книги / Практические занятия по высшей математике. Численное решение алгебраических и трансцендентных уравнений, матричное исчисление, векторный анализ и интегрирование линейных дифференци

Опять-таки определитель этой системы равен нулю, независимых уравнений в ней два. Решая систему из первого и второго урав­ нений, находим, что

Ь13= (4 - 4 К б) к; Ьгз =_(4 — 4 К б) к; Ь33= (16 + 4 Кб)к.

Так как собственные векторы определяются с точностью до постоян­ ного множителя, то, полагая к = 1 в выражениях для Ьи Ь2 и Ь3, получаем матрицу собственных векторов

О 16 — 4 К б 16 + 4 К 6

Убедимся в выполнении первого свойства симметричных матриц: составим скалярные произведения собственных векторов

+ (16 — 4 К б) (16 + 4 Кб) = 0.

Таким образом, матрица (8,20), составленная из собственных векторов симметричной матрицы А, является ортогональной.

Теперь пронормируем собственные векторы Ьи Ь2 и Ь3 и убе­ димся в выполнении второго свойства симметрических матриц, указанного в предыдущей задаче.

У 6 + 2 / Г _

Наконец, для третьего собственного вектора нормирующий мно­ житель

М* —

У 6 — 2 / б _

Матрица Ь нормированных собственных векторов имеет вид

Легко проверить, что и эта матрица ортогональна, так как

Тем самым выполнено и свойство 2. Теперь легко проверить, что

Ь— Е,

а

т. е. выполняется и четвертое свойство ортогональных матриц. Выполняется и свойство 5: все собственные значения задан­

ной симметрической матрицы — действительные числа.

Задача 8,4 (для самостоятельного решения). Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

'3 2 Г 2 4 2 .

. 1 * 2 3 .

Промежуточные результаты:

1. Характеристическое уравнение

X» — ЮХ» + 24Х— 16 = 0.

2. Собственные значения матрицы

X, = 2; Ха = 4 + 2 У~2; Х3 = 4 — 2 ^ 5 ’.

3. Система уравнений для определения собственных векторов

Второй собственный вектор

\'4 + 2 У Ц Ьг - к А 4 4 - 4 •

| . 4 4- 2 У 5 ]

=20768 — след матрицы А*.

4.По формулам (8,9) определяются коэффициенты характеристи­ ческого уравнения:

X1744 — 20768) = 0.

5.Характеристическое уравнение

С о д е р ж а н и е . Преобразование характеристического урааиения методом академика А. Н. Крылова, Теорема Кзли — Гамильтона.

1. МЕТОД АКАДЕМИКА А. Н. КРЫЛОВА ДЛЯ РАСКРЫТИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ В ВЕКОВОМ УРАВНЕНИИ

Академик А. Н. Крылов указал удобный метод раскрытия опре­ делителя в левой части уравнения (8,6). Сущность этого метода заключается в том, что определитель путем алгебраических преоб­ разований приводится к такому виду, который позволяет его легко вычислить.

Трудность раскрытия определителя состоит в том, что неиз­ вестная величина X входит только в диагональные элементы. Мето­ дом А. Н. Крылова определитель в левой части (8,6) преобразу­ ется так, что неизвестные величины X оказываются не диагональ­ ными его элементами, а элементами столбца. Это дает возмож­ ность на основании известных свойств определителей разложить его по элементам этого столбца, довольно просто представить

Здесь же, не вдаваясь в теоретические подробности, мы изло­ жим метод академика А. Н. Крылова и покажем на примерах его применение.

Левая часть векового уравнения (8,6) записывается так:

Если обозначить через а{*/ элементы первой строки к-ой сте­ пени матрицы А, то их просто можно определить по формуле при­ ведения

Ап =

2. После того как первые строки степеней матрицы А найдены, составить определитель такого вида:

в котором степени неизвестной величины Xуже расположены в пер­ вом столбце, а строки степеней матрицы А являются строками минора элемента, стоящего в левом верхнем углу в (9,2).

Этот определитель тождествен определителю левой части урав­ нения (8,6), а раскрыть его значительно проще: его надо только разложить по элементам первого столбца. Получится уравнение степени п относительно X. Решение его и даст собственные значения исходной матрицы. Определитель (9,2) называется определителем Крылова. Преобразованием определителя |Л — ХЕ| в уравнении (8,6) к виду (9,2) обойдены все большие трудности, связанные с его раскрытием.

3. Надо с помощью тождественных преобразований определи­ теля (9,2) внести дальнейшие упрощения в разложение этого опре­ делителя по элементам первого столбца.

Предполагая, что элементы второй строки в (9,2) а!,', а[” , . . . , не равны нулю, разделим элементы столбцов, начиная с третьего, соответственно на а1(|), а}*’ . . . . а*)}, что равносильно вынесению

Поступая так же с элементами пятого и следующих столбцов, получим в конце концов определитель такого вида:

Следует помнить, что в правом нижнем углу определителя дол* жен получиться след 8рА матрицы А. Заметим, что чем выше порядок матрицы А, собственные значения которой отыскиваются, тем эффективнее описанный метод, предложенный академиком Кры­ ловым.

Переходя к уравнению (8,6), мы видим, что в его левой части находится определитель (9,8), множителями перед которым будут указанные выше произведения