книги / Прогнозирование прочности и анизотропного состояния деформированных конструкционных материалов

Аналогичным путём вычисляется функция р

для зоны опере­

жения - по формуле (2.30) с верхними знаками.

Применяются те

же подстановки (2 .33) и (2.34) и те же разложения в

рад.

Кон­

станта Cf определяется из граничного условия при

с

помо­

щью формулы (2 .9 ) .

Получаем функцию, которая после объединения с

(2.37)

при­

мет вид

+ 2(Л ^Т Ъ

Н

*

г ) '2 .3 8 )

л а . Это позволило избежать математичеоких трудностей»

но для

повышения точности расчетных формул теперь требуется

уточнить

полученную функцию первого приближения (2

.3 8 ).

•Упростим функцию (2 .38) на основании

численного

сравнения

пределах зоны опережения выражение (/^г+//+ &)[i - (А<-&кЕ)/А*]

+

+ &(/Vй + 3^/+2 )[1- (А^-дА, )/Ал] D (2 .38) мало отличается по вели­

чине от МК .

Приближенное вычисление интеграла (2.32) выполним

иначе:

вначале преобразуем с помощью подстановки (2 .3 3 ), затем

проин­

тегрируем по частям и вычислим получаемый при этом интеграл

с

помощью разложения функции Т л О -О

в приведенный выше

быстро

сходящийся ряд. Для зоны опережения

используем (2.32) с

нижним

Знаком перед N :

рядке уточнения функции р /ъ ввести в нее хотя

бы линейный за­

кон деформационного упрочнения, т . е . вместо

(среднего) вве­

сти

32

'т1

Ч*т< ~ ^ТО

а X'

(2.40)

«( +«i

102, 103,

И ?]

с

использованием

аппарата математической

стати­

стики [33, 66] и, в частности, теории корреляции

[68].

Прове­

денный численный

анализ позволил

упростить функцию (2 .3 8 )с од­

новременным повышением ее

точности. В итоге она имеет вид [?0б]:

Ь О ч - Д М Д -

- - . а

Р

(£=0,1). (2.41)

i-ifti - д А.£УА*

В

(2 .4 1 )/№ -/(Д и) , где

JiH -

высота полосы

гьк

в нейтраль­

ном сечении очага деформации,

вычисленная по полуэмпиричзской

формуле

Нц—л

Ав=-

12. 12)

«- /(лА.^ А ,)(0,М $ , / $ , ) 8

’ *

Зная Аи , легко определить лъ из условия равенства значе­

ний функции (2.41) для зон

опережения (

i

= 1)

и

отставания

( i = 0 )

в точке

Ад.“ Л.и*

9VBCJ

Ч

ДА,/А,

)

- *“М-(Аг аА,)/Ач/

После преобразований

получаем формулу для вычисления по­

казателя

степени в функции

(2 .4 1 ),

записанной для

зоны

отста­

вания (

I * 0):

_

,и ь ±

_±_у

Г/

JL.- а А Л / /

А—ЛА..Л

Ч »

ц „

^

Л-ЛГ/

П.Л71

U .4 3 )

9УрГ/

9ур

в которой коэффициент ль равен первому члену в фигурных

скоо-

ках, поделенному

на величину

Д

^.чгЬл. .

Лв

Текущая высота полосы

/ьк с

учетом

упругого

сплющивания

а х- а ( « , ) 4 ^ ; ; ^ ° Ч а £ ,

(2.44)

где

A/if

«функция, аппроксимирующая уп­

ругую линию контакта м й элла с

валком.

Ahe t

Теперь остается получить

формулу для вычисления поправки

которая, по существу, относит всю упругую деформацию валг

лютно жестким, после чего функция/(« * )в формуле (2 .4 4 )

опреде­

ляет распределение упругой деформации меаду

валком

и

полосой.

Учитывая этот физический смысл поправки

,

воспользуемся для

ее вычисления готовой зависимостью из решения

контактной зада­

чи о вдавливании жесткого цилиндра в упругую

среду

при

наличии

(0,5 - 0,2 ib

)/R

^

'

где 0=sO /n :)arctg [O -2 ,))/[2 ^ O -,J)]]

,

-

коэффициент Пуассо­

на прокатываемого металла.

п,т

I

I

I

I

. ___ i___L___ I

О

0,1

0,1

0,3

0,4

0,5

0,6

0,1

IL

(л) и номограмма

(5)

для определения

формулу

(2 .4 6 ).

Функция 9

табулирована

[21,

табл .1]

для

значений

-^ = 0,25

и 0,30 .

Если теперь равенство (2.21)

решить относительно

Д/ь-

и

подставить в неге выражение для оц

по формуле

(2 .4 5 ),

то

по­

лучим

A k t - (Л,0- /<,,)((- 0)2( G£- C£/ I.

( 2 .4.6)

Для-удобства'пользования формулой (2.46) автором номогра­

фированы и представлены на рис.З

значения

6 и (1-9) в широком

диапазоне р и

,

охватывающем все

технологически возможные

си­

туации [ Н 2 ] .

35

В итоге приходим к следующему алгоритму вычисления

функ­

ций напряженного состояния

бЛ(<**), ^

(«*> , 'СжуСм*) при

про­

катке низких полос:

1)

по формуле (2 .46) вычисляем величину а /ь£ ;

2)

в случае прокатки с натяжением определяем величины ^

( i = 0;

I)

по формулам (2 .7 )

и (2 .9 );

в случав прокатки без пе­

реднего

и

заднего натяжений

б/ « 0 и

согласно

(2 .7 ) и (2 .9)^= !;

3)

определяем координату сечения

входа в

очаг по формуле

радикалом в формуле (2 .4 2 )) и для

зоны отставания

по

(2 .4 3 );

7) определяем угловые параметры очага о*.,, ос

и а+ос^ по фор*

мулам (2 .21) и (2 .2 3 );

8) задаваясь последовательно

различными А (« ж),

вычисляем

связаны

с *z известным законом * c « 6 /V $ );

И )

используя значения показателей степени для

равенства,

(2 .4 1 ),

вычисленные в п .6 ,

и значения

по п .2 ,

определяем

значения

бу («*)« £ (< **) по

(2 .41) раздельно для зоны отстава­

*ГЛ в пя.8-10;

12)

определяем (также вычислением ряда точек)

остальные

две функции, описывающие напряженное состояние,

13)

строим эпюры напряжений 6x (ot*)f бу(<*Л ), ^ у

(«**);

14)

проверяем правильность расчета: пересечение

ветвей эш>

ры p fa x ) MR зон отставания и опережения произойдет

в

точке

ка к экспериментальной кривой, и включения в

алгоритм

формулы

(2 .47) не требуется. Это хорошо иллюстрирует

р и с .5,

который за­

имствован из

книги

[ ш ] с

добавлением кривой

р(ых),

вычисленной

по приведен­

ному алгоритму для

случая

прокатки

алюминия без

на­

тяжения,

при

‘Сто = 140МПа;

*ст4

= 310 МПа; R -3 9 ,2 5 ш;

fbb = 1 ,6

мм;

А1 = 1 ,32 мм;

Jt = 0 ,3 ;

~ 0 ,0 1 м м .

Наличие

чисто упругого кра­

евого участка

на

экспери­

ментальной кривой рис .5 при

« Л > 5 ° ,

когда /?(«х )<2тж,

не учитывается

ни

предло­

Рис.З. Эпюры нормалышх

на­

женными формулами, ни фор­

пряжений

( / ,

4 -

из

[ Ш ] ) .

мулами

из предшествующих

/ -

экспериментальна»! го дан­

решений.

ным К.В .Мак-Грегора

и

Р.Б.Палма;

наше

3 - расчетная по формулам

Т.фон

Таким образом,

Кармана;

4 -

расчетная

по форму­

решение

плоской

контакт­

лам Д.Р.Бланда и Х.Форда ( J

и *♦ -

не учитывается деформационное уп­

ной

задачи теории

прокат­

рочнение). Эпюра 2 рассчитана по

ки

обеспечивает

хорошую

формулам, полученным

в

настоящей

работе.

сходимость результатов рас­

чета с экспериментальными

я точными расчетными результатами других

авторов,

а

также

об­

ненной деформации и д р .) . Решение удовлетворяет

основной цели

данной работы и вытекающим из нее требованиям,

сформулирован­

ным в начале главы.

рии прокатки задано напряженное состояние деформируемого метал­

ла в виде

функций координат <5* ф , б / ( р

, ^ ij(j) в плоокостиде-

формации.

Плоская деформация происходит

вследствие скольжения

прослоек металла относительно друг друга в направлениях,

пер­

пендикулярных оси Ок координатного базиса

Oijk.

Деформируемый (прокатываемый) металл

будем считать

поли­