Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Прогнозирование прочности и анизотропного состояния деформированных конструкционных материалов

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

15.31 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 197 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Г л а в а 4

АНИЗОТРОПНОЕ Л1Р0ЧНЕНИЕ И УЧЕТ ЭФФЕКТА БАУШИНГЕРА ПРИ ПРОКАТКЕ МАТЕРИАЛА, СЛАБО АНИЗОТРОПНОГО

ВПОХОДНОМ СОСТОЯНИИ

Входе определения функции интенсивности сдвига получены

соотношения, позволяющие далее определить параметры полярной функции анизотропного деформационного упрочнения материала, его

сопротивление деформации в произвольном направлении							и	оценить
эффект Баушингера.
5 4 Л*		Определение параметров функции
анизотропного			упрочнения
при установившемся процессе прокатки
Вычитаем почленно из первого уравнения (3.67)							второе, т .е .
4р(С4-С5/ьг) в		о, но так		как	0, то сразу получаем
		I p l - c f / c f ,						U . I )
или после	подстановки из			(3.66) значений С и С3
		\|j»l-»'6/((5d*+)6).						(4 .2 )
Если	теперь почленно сложить два уравнения (3*67),							под
ставляя в	сумму вместо		р	его значение по формуле		(4 Л ), то по
лучим
(с«-с*		с« b[)k~z			^ яХС4"2С* ^ \|'° ‘ u-3)
Решая уравнение		(4 .3)	относительно		, получим формулу
	(	(С,		h_				(4 .4 )
			-2 0 . (с д- 2 С , % ) ф ) « ^ " 4 ’

в которую вместо Сл подставляются					их значения из	(3 .6 6 ).
Но из	численного решения можно получить, что					а «		1 , 8 ,^ 1 ,
{С\/С%)к/Л « I . Тогда в уравнении					(4 .3 ) можно положить\-a8fcfCjrl

AS и после подстановки в него всех значений Сл по ( 3 . 6 6 ) оно приводится к уравнению вида

4 , h?+

+Я *в 0 ,

(4 .5)

действительный корень которого можно использовать как формулу для вычисления fa. В уравнении (4*5) коэффициентами 4 т ,( nv я = 1 ,2 ,3 ,4 ) являются выражения

я <= т ~ у т ( т г + **)

^=б{[т- ^ +^ГНт+т 4!УТ*	К“/ Ji542+ (8j’
•	, < У*8! г 1 .
e s=8	)5i‘+ie	U .6)

288

Кг/ J056a+i6)a’

Для рэшения кубического уравнения (4 .5 ) воспользуемся ме тодом Кардано (см ., например, [7 2 ], с .120), который заключает ся в том, что с помощью подстановки

		ь - » Л %				(4-7)
уравнение	(4 .5) приводится к		виду, не	содержащему		неизвестного
во второй	степени:
	у Ч З р у + Я у О ,					(4 .8 )
где	P = L * t - . L ( a z f					(4 .9 )
	“	ъ а,	9 \ а , / *
	л _ 1 ( а Л 3 1 а г аъ			а*		(4 ДО)
	ч Z ? \ a - i )		6 a f	1 ZOLK #

Тогда решение уравнения		(4 .8 )	зависит	от	знака дискриминанта
		А ~ р 3+ 0 2 ,				(4 .I I )
причем если он положительный			( Л > 0 ) ,	то	уравнение	(4 .8 ) имеет
один действительный

					(4.12)
и два комплексных корня. Подставляя действительный					корень	в
(4 .7 ), можно получить действительное значение параметра Л .
Если Д < 0 ,	то	все три корня уравнения	(4 .8 )	действительны,		и
в равенство	(4	.7 ) подставляется тот ив	них,	который	окажется

подходящим из физических соображений. Корни имеют следующий вид;

y ^ V \p \ cos<p,

&=2/Нсоз(<р+2яУз), у3-2У1яГс05(^-21г/3),(4ЛЗ)

где

if - -i-arccos (~ q /\p \3/2).

Подставляя соответствующие

а п из (4 .6 )

в равенство

(4 .9 ), в ре

зультате

всех преобразований получим

(4 .14)

i ^

где

3klj

$ы

удобно представить в виде матриц

s100

S102

-Э61/5&* м т Ч т * -ъ )

s«0

$112

-? z

5гоо

$201

$20Z

16 bz

1264

-Щг

-8^з(бг- | )

is т *

■Seio

S211

5ж1г

-16

s220

•S221

(4,15)

аю

5Ц

sst

-ZV5

-1

SjM

$22

-А .

s20

Уъ

Аналогично значение

по

(5.10)

после

подстановки

на (4 .6 )

в результате преобразований приводится к виду

S ,

rtiJT‘

/ L

J J V

054гИ 6);

VT*

Лг/

V I , - i n

. 1 ^

’

(4 Л 6 )

1»0

где

гш

г*.-

представляются

в вице матриц:

пластической деформации налагает следующее ограничение на ско

рость вращения главных напряжений	:
\|Ф'(й)\| ?'(> ,			(4.19)
где ф'и)-с£ФА/си , p'U)~cLpfdt	. Условие (4.19)	определяет
границы применимости деформационной теории пластичности			[40] к
линейной анизотропно упрочняющейся плоскопластлчэской			среде.

Представим это важное условие в развернутом виде, вычислив вы ражения производных, которые в него входят:

дифференцируем по времени функцию Ф(£) по (3 .7 6 ):

Z*		(f5j-&i )zd t				[ d S j ^ ^ j U d t ’
дифференцируем по времени функцию pi t)						по (4 .2 ):
_,/f) ,	dV6/Cm z+i&)_______ i			Г		1806	\| cib
*	d t	~ 2 /6 /0 5 $ г+16Н			05г+16)й] cLi
а) привлекая выражение b из			(3 .3 0 ),		получим		производную
d b /d t		К		¥ №		- №	dT
аЦ	р		V
d t	tU	\I/T*+1/AV		Т 3(1Д2+1/Аа)а d t 1

б) подставляя полученное значение производной db/dt в вы ражение £ '(* ), вычисленное ранее, получим после преобразований с учетом формул (3.30) и (4 .2)

* '	/>(1/Та+1/кя) Tz т *
в) используя значение Т	по (3 .1 9 а), вычислим	отношение

Т'/Т для последнего выражения:

Можем воспользоваться далее формулами преобразования ком понент тензора инкрементальных деформаций при переходе от осей гьОЪ к осям 10j , направления которых выбраны так, что в на чальный момент скольжения они являются главными осями деформа ций:

dej = de^ 3inaa + ^ с о 5 гос,		(4.22)
difij — {denrdel )bln,ZcA.t
где ос«5с/2-(в-*-Ф0) - угол	между направлениями Qj	и Огь в	на
чальный момент скольжения;	d e ^ -d e ^ -is/fid y ^	Тогда по	фор

мулам (4 .22) получим с учетом (4 .21)

(“ * * [ £ -2 (в +Ф0)]-31аЛ[|--{в+ Ф 0)1}»

— £ dfnl соз[я:-^^+Ф 0)]-^ ^ с о 5 ^ (9 + Ф 0)= ^ ^ (б /)со з2 (е+ Ф 0)^б)

dej =3-dei *~^^ip(6,t)co5Z(B^l>)oLBr

dyij - у^у(в,Озьгъ2(в+Ф«)о0.

Отсюда компоненты тензора конечных деформаций подучаются инте грированием инкрементальных кошюнёнт в пределах диапазона на правлений скольжений:

	ptd)		hCi>
е£Я^	тг Ж Ь <?(Q,t)co$Z(6+Q0)d%		^
	'ftW		"AW
Переходя к функции у (£, £,) и пределам			+ £ (£ )	, получим для мо
мента	t :	fid)
	eLa~GJ e	S		(4.23)
	i			(4.23)
	i
	b j e v f	\-fid}		значение У(?>) но
Если теперь в последние выражения додотавить				значение У(?>) но
(3.64)	и разложить тригонометрические функции в ряд Маклорена,
Т6 sin2,(^+Ф,)« sin24^+2 cosЯ Ф » £ s			i n	^ cos 2Ф«£ 3+-..,

ссз2(<; +Ф,)« cos2^ - 2sla 2Ф<5-2 cos 2Ф<£2+^- sin 2Ф,5 *+*••»

Г.

Э+А

i**

4С*Р4

6Р*Ц1Ж

l C*(

4+AJi+ h .

(2+A)(3+A)Y

6+A /J

к COS

IV'

»«+АР /й.+А

3 1Ц

<+A,

ft*

4Cj^ ri+2A.

„3+Л. . (W)(5+A)l l ..

* (Я+АХ4+А)- 3(2+A)l HA

3 4+A(4+AX6+A)ir

4-24

2aji

j Г

I t w

i ) —

йг)йа1А

^ft^'V

Ч Г Т

(c* 2C*P,p Jriw fT

+ [ег (2+А,)-2С4 (,Н Х 4 * А )^ |Л _ _ г ^ \

4Cap4

] \

4Л+ Ak //2Z+Ak

(г+2 AXк ) (3+ к )

+ C1 S+(i-k)pl

l+ /t

'I*

t__tL

4С.РПНЙА

3+A.

t f [|

(4. 25)

(Z+kXk+k)

3(2+A)l )+A

S4+A,

(4+A)(6+A)JjCOSCT'-

Как уже было отмечено

автором в работе

[46],

яэ

получен

ных таким путем выражений компонент тензора конечных

деформа

ций следует, что

если максимальное касательное

напряжение

яв

ляется монотонно растущей функцией времени (удовлетворяется ус ловие (4 .2 0 )), то плоская пластическая деформация прокатывае мого материала определяется его начальным состоянием анизотро пии и напряженным состоянием в данный момент.

При прокатке низких и широких полос, когда выполняется схема плоской деформации, обычно бывает легко вычислить б; иди

ej t т .е . вытяжку или обжатие, прямо из геометрических					харак
теристик процесса прокатки. Следовательно,			уравнение (4 .2 4 ), в
котором		известно, можно решить	относительно		параме
тра к я	таким образом получить из (4.24)		формулу для		опреде
ления последнего параметра функции анизотропного				упрочнения
(3 .4 ):
к	gft,f r (c,,-cJ ft+ctft4M.
	в U	гЦ-аЬрЧ

Итак, задача, сформулированная в названии этого параграфа, выполнена. Получены формулы для определения параметров функции анизотропного упрочнения при установившемся процессе прокатки, интерпретируемом как монотонная плоскопластичоская деформация.

§ 4 . 2 , Определение сопротивления деформации при анизотропном упрочнении проката

Полностью определив функцию анизотропного упрочнения (3.4)

выведенными в		§ 4Л	формулами для вычисления ее	констант А, Л,
£< (4 .2 6 ),	(4	.7 ) и	(4 .4 ), можно найти сопротивление		сдвигу
^ в	произвольном направлении т. , полагая,			что	элемент

металла в очаге деформации при прокатке в условиях плоской де

формации испытывает пропорциональное нагружение, т . е .										что	Ф<^
s O . В этом случае функция интенсивности						сдвига					,
л для всего множества значений				6 ,	кроме	$=>±Ji(t) , в				пределах
интервала -p(i) <6 < ji(tj			можем записать вместо						(3 .6 4 )
				a fi,p
	- a [v c , ! b ^ ] W					>	АН
							* +
2V^cos(flr/i/^)r«		.V ЛЛ /,		, чО+Л,)р*+2(И/г,)р4+20г,1,			г	лдч14 £		(4 .27)
						] < М			> Т
На концах указанного интервала значений							В,		т . е .	при	0 =
- ± jH t ) , на	< р(0/) налагаются условия					(3 .6 7 ),			учет	которых
при подстановке в		(4.27)	значений		^ , А	, к	и	Bs %вычисленных
по формулам	(4 .2 ),	(4 .2 6 ), (4 .7 ) и			( 4 .4 ), обеспечивается						авто

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 197 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги