Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Практические занятия по высшей математике. Численное решение алгебраических и трансцендентных уравнений, матричное исчисление, векторный анализ и интегрирование линейных дифференци

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

15.42 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 424 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Наши ожидания не оправдались, так как остаток не поменял знака. Но очевидно, что значение х = —0,5784 является лучшим приближением, чем значение х = —0,5783, поскольку остаток уменьшился. Вычисление следующего приближения по формуле (1,4) приведет нас к

х»**х2— ц х 2)

но значение дроби		в правой	части возьмем равным			дроби	(С), т. е.
0,0174. У нас х2=		—0,5784;	/(лс2) есть остаток			от деления /(*)
на х + 0,5784.	В таблице ф) он уже			вычислен и		равен	+0,0115
и /(-0 ,5 7 8 4 ) =	+0,0115.
Для х3 получаем
	' *Э = —0,5784 — 0,0115 • 0,0174,
	=	—0,5784 — 0,0002;		х3= —0,5786.
Разделим теперь левую часть уравнения					на х +	0,5786	и опре
делим остаток	от	деления;
1		—10	44		29
—0,5786		—0.5786	6.1208		—28.9999
1		-10,5786	50.1208		0,0001 = / (—0,5786)
					(остаток от деления)

Итак, / ( —0,5786) = 0,0001 > 0. Вычислите самостоятельно оста ток от деления левой части уравнения на х + 0,5787. У вас полу чится —0,0055, т. е. / (—0,5787) = —0,0055 < 0, на концах отрезка (—0,5787; —0,5786) функция /(*) имеет разные знаки. Так как величина —0,5786 отличается от —0,5787 на 0,0001, то требуе мая точность достигнута. Принимаем х = —0,5786.

Применим теперь для отыскания того же корня способ Нью тона (способ № 1) в модифицированном виде, т. е. в формуле (1,3) знаменатель дроби / ' (х„) будем считать одним и тем же для всех приближений.

Корень у нас уже отделен, и мы знаем, что он находится на отрезке (—0,66; —0,56). В способе Ньютона, как указывалось, за первое приближение корня следует принять тот конец этого отрезка, на котором знак функции и знак второй производной одинаковы. Находим вторую производную от левой части уравнения.

/(*) = *»— 10х* + 44* + 29.

Первая производная

П * ) = 3*г - 2 0 * + 4 4 (

а Г{х) — 6х — 20. На отрезке (—0,66; —0,56] /" (дс) всюду отри* цательна. Функция же / (х) отрицательна на левом конце этого отрезка. Следовательно, совпадение знака функции со знаком второй

производной происходит на левом конце	отрезка, а потому за пер*
вое приближение к искомому корню	принимаем х2= —0,66.

В таблице (А) уже вычислено значение / (х^ = / (—0,66) = —4,69.

Теперь следует найти				Г(*д) =		V (—10.66) и сохранить его значение
для всех последующих приближений, так								как мы используем спо*
соб Ньютона		в модифицированном					виде.	Делением		/ '( х) на х +
+ 0,66 найдем		значение			(—0,66). По схеме Горнера получаем
			з			—20			44
— 0.66						—1.92			+14.4672
			3			—21.92			58.4672 =		/' (—0.66)
									(остаток от деления)
Итак,	сохраняя два			знака после запятой, / '( —0,66) =							58,47. Это
значение	производной			будем		брать и в последующих					приближе
ниях.								в ней п — 1,
Используем		формулу			(1,3)	и,	полагая	в ней п — 1,			получаем
					х2 = XI —		/(*!)
У нас х, = —0,66; / (х,) = -4 ,6 9 ;							/ ' (*,) =		58,47;
	*а =		-0 ,6 6 —			=	—0,66 +		0,0802;
					х2=	—0,5798.
Для третьего приближения следует вычислить /'(—0,5798).
Делением / (х) на			х +	0,5798 получим
		1		- 1 0			44		29
—0.5798	1 >			—0.5798			6.1342		—29.0678
	1 >			-10.5798			50.1342		—0,0678=/(—0.5798)
				-10.5798			50.1342		—0,0678=/(—0.5798)
Полагая в формуле (1,3) п = 2, найдем
					х3— х2		Н*г)
					х3— х2		Г (**)'
							Г (**)'
Но мы условились, что знаменатель дроби									в правой		части фор*
мулы (1,3) будем			брать		одним и тем же			во всех приближениях»
а потому	возьмем		его	равным / ' (х) = 58,47.					Тогда	х2 ——0,5798,
/( * г) ~ —0,0678,			а
дг3 = —0,5798 —					= -0,5798 + 0,0012; х, =					-0,5786.

Это тот же	корень,	который был найден по способу № 2.
Закончим теперь решение		этой задачи. У нас * — —0,5786.
В таблице	(Е) уже	проведено деление	/(*) на х + 0,5786,
и коэффициенты частного от деления равны 1,			— 10,5786 и 50,1208,

а само частное будет х»— 10,5786* + 50,1208. Приравниваем его нулю и решаем квадратное уравнение

х» — 10,5786* + 50,1208 = 0; * = 5,2893 ± У 27,9767 — 50,1208;

*= 5,2893 ± V 22,1441/;

*= 5,2893 ± / • 4,7058.

Итак,

*! = —0,5786;

•*2 = 5,2893 + 4,7058/;

*3 = 5,2893 — 4,7058/.

Издесь отметим, что уравнение в соответствии с правилом Декарта действительно имеет только один отрицательный корень.

Пр о в е р к а .

*1 + *2 + *з ^ Ю (верно!), так как сумма корней по (1,28) должна

быть равна—“0		а у	нас
	а, =		— 10;	а„ = 1 и — — =		10.
					<*
Найдем	произведение корней: ** ♦ х2 • *3 =					—0,5786 • (5,2893 +
+ 4,7058/)	• (5,2893 — 4,7058/) = —0,5786 х 50,1212 = —29,0001,
а должно быть —29,			так как	произведение корней по (1,29) равно
(— 1)"22.	У нас	показатель		степени	п = 3;	ап = 29, ав — 1 и
“0
(— 1)"^ =	_ 2 9 .
Оо
Таким образом, проверка дала хорошие результаты.
Решим теперь		этот же пример по способу № 4 (см. стр. 9).
1. Составляем		квадратное уравнение вида (1,10)
	а„-2 =		— 1°;	«*-, = 4 4 ;	ап =	29.

Это уравнение приобретает вид

— 10*» + 44* + 29 = 0.

Умножая обе его части на — 1, получим

10*а — 44* — 29 = 0.

2. Легко убедиться, что корни этого уравнения действительны. Теперь решаем уравнение вида (1,11), в котором у а„_, + 44;

ап — + 29, а само уравнение имеет вид

44* + 29 = 0.

Корень этого уравнения, х = —0,6592 принимаем за первое при ближение искомого корня. Левую часть уравнения делим по спо собу Горнера на х + 0,6592 н получаем

1	—10		44	29
— 0.6592	—	0,6592	7,0265	—
1	—	10.6592	51.0265	29
Составляем уравнение	вида (1,13),		в котором 6Я_ , -* 51,0265,

ая « 2 9 . Это уравнение имеет вид

51,0265*+ 29 = 0.

Отсюда получаем второе приближение искомого корня

х2 ——0,5683.

Теперь делим левую часть уравнения на * + 0,5683 по схеме Горнера:

1	—	10	44	29
— 0.5683	-0 .5 6 8 3		6.0060	—
1	—	10.5683	50.0060	29
			С/1— 1

Затем составляем уравнение (1,16), которое приобретает вид

50,0060* + 29 = 0,

и находим, что третье приближение искомого корня будет

*з = —0,5799.

Продолжая деление, на следующем шаге получаем

—10

— 0.5799

и составляем уравнение

-0 .5 7 9 9	6.1353	—
— 10.5799	50,1353	29

50,1353* + 29 = 0.

Отсюда четвертое приближение

*4 = —0,5784.

Снова деля, получим

1	-1 0	44	29
—0.5784	-0,5784	6.1185	—
1	-10.5084	50.1185	29

и для определения следующего приближения будем иметь урав нение

50.1185x4-29 = 0; х, = —0.5786.

Следующее приближение снова даст хл = —0,5786 (проверьте самостоятельно). На этом значении мы и остановимся.

Итак, х = —0,5786. Это то же значение, что и полученное раньше. Однако вычислительная работа была значительно мень

шей и	чрезвычайно простой. Здесь способ № 4 быстро привел
к цели.	Он очень прост в применении.

С о д е р ж а н и е . Численное решение алгебраических уравнения

Задача 2,1 . Найти с точностью до 0,00001 корни уравнения

х3 — Зх* — 17*+ 22 = 0.

Р е ш е н и е .

Решим

эту

задачу

по

способу

№ 4. Составим

квадратное уравнение вида ( 1 , 10)

— Зх2 — 17х +ч22 = 0.

Корни

этого

уравнения,

как нетрудно

видеть,

действительны,

а потому

решаем уравнение (1,11),

которое

дает — 17*+ 22 =

откуда X] =

1,294118

(вычисления

будем вести

с одним запасным

знаком). По

схеме

Горнера

делим

левую

часть

уравнения

на

к — 1,294118

и получаем

—3

—17

1,294118

1.294118

—2.207613

—24.856918

—1,705882

—19,207613

— 2.856918

^1—I

Составляем уравнение вида (1,13). У

нас

&„_, = —19,207613,

а свободный член уравнения ап -» 22 и для

определения второго

приближения

имеем

— 19,207613* +

22 = 0;

второе приближение

х2= 1,145379.

Делим

левую

часть

уравнения

по схеме

Горнера на х — хг,

т. е. на х — 1,145 379.

- 3

—17

1.145379

— 2.124244

—21.904507

—1.854621

—19.124244

+0.095493

е0 -1

(обратите внимание		на	то, что	остаток уменьшился					по абсолют
ной величине и изменил знак, однако он еще велик).
Теперь	составляем		уравнение		(1,16)	в	котором ся-1 =				—
— 19,124244 и по-прежнему ап = 22.					Получаем
		— 19,124244дс +			22 =	О,
а третье приближение лэ — 1,150372.
Делим	/(л) на х — 1,150372			по схеме		Горнера:
	1	- 3			-1 7				22
1.150372			1.150372		2.127660				—22.003924
	1	—1.849628			—19,127660				— 0.003924
					4 -1				(остаток от
									деления)
Решаем	уравнение		(1,16)	которое		теперь		принимает			вил
— 19,127660л + 22 =		0.	Отсюда л4 =		1,150167.
Новое деление по схеме Горнера /(л)						на	л — 1,150167			дает
	1	—3		-1 7			22
1.150167			1.150167	— 2.127617			—21.999954
	1	—1.849833		—19.127617			+ 0.000046
							(остаток от
							деления)
Остаток от деления			изменил знак по сравнению с предыдущим
и оказался теперь		достаточно малым. Мы брали						четвертое при
ближение	равным л4 =		1,150167. Округлим				его до		пяти	знаков
и возьмем л — 1,15017.			Произведем		два	деления:		1) Пх)		на л —

—1,15017 и 2) /(л) на л — 1,15016. Первое деление дает

1	- 3	-1 7	-2 2
1.15017	1.15017	- 2.12762	—22.00001
1	—1.84983	-19.12762	— 0.00001
	(коэффициенты	частного)	(остаток от
			деления)

и остаток от деления отрицателен.

Деление ((х) на х — 1,15016			дает
	1	—3		-1 7			22
1.15016		1.15016		—2,12761			—21.99981
	1	—1.84984		—19.12761			0.00019
							(остаток от
							деления)
и остаток от деления положителен.							можно взять х =
Таким образом, в качестве искомого					корня		можно взять х =
= 1,15016 или х =	1,15017. Берем			х =	1,15017. Разделим теперь
/( х) на х — 1,15017. В таблице			(/4) уже			найдены		коэффициенты
частного, а само частное		равно
	2 — 1,84983— 19,12762.
Приравняем его нулю и решим уравнение
2 — 1,84983— 19,12762 = 0:
* =	0,92492 ± 1/0,85548+					19,12762;
	._______							(+ 5,39516
* = 0,92492 ± 1/19,98310 = 0,92492 ± 4,47024 =								( _ 3 54532
Таким образом, мы получили следующие корни: хх= —3,54532;
* ,= 1,15017; *, =	5,39516.
П р о в е р к а :
Сумма корней
	*1 +	з + з =		+3,00001,

т. е. на одну стотысячную больше того, что должно было полу читься. Произведение же корней

*, * *а • *э = —21,99995

вместо —2^2, что также следует признать хорошим результатом. Задача 2,2. Найти корни уравнения

		/ () = з _			Ю.91*2 +		38,52* — 44,36 =		0.
Р е ш е н и е .			По	правилу		Декарта		заключаем,	что отрицатель
ных корней		уравнение			не имеет,		так	как нет ни одного сохра
нения	знака	в	ряде	коэффициентов (-(------1— ). Положительных
корней	будет		три	или	один,	так	как	число перемен		знака	равно
трем. Испытаем в				качестве		корней		числа 2 и 3, а		/ (2)	и / (3)

за

найдем	как остатки	от деления /(х) соответственно на х — 2 и на
х — 3.	Делим по схеме Горнера:
	1	—10.91	38.52		—44.36
	2	2	—17.82		41.40
	1	8.91	20.70		—2.60 = /(2)
				(остаток отделения)
Итак, /(2) = —2,60
	1	—10.91	38.52		-44.36
	3	3	-23.73		44.37
	1	-7.91	14.79	+	0.01 = /<3)
				(остаток от деления)
и /(3) = +0,01. Поскольку			((2) и	/(3)	имеют различные знаки,

в отрезке [2; 3) имеется корень, причем, так как остаток от деле

ния 1(х) на		х — 3 значительно меньше по абсолютной				величине,
чем	остаток	от деления	на х — 2,	мы	заключаем, что корень
имеет значение, близкое к 3.
Полезно		исследовать,	не будет ли уравнение иметь			два близ
ких	корня. Используя указания на			стр.	15, разделим	/'(х ) на
х — 3. У нас /'(х ) = 3х2— 21,82x4-38,52.					Деление дает
		3	—21.82	38.52
		3	9	-38.46
		3	—12.82	0.06 = /'(3 )

Поскольку остаток от деления мал, делаем заключение, что число, близкое к 3, является корнем и производной /'(х). Это говорит о том, что уравнение имеет два близких корня.

Находим корень уравнения /'(х ) = 0, т. е. уравнения

? (х) = Зх* — 21,82х 4- 38,52 = 0.

Решение будем проводить по способу Ньютона. Первым прибли жением корня будем считать х = 3. Двукратным последователь ным делением левой части последнего уравнения на х — 3 найдем остаток от деления, причем первый остаток даст числитель,

а второй — знаменатель		дроби	в формуле (1,3). Деление		произво
дим	на одной таблице:
	13	-21.82		38.52
	3	9		—38.46
	3	-12.82		+0.06 = у (3)
	3	9
	13 —3.82 = <р'(3)
Считая в формуле (1,3) первым				приближением число	3, най
дем,	что корень уравнения		(х) =	0, который обозначим буквой а,
равен

а =3,0157.

Теперь воспользуемся формулой (1,22, стр. 15), чтобы полу чить два близких между собою корня уравнения. Для того ч-/обы воспользоваться этой формулой, нам следует найти

		На) и 4 Г И -
Разделим /(*)	на х — а три		раза последовательно. Остаток от
первого деления	даст { (а),		а остаток	от третьего деления
-у /'(а). Деление	по	схеме Горнера произведем на одной таблице:
	1	—10.91	38,52	—44.36
3.0157		3.0157	—23.8068	44.3706
	1	—7.8943	14.7132	1 0.0106= ((а)
3.0157		3.0157	—14.7124
	1	4.8786	\| 0.0008 = / ' ( а )
3.0157		3,0157
	1	— 1,8629 = -у Г (о)

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 424 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги