимая попеременно значения, то меньшие, то большие корня (фиг. 3,2).
Но предложенный метод, который будем называть первым, не является единственным. Все выкладки значительно упрощаются,
если заданное уравнение |
/ (х) = |
0 |
представить в |
виде |
|
* = |
® (*). |
(3.4) |
|
а этого можно достигнуть всегда. |
|
|
||
Действительно, если |
^(х) = 0, |
то и X/ (х) = |
0, где X— вели |
|
чина постоянная. Прибавляем х к обеим частям последнего уравнения:
Обозначая |
теперь |
х + V (■*) — х. |
|
|
||
х + Ч (х) —<р (х), |
|
|
||||
|
|
|
|
(3,5) |
||
получаем |
уравнение |
(3,4). |
|
|
|
|
Таким |
образом, |
показано, |
что уравнение |
/ (х) = |
О можно пре |
|
образовать к |
виду х = <р (х), |
но параметр X остался свободным. |
||||
О выборе |
его |
будет |
сказано |
ниже (см. стрбб). После того как |
||
заданное уравнение |
/ (х) — О |
представлено в |
виде |
(3 ,4) |
||
* - ? ( * ) .
поступают так: графически или методом проб находят первое при ближение корня х = хй- Для получения следующего приближе ния в правую часть уравнения (3,4) подставляют х0 и тогда вто рым приближением корня будет
Подставляя в правую часть уравнения (3,4) х1 вместо х. находим третье приближение х%корня
Таким образом, последовательные приближения получаются по следующей схеме:
Х\ = ? (х0у, Ха = ч>(х1);
(3,6)
х„ = ? (*„_,)-
Определение последовательных приближений по этой схеме будем
называть вторым |
итерационным |
методом. |
|
|
|
||
Могут встретиться два |
случая: |
... |
|
|
|||
1) |
последовательность |
хф. х,, |
х?, . . . , х„. |
сходится, |
т. е. |
||
имеет |
предел, |
и тогда |
этот предел будет |
корнем уравнения |
|||
/ (х) = 0; |
|
|
х2, ... х„, ... |
|
|
||
2) |
последовательность х„, х„ |
расходится, |
пре* |
||||
дела |
не имеет. |
|
|
|
|
|
|
Укажем теорему, выражающую условие, |
при |
котором итера |
|||||
ционный процесс сходится. |
|
|
|
|
|||
Теорема. Пусть на отрезке [а, Ь\ имеется единственный корень уравнения х = <? (х) и во всех точках этого отрезка про изводная <?' (х) удовлетворяет неравенству
| ?' ( х ) | < Л 1 < |
1. |
(3.7) |
Если при этом выполняется и условие |
|
|
а < <р (х) < |
Ь, |
(3,8) |
то итерационный процесс сходится, а за нулевое приближение х0 можно взять любое число из отрезка (а, Ь).
|
Условие (3,8) означает, что |
все приближения х0, хх, х2>..., |
||
хл, |
. . . , |
вычисленные по схеме |
(3,6), находятся тоже на отрезке |
|
(а, |
&). Сходимость итерационного процесса будет тем лучше, чем |
|||
меньше |
1<р' (х) |. |
|
|
|
|
Чтобы закончить пояснения, относящиеся к теории итерацион |
|||
ного метода, укажем, как определить точность вычисленных |
зна |
|||
чений корня. Если а — точное значение корня уравнения х = |
<р (х), |
|||
а число М определяется из соотношения (3,7), то справедливо следующее соотношение:
)а * .\< Т = л \ь Хл- 1 1 - (3*®)
Из этого неравенства следует, что если поставлено условие, чтобы приближение корня х„ отличалось от его точного значения меньше на заданное число е, то приближения х0, хи хъ ... надо вычислять до тех пор, пока правая часть неравенства (3,9) не станет меньше этого числа е или равной ему, т. е.
м |
, |
. |
|
^ |
1 _ |
1*п |
'*’/»—1! |
^ 8 |
|
* |
* | ^ |
в(| “ |
М) |
|
ЛП |
ЛП—11^ |
|
|
|
(3,10)
(3,11)
(Об условиях сходимости итерационных процессов и доказательство
относящихся сюда теорем см.: Б. П. Д е м и д о в и ч и И. А. |
Ма |
|||
рон. Основы вычислительной математики, гл. IV. Физматгиз, |
1960). |
|||
Заметим, |
что уравнение / (х) = 0 можно различными способами |
|||
привести к |
виду х =» <?(х). |
Из этих |
видов нужно выбрать |
тот, |
в котором выполняется условие (3,7) указанной теоремы. |
|
|||
Что касается числа X в формуле |
(3,5), то его следует |
подо |
||
брать так, чтобы значение |
производной в левой части этой |
фор |
||
мулы было по абсолютной величине меньше единицы, т. е. чтобы
|?'<*)1 = |
И + */'(*)1< 1- |
|
Из неравенства |
|
|
|1 + |
*/ '(*) !< |
1 |
следует, что X должно удовлетворять |
неравенству |
|
0 < Х / ' ( х ) < 2 : |
||
Такой выбор X гарантирует |
сходимость итерационного процесса |
|
При решении задач этого практического занятия рекомендуется пользоваться такими таблицами:
1. Б. И. С е г а л н К. А. С е м е н д я е в . Пятизначные математические таблицы.
2. Л. Дж. К о м р и. Шестизначные математические таблицы Чемберса.
Вычисления следует вести при помощи настольной клавишной машины или арифмометра, а также в нужных случаях пользо ваться логарифмической линейкой.
Геометрическая интерпретация итерационного процесса, при меняемого к уравнению х = (х) с учетом использования указан ной теоремы, выглядит так, как показано на фиг. 3,3, где изображен сходящийся итерационный процесс. Здесь кривая пере секает биссектрису в точке с абсциссой а и при х > а лежит под биссектрисой, а <р'(х) удовлетворяет условию 0 < <р'(х) < 1. Ите рационный процесс сходится, а последовательные приближения монотонно убывают.
На фиг. 3,4 производная <?' (х) < |
0, но по абсолютной |
вели- |
чине меньше единицы: | ®' (х) | < 1. |
Итерационный процесс |
схо |
дится, но приближения колеблются около точного значения корня. На фиг. 3,5 показан расходящийся итерационный процесс.
Здесь |
®'(х) > 1. Кривая пересекает биссектрису у — х в точке |
а |
и при |
х > а лежит над биссектрисой. |
1 . |
На фиг. 3,6 также изображен расходящийся процесс: |ср' (х) | > |
||
На чертеже видно, как последовательные «приближения» уда ляются от точного значения корня.
|
Фиг. 3,3 |
Теперь приступим к решению задач. |
|
Задача 3,1. |
Решить уравнение |
|
Дх) = е‘ — х* = 0. |
Р е ш е н и е . |
Перепишем уравнение в виде (3,2) |
|
ех ш-х2 |
и определим графически приближенное значение отрицательного
корня |
(положительного корня уравнение |
не имеет, так как при |
|
х > 0 |
ек > х*). Приближенное |
значение |
отрицательного корня |
примем |
|
|
|
|
__ |
I |
|
|
х0 |
ТГ • |
|
Решим задачу сначала тем итерационным методом, который мы назвали первым, а потом — вторым.
Решение |
первым |
методом. Прямая х = —0,5 пересекает кри |
|||
вые |
<|>(х) = |
х2 и ® (х) = е* в двух точках. |
Нам следует |
выбрать |
|
ту |
из них, |
в которой |
угловой коэффициент |
касательной |
меньший |
по абсолютной величине, т. е. точку, в которой абсолютное зна чение производной при х « —0,5 является меньшим. У нас
ф (х) |
х1; |
<||' (х) — 2г, |
ф' (—0,5) = |
2 . (—0,5) = |
— I; |
|||||
|
|
|
е‘ 1 |
|
Н', (*)1 = И’, (0,5)) = |
1; |
|
|
||
9 (*) = |
|
{х) = ех\ |
ф' (-0 ,5 ) = |
е~0-5 = 0,60653; |
||||||
Значит, |
|
|
|
|
| ?' (0,5) (=0,60653. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/ ( * |
) К 1 Ф '(*)|. |
|
|
|
и точку следует выбрать на кривой 9 (х) = е*. Так |
как угловые |
|||||||||
коэффициенты |
касательных, |
проведенных |
в |
точку |
пересечения |
|||||
кривых |
<? (х) = |
ех |
н |
<? (х) — х2, |
|
|
|
|||
противоположны |
по |
знаку, |
то |
|
|
|
||||
надо ожидать, |
что |
последова |
|
|
|
|||||
тельные |
приближения |
будут |
|
|
|
|||||
стремиться |
к |
корню, принимая |
|
|
|
|||||
значения то больше его, то |
|
|
|
|||||||
меньше. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Чтобы найти второе |
прибли |
|
|
|
||||||
жение, |
необходимо |
определить |
|
|
|
|||||
х из уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
б(ж) = 9 (х0), |
|
|
|
|
|
||||
т. е. из |
уравнения |
|
|
|
к |
задаче 3 , |
||||
х2 = е* = е- 0-5 = 0,60653.
Отсюда второе приближение
х, = — У 0,60653 = —0,77880.
(перед радикалом взят знак минус, так как корень уравнения имеет только отрицательное значение).
Чтобы найти третье приближение корня, надо решить уравнение
<1>(х) = 9(Х1>,
т. е.
X* = а** = е~°-7т = 0,45895;
ха = — /0,45895 = —0,67746.
Четвертое приближение корня получим нз уравнения
1» (х) = 9 (х2),
т. е.
х* = е*> - е- 0 -677 46 = 0,50791;
ха = — /0 ,5 9 7 9 1 = — 0,71268.
Пятое приближение корня вычислим, решив уравнение
т. е. уравнение |
|
|
х * = |
= |
е~о.712бв = 0,49033; |
Х 4 = — |
У Ш |
ж = —0,70023. |
Шестое приближение корня ищем из уравнения
т. е. уравнения
•** = «* = е-о.70(из = 0,49647;
— К 0^9647 = —0,70460.
Для определения седьмого приближения решаем уравнение
т. |
е. |
|
♦ (* > -? (* •). |
|||
X2 = |
<?*• * е -0,70460 _ |
0,49431; |
||||
|
|
|||||
Решив |
* - |
— Кбл943Т = —0,70307. |
||||
уравнение |
|
|
|
|||
т. |
е. |
|
+ (•*) = |
? (жв), |
||
дг* = е** = е-о.7шо7 в 0,49506, |
||||||
|
|
|||||
найдем |
восьмое приближение корня |
|
||||
|
|
ж7 = — К0Л9506 * |
—0,70365. |
|||
Для девятого приближения |
|
|
||||
|
|
|
И *) ■=?(*,); |
|||
|
|
ж* = |
ех>= е~°-70365 = 0,49477; |
|||
|
|
ж* = — /0 Л 9 4 7 7 - |
—0,70339. |
|||
Десятое приближение |
получим |
из уравнения |
||||
т. |
е. |
|
’М*) = |
<?(Хз), |
||
х* = е-°. 7озз9 * |
0,49490; |
|||||
|
|
|||||
|
|
ж, = |
— К6Л9490 = |
—0,70349. |
||
Одиннадцатое приближение вычислим, решив уравнение Ф (х) = <Р(ж»).