книги / Практические занятия по высшей математике. Численное решение алгебраических и трансцендентных уравнений, матричное исчисление, векторный анализ и интегрирование линейных дифференци
.pdfАп = 4; |
А12 = — 18; |
А13 —— |
||||||
Аг - |
0 |
; |
А22= |
I» |
|
= |
0; |
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
А31= |
—5; |
А3ов |
24; |
|
^зз = |
4. |
||
Составляем |
матрицу из алгебраических дополнений |
|||||||
|
|
|
4 |
— 18 |
—3' |
|
||
|
|
|
О |
|
1 |
0 |
, |
|
|
|
|
. —5 |
|
24 |
|
4 |
|
транспонируем |
ее, чтобы |
получить |
союзную матрицу А и делим |
|||||
на |Л| ** 1 . Учитывая, |
что |
на основании формулы |
(5,2)' |
-1 _ Л
“И Г
получаем
А~1= |
4 |
0 |
—5 |
|
— 18 |
1 |
24 |
• |
|
|
—3 |
0 |
4 |
|
Из равенства (а) следует, |
что |
|
|
|
ху |
х4 |
х7 |
4 |
х2 |
Х3 |
хв = |
— 18 |
Хл |
хв |
х9^ |
со 1 __ |
|
|
|
1 |
Отсюда, выполняя умножение чаем
0 |
—5' |
' 7 |
1 0 |
' |
1 |
24 • |
11 |
2 |
5 |
О |
• |
—2 |
11 |
1 |
|
|
|
|
матриц в правой части, полу
Ху |
X* X, |
38 |
- 5 1 |
—5' |
х2 X* X» = |
— 163 |
248 |
29 |
|
X3 |
X« |
—29 |
41 |
4. |
Учитывая условия равенства матриц, находим
ДГ] = |
38; |
х2= |
— 163; |
х3= |
—29; |
= |
—51; |
= |
248; |
хв = |
41; |
х, = |
—5; |
хг = |
29; |
х„ = |
4. |
Отметим безусловную выгоду, которую мы извлекли, приме няя в данном случае определение обратной матрицы и используя формулу (7,4). Если бы эти системы решать по формулам Кра мера, то пришлось бы вычислять 10 определителей третьего порядка. Однако подчеркнем, что экономия в вычислениях полу чилась вследствие того, что матрица коэффициентов во всех трех системах была одной и той же.
Задача 7,7 (для самостоятельного решения). Решить системы уравнений, применяя метод, указанный в предыдущей задаче:
1) |
2*| + |
У\ + |
^1 = |
11; |
2) 2 *2 + Уг •+■ 2г ** 2 ; |
|||
|
*1 |
ух |
в |
15; |
|
*г |
+ .2г2 = |
Г, |
|
3*| + |
2^! = |
14; |
, |
3* 2 + |
у2 + 2гг = |
—4; . |
|
3) |
2*, |
Уа Л- 2.| =” —3; |
4) |
2*4 + |
у4-(- г4 = |
0; |
||
|
*. |
+ 2г3 = 1 ; |
|
* 4 |
+ 2г4 = — 1 ; |
|||
|
3*.| ■+■Уз + |
2^з = |
5; |
|
3*4 + |
У*+ 224 = |
12 . |
|
У к а з а н и е . |
Все четыре |
системы представить в виде одного |
матричного уравнения
' 2 |
1 |
п |
|
1 |
0 |
2! |
|
3 |
1 |
2 |
] |
Для контроля
О т в е т .
г * . х2 X» * 4 |
|
И |
2 - 3 |
0 ' |
|||||
|
Ух Уг |
У» |
Ух |
= |
15 |
I |
1 |
— 1 |
|
1 |
г, |
г2 |
2з |
Ч . |
|
.14 |
—4 |
5 |
12 |
. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
- 2 |
- 1 |
|
2 |
|
|
|
|
А ~ х = |
4 |
|
1 |
— 3 . |
|
|
||
|
|
|
1 |
|
I |
— 1 . |
|
|
|
х 1 = — 9;
*з = — 13;
* , = 15;
* 4 = 25;
Ух = |
17; |
Уз = |
2 1 ; |
Уз = |
—26; |
5? II |
СО |
|
1 |
II |
Г-с |
|
и |
|
|
ы II |
1 |
|
** |
|
|
24 = |
-1 |
3 ; |
Задача 7,8 (для самостоятельного решения). Решить систему
уравнений |
|
|
|
|
|
3*! — 2*з |
— *4 ** 1; |
||||
|
2*з + |
2*з + *4 = |
1; |
||
*1 — 2*з — З* 3 — 2* 4 = |
1; |
||||
|
* 2 + |
2*3 + * 4 " |
1- |
||
У к а з а н и е . Обратная матрица |
коэффициентов |
||||
|
1 |
I |
— 2 |
— 4 |
|
Л~! = |
0 |
I |
0 ; |
— 1 |
|
1 — 1 |
3 |
6 |
|||
|
|||||
|
2 |
1 |
— 6 — 10 |
О т в е т . *, = —4; * 2 = 0; *3 = 7; * 4 = — 13.
Теперь приступим ко второй части упражнений этого практи ческого занятия.
Из большого числа известных методов решения систем линей ных алгебраических уравнений мы будем пользоваться только одним из наиболее распространенных методов — методом исключе
ния, который обычно называется методом |
Гаусса (с другими мето |
||||||
дами читатель может ознакомиться по |
книге: |
Д. К. Ф а д д е е в |
|||||
и В. Н. Ф а д д е е в а. Вычислительные |
методы линейной алгебры, |
||||||
Физматгнз, |
1960). |
|
|
|
|
|
|
Метод Гаусса в матричном |
виде позволяет указать удобную для |
||||||
практики компактную схему |
решения, |
которая |
сводится к |
пред |
|||
ставлению |
матрицы коэффициентов в виде произведения двух |
тре |
|||||
угольных |
матриц, а эту задачу мы уже |
подробно разобрали на |
|||||
предыдущем практическом занятии. |
|
|
|
|
|||
В матричном |
виде система |
линейных |
алгебраических (7,1) за |
||||
писывается |
так |
(7,3): |
|
|
|
|
|
|
|
Ах = 4, |
|
|
|
|
|
где А— матрица |
коэффициентов системы (7,1). |
|
|
||||
Представим матрицу А в виде произведения |
нижней треуголь |
ной матрицы С на верхнюю треугольную матрицу В, причем ин тересующие нас формулы выведем применительно к случаю, когда диагональные элементы матрицы В равны 1.
А=СВ.
Тогда уравнение (7,3) запишется в виде |
|
|
СВх = |
4. |
(7,6) |
Произведение Вх матрицы В на |
х — матрицу-столбец |
неизвест |
ных, — будет матрицей-столбцом, который |
мы обозначим через у |
В х - у . |
(7,7) |
Уравнение (7,6) перепишется в виде |
|
Су = 4. |
(7,8) |
После того как из уравнения (7,8) будет определена матрицастолбец у, из уравнения (7,7), в котором, таким образом, правая часть окажется известной, можно определить матрицу-столбец х, чем и закончится решение задачи.
Распишем подробно уравнение (7,8), учитывая, что С — нижняя треугольная матрица:
са 0 |
0 |
0 . . . 0 “ |
У\ |
” <*Г |
|
|
|
С21 |
С |
0 |
0 |
. . . |
0 |
Уз |
|
|
22 |
|
|
|
|||
С81 |
С22 |
С33 |
0 |
. . . |
о |
Уз |
(7,9) |
|
СП2 |
СПЗ |
СП* ‘ ■ |
СПП— |
_ Уп_ |
1 . |
Здесь элементы сц (», } = 1,2, . . . , л) иззестны, так как матрица А коэффициентов при неизвестных считается уже разложенной на произведение двух треугольных матриц С и В.
Перемножив матрицы в левой части (7,9) с учетом условия
равенства двух |
матриц, |
получаем такие |
уравнения для определе |
|||||||||
ния неизвестных ух, у2, . . . |
. У„- |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сиУ\ — |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
СглУх “Ь С22у2= |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
съхУх + |
СзгУг + |
сззУз ™ ^з> |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7,10) |
|
ск,1 Ух + |
*• • + ск%к_2ук_г + ск,*_,*/*_, + |
сккук — йк, |
|||||||||
|
|
сл91 + |
с*ъУ2 + |
спзУз + |
• *• |
+ |
смуп = йя. , |
|||||
Из |
этой системы |
уравнений, |
|
начиная |
с' первого, получаем зна |
|||||||
чения |
неизвестных у-. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
из |
1-го уравнения |
ух — ^ |
; |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
_<?* — ° * х У х . |
|
|
|
|
||||
из 2-го уравнения у2 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
из |
3-го уравнения |
у3 _ Аз |
— |
С)хУх — |
сз*У * . |
|
|
|||||
из к-го уравнения |
|
“ |
|
|
|
с» |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
А к — |
с кху х — |
с н У * |
— |
с ю У з — |
• • • — |
с*. к - х У к - 1 |
||||
|
Ук----------------------------- йй |
|
|
|
|
|||||||
и, наконец, из |
л-ого |
уравнения |
|
|
|
|
|
|
||||
|
„ |
— спхУх — |
сп *У * |
|
СпзУз |
* * * ~ |
сп> п — хУа— Х |
|||||
|
----------------------------- ^ |
|
|
|
|
|||||||
Все эти формулы можно объединить в одну |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
У, = |
|
|
|
|
|
|
(7.11) |
|
После того |
как |
все |
у, |
(I = |
1, 2 , . . . |
, л) определены по фор |
||||||
муле (7,11), их надо подставить |
в уравнение (7,7), в котором все |
|||||||||||
элементы Ьц (I,} = 1, 2, |
. . . |
, л) верхней треугольной матрицы В |
||||||||||
уже известны, так как, повторяем еще |
раз, что матрица А пред |
|||||||||||
ставлена как произведение двух |
треугольных |
матриц. |
~ 1 |
Ь12 |
&13 |
• |
• |
• |
Л |
*1 |
У\ |
0 |
1 |
Ьгз |
• |
• |
• |
Ь2п |
Х 2 |
Уг |
0 |
0 |
1 |
. . • |
^зл |
*з |
Уз |
||
0 |
0 |
0 |
|
|
|
I К-г.п |
ХП-1 |
Уп-X |
_0 0 |
0 |
|
|
|
0 * |
- х п _ |
—Уп — |
|
Все диагональные элементы матрицы В равны I. Умножив матрицы |
||||||||
в левой части |
уравнения, |
получим |
матрицу-столбец, а учитывая |
условие равенства двух матриц, будем иметь такую систему урав нений
Х\ 4" &12хг + ^13*3 4“ |
|
**■4" ^\ПХП= Уь |
|
|
|||||
|
Х г + Ъ чъХ г + |
|
• • •4- Кпхп = |
Уь |
|
|
|||
|
|
ХЪ4- |
|
• • •4- |
пхп = |
Уз» |
, |
п о. |
|
|
|
|
+ |
&Л-1 , пхп = |
Уп-1' |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
*п = Уп- |
|
|
|
Начиная решение этой системы уравнений с последнего, по |
|||||||||
лучим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
хп |
Уп |
|
|
|
|
|
|
|
|
Хп—1 в |
Уп—1 |
1»п*п* |
|
|
|
|
|
||
*3 ~ Уз— &34Х 4 -- |
Ь & Х 5 - - - |
• • •-- |
Ь 3пХ п \ |
|
|
||||
Х\ = |
Ух — Ьпх2— Ьих3 — --------Ь1пхп. |
|
|
||||||
Общая формула для |
определения х4 (I = |
1,2, |
... , п) |
запишется |
|||||
так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*, = |
</,— |
5 |
|
Ь,кхк. |
|
|
(7,14) |
|
|
|
|
*^/+1 |
|
|
|
|
||
Для удобства напишем рядом формулы (7,11) и (7,14) |
|
|
|||||||
|
|
|
/—1 |
с!кУк |
|
|
|
|
|
|
|
*!— 2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
к~\ |
|
|
|
|
|
У, =
-------------- ;
П
= у*— „ Е . . К Я-/+1
По формуле (7,11) элементы д( находятся так же, как н эле менты Ь(/ (< < /) верхней треугольной матрицы по формулам (6,2 1 ). Ниже приводится так называемая компактная вычислительная схема для применения метода Гаусса решения линейных систем алгебраических уравнений (табл. 1).
Таблица 1 указывает компактную схему решения системы ли нейных алгебраических уравнений. Приведенный аппарат формул для решения системы линейных алгебраических уравнений по спо собу Гаусса приводит к такому простому правилу:
|
1. |
Заготавливаются схемы, аналогичные схеме на стр. 187. |
|
|
2. |
Вычнслення ведутся в такой же |
последовательности, как |
н |
в схеме на стр. 155: сначала определяются элементы столбцов, |
||
а |
потом элементы строк, т. е. элементы |
первого столбца, элементы |
первой строки; элементы второго столбца, а потом элементы вто
рой строки; |
элементы третьего столбца, а потом элементы третьей |
строки и т. д. |
|
3. Чтобы получить элементы, расположенные на главной диа |
|
гонали или |
ниже ее, берется соответствующий элемент матрицы |
А и из него |
вычитается сумма произведений элементов, располо |
женных в той же строке и в том же столбце, что и вычисляемый элемент, причем произведения берутся так, что умножается первый элемент в строке на первый элемент в столбце, второй в строке— на второй в столбце р т. д.
4. Чтобы получить элемент, стоящий над главной диагональю, поступают так же, как указано в п. 3, но полученное от вычитания число надо еще разделить на диагональный элемент той же строки,
вкоторой стоит вычисляемый элемент.
5.Искомые неизвестные вычисляются в таком порядке:
*«, хг, х2, хи
т. е. так называемым «обратным ходом» по формуле (7,14)
П
Если вычисления ведутся с помощью арифмометра или клавиш ной машины, то элементы в табл. 1 получаются без каких бы то ни было промежуточных записей.
Все вычисления должны быть проконтролированы. Контроль осуществляется так: для него отводится последний столбец и по следняя строка вычислительной схемы. Последний столбец делится на две части: верхнюю и ннжнюю (см. табл. 1). Элемент верхнего
столбца, который мы обозначим через |
равен сумме элементов, |
стоящих с ним в одной и той же строке, |
|
/, - $ « / / + <*/•
|
Т а б л и ц а 1 |
КОМПАКТНАЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ СХЕМА ПРИМЕНЕНИЯ СПОСОБА ГАУССА |
__________ |
*| |
|
*г |
|
«и |
|
«1* |
|
«21 |
|
а» |
|
«31 |
|
032 |
|
«4. |
|
«42 |
|
«И —«11 |
\ |
к — ?1* |
|
"1* ~ ' |
|||
|
|
«и |
|
сч —«21 |
сгг—агг— | |
||
— а21^12 |
|||
|
|
||
II |
с? |
«32~«32— |
|
—а31^12 |
|||
|
|
||
II |
|
«42= «42— |
|
|
|
—°41^11 |
Х\—У\—б^Х*-*- Хг^Уг—
—^1Л —^14*4 6*3X3 6*1X4
*л
«13
«23
«33
«43
ь - ? й «13 “ Г“
«11
йв = а*> ~ см У
«22
«33“ «33““ |
I |
—«зАз—«3362З |
«43—«43—С41б13 —«4*6*3
х»=Уз—Ь,1Х1
*4 |
4 |
Контрольный столбец |
и и */ |
||
|
|
1 |
«14
«24
«34
«44
ь - Ь~« «14 —«11
к __ «*4 — С2|6ц 14 _ СМ
634 = «34—««1614—«326*4
«33
|
|
|
/| = «11+«12+«13+«14+^1 |
|
|
<к |
/*=«21 +«2*+«23+«*4+^2 |
||
|
|
|
/з = «31+ «32+«33+«34+^3 |
|
|
|
|
Л =«41 +«42+ «43+«44+^4 |
|
|
у‘ = |
^ |
* |
- Ь . |
|
1 |
о„ |
||
|
|
«22 |
|
«22 |
Уз — |
^з—«31У1—«з1У1 |
к _ N |
«31^1 — «32^2 |
|
|
- |
*• |
ъ ---------- |
|
|
|
«33 |
«44 —«44—С«1бм— |
1 |
. |
у* = |
^ |
—«41^1—с*1^1^с49^3 |
_ Ла—СаМ —с**И*—с*1У» |
|||||
—«426*4—«43634 |
|
|
«44 |
4 |
«41 |
|
|
|
|
|
*4=У4
Элементы же нижнего контрольного, которые мы обозначим через к(, получаются, как и элементы верхней треугольной матрицы, т. е. по формуле
I* с//*/
к,-
Контроль состоит в том, что элементы контрольного столбца должны быть равны сумме элементов, стоящих в той же строке над главной диагональю. Например, в схеме элементы контроль ного столбца должны быть равны:
** 1 + ^2» 4* Ьи + Уг<
^ з = 1 + ^э« + Уз<
“ у*-
Контроль должен осуществляться после вычисления каждой строки.
Т а б л и ц а 2
*1 |
|
|
|
|
*4 |
|
|
и |
и |
к ( |
3 |
|
2 |
- 1 |
5 |
|
— 8 |
|
1 |
|
|
1 |
|
I |
— |
I |
1 |
|
— 4 |
— 2 |
|
|
1 |
|
— I |
|
1 |
2 |
|
0 |
|
3 |
Г< |
|
|
|
|
|
||||||
2 |
|
— 3 |
— |
I |
3 |
|
— 15 |
— |
14 |
|
3 |
1 |
2 |
|
1 |
5 |
|
8 |
|
1 |
|
у |
|
3 |
У |
|
3 |
|
т |
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
|
т |
— |
2 |
- 2 |
|
- 4 |
|
— 7 |
|
|
|
' |
|
|
|
|
|
|
*/ |
|
|
|
5 |
|
' |
+4 |
|
|
|
9 |
|
I |
|
— 2 |
|
2 |
|
|
||||
|
" У |
|
|
Т |
|
|||||
2 |
|
~у |
- 9 |
+4 |
' |
— 2 |
|
— |
1 |
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
5 |
— 2 |
|
! |
|
|
|
|
|
|
У> |
|
|
|
I I I ■*»
Задача 7,9. Решить по способу Гаусса систему уравнений
3*! + 2* 2 — * 3 4- 5*4 = —8;
— Х3 + *4 = —4; XI — *2 4- Х3 + 2*4 = 0;
2*| — 3* 2— * 3 4- 3*4 = — 15.
Ре ш е н и е . Используя указанный аппарат формул (7, 1 1) н (7,14),
стакже схему, приведенную в табл. 1 на стр. 187, располагаем все вычисления, как указано в табл. 2 , стр. 188. (Вычисления про ведены в простых дробях для упрощения проверки по ходу реше ния. Дальнейшие задачи решаются в десятичных дробях).
Задача 7,10. Решить по способу Гаусса систему уравнений
|
|
2*1 4~ *2 |
3*з 4~ 5*4 = |
18,9012; |
|
|
|
||
|
|
*1 — *г 4* * 8— 3*4 = |
14,0800; |
|
|
|
|||
|
|
3*1 4- *2 — *з 4- 2*4 = |
—2,2954; |
|
|
|
|||
|
|
5*1 4- 2*2 — 3*а 4- *4 = |
—6,3764. |
|
Таблица 3 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
х2 |
** |
|
* 4 |
|
|
<1/ |
1/ и к,- |
|
2 |
1 |
|
|
5 |
|
|
18.9012 |
23.9012 |
|
1 |
— 1 |
1 |
|
—3 |
|
|
14.0800 |
12.0800 |
|
3 |
1 |
—1 |
|
2 |
|
—2.2954 |
2.7046 |
|
|
5 |
2 |
- 3 |
|
1 |
|
-6,3764 |
—1.3764 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
//♦ |
2 |
1 |
0.5000 |
-1,5000 |
|
2,5000 |
|
|
9,4506 |
11.9506 |
|
1 |
—1.5000 1 |
-1.6667 |
|
3,6667 |
|
-3.0863 |
—0,0863 |
|
|
3 |
—0.5000 |
2.6667 |
1 |
—1.3750 |
|
—12.0717 —12.4467 |
||
|
5 |
—0.5000 |
3,6667 |
—4,6251 |
1 |
|
2,3590 |
3.3590 |
|
|
3.5359 |
—26.4498 |
—8.8281 |
|
2.3590 |
|
|
|
|
|
* |
* |
I |
|
I |
|
I |
I |
|
•*1 |
** |
*» |
* 4 |
V I |
Л/ |
Р е ш е н и е . Для решения используем компактную схему, при веденную на стр. 187, в которой как уже указывалось, использо ваны формулы (7,11) и (7,14). Последний столбец отведен для контроля. Читатель должен проделать все вычисления с помощью арифмометра или настольной клавишной вычислительной машины. Все вычисления помещены в табл. 3. на стр. 189.
Задача 7,11 (для самостоятельного решения). Решить-систему уравнений
0,8320л;, + 0,4670*2 + |
0 |
+ |
0 |
+ 0,0155** = |
0; |
||||
0,4670лс, + |
1,5160*2 + |
0,0467*, + |
0 |
+ |
0,0294*» = |
—0,302; |
|||
0,0155*, + |
0,0294*2 + |
0,0561*, + |
0,0561*, + |
0,0283*» = |
—0,634; |
||||
0 |
+ |
0,4670*2 + |
1,7850*, + |
0,5120*, + |
0,0561*» = |
— 1,163; |
|||
0 |
+ |
0 |
+ |
0,5120*, + |
1.4720*, + |
0,0561*» = — 1,977. |
О т в е т . *, = 0,378; *2 = 0,0485; *,=0,184; *, = —0,580; *» = = —21,7.
Задача 7,12 (для самостоятельного решения). Решить систему
уравнений |
|
|
|
|
*1 + |
*г + |
+ |
*» = |
3; |
*, + |
2*2 + 2*, + |
3*, + |
4*» = |
9; |
2*, + |
*2 — 2*, + |
2*4 + |
3*» = |
— 16; |
3*, + |
2*2 — 3*, + |
4*, + |
*» = |
2; |
—*, + |
* 2— 4*, + |
4*, + |
2*» = — 12. |
Ответ. |
*, = |
1; |
*2 — — 1; *, = 2; *, = |
— 2; *» = 3. |
|
|||||||
Задача |
7,13 (для |
самостоятельного решения). Решить систему |
||||||||||
уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10*, + |
л ,— 2*з + |
*, + |
2*» = —20; |
|
|||||||
|
2*| + |
20*2 + |
|
3*, — |
*, + |
3*» я |
15; |
|
||||
|
3 * , — |
2 * 2 + |
2 5 * ,+ |
* , — |
|
2*»»=—20; |
|
|||||
|
— |
— |
2дс2 + |
*, —10*, + |
|
2*» = —40; |
|
|||||
|
2*| + |
2*з + 3*, —4*, + |
50*» » —75. |
|
|
|||||||
О т в е т . |
*, = |
—2,411; |
* ,= |
1 ,439; |
* ,= —0,633: |
*, = 3.664; |
||||||
*» = — 1,130. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача |
7,14 (для самостоятельного решения). Решить |
систему |
||||||||||
уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 .5 * ,+ |
0 |
+ |
|
|
* ,+ |
1,023*,= 4,725; |
|
||||
|
• .5 * ,+ |
х2 + |
0 |
+ |
3,702*, = |
3,402; |
|
|||||
1,273*, — 2,752*2 + |
3,208*,— 1,305*, = |
2,709; |
|
|||||||||
|
2*, + |
* 2 + |
|
|
*, + |
4,007*, = |
1,231. |
|
||||
О т в е т . *, = |
— 14,980; |
* 2 = |
-9,682; |
|
*, = 2,390; |
*, = |
9,604. |