книги / Практические занятия по высшей математике. Численное решение алгебраических и трансцендентных уравнений, матричное исчисление, векторный анализ и интегрирование линейных дифференци

С о д е р ж а н и е . Матричная запись системы линейных алгебраических урав­ нений. Численное решение линейных алгебраических уравнений способом исключения.

СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ

и матрицу-столбец й из свободных членов

С^2

й =

или, учитывая введенные обозначения, всю систему уравнений (7,2) можно записать компактно в виде одного матричного уравнения

Такая запись большого числа линейных уравнений в виде одного уравнения является одним из достоинств матричных обо­ значений.

На предыдущем практическом занятии мы уделили большое внимание вычислению обратной матрицы. Покажем теперь применение этой операции для решения системы линейных алгеб­

неизвестных систем (7,1) можно считать решенной. Несколько таких упражнений мы выполним в начале этого практического занятия.

Но здесь же следует заметить, что в случае большого числа л неизвестных вычисление элементов обратной матрицы становится громоздким и затруднительным. Поэтому формула (7,4) имеет больше теоретическое значение, чем практическое, так как по сравнению с формулами Крамера для решения системы линейных алгебраических уравнений она никаких преимуществ в вычисле­ ниях не дает.

Эта формула оказывается безусловно полезной тогда, когда рассматриваются такие системы уравнений, у которых матрица коэффициентов при неизвестных одна и та же (таксе системы уравнений встречаются, например, в строительной механике). Вы-

числение обратной матрицы в таком случае приносит большую экономию в вычислительной работе (см., например, задачу (7 ,3).

Это практическое занятие проведем в таком порядке: сначала будем решать системы уравнений с небольшим числом неизвестных (два, трй) по формуле (7,4) (задачи 7,1—7,7), а потом укажем удобную компактную схему решения системы (7,1) методом исклю­ чения (алгоритм Гаусса), которому дадим матричную трактовку. Теория этого метода, формулы, сюда относящиеся и схема его применения указаны после задачи 7,7.

Задача 7,1. Записать систему уравнений

2^ + 3*2 = 9) Зд.| 4*2 = 5

ввиде одного матричного уравнения и решить ее по формуле (7,4).

Ре ш е н и е . Систему представим в виде

Здесь матрица

Найдем обратную ей матрицу по формуле (5,2), которая в развернутом виде выглядит так:

(7,5)

где \А | — определитель матрицы Л, а элементы А{1— алгебраиче­ ские дополнения ее элементов а„, причем матрица в правой части

формулы (7,5) есть союзная матрица А для А. Но здесь еще раз подчеркнем, что когда п > 3, то формулой (7,5) для обращения матрицы обыкновенно не пользуются, а применяют методы, рас­ смотренные на пятом и шестом практических занятиях.

Воспользуемся формулой (5,2) для определения обратной матрицы

Это тот случай, когда применение формулы (7,4) является выгод­ ным, т. е. выгодно решить все три системы путем отыскания обрат­ ной матрицы А~ 1 для матрицы А. Запишем все три системы в виде одного матричного уравнения

(отметим, что матрица, составленная из неизвестных, должна иметь тот же размер, что и матрица, составленная из свободных членов). Легко видеть, что для матрицы А обратная матрица

Выполняя умножения в правой части равенства, получим

Решение этих трех систем уравнений по формуле (7,4) путем отыскания обратной матрицы потребовало значительно меньше труда, чем решение нх по известным читателю формулам Крамера.

Задача 7,4 (для самостоятельного решения). Решить системы уравнений:

Здесь