книги / Прогнозирование прочности и анизотропного состояния деформированных конструкционных материалов

будет иметь вид

/ ( $ . , *)шЩ г т

+ | -г;Ц)сюШ -Ф ,)-

' 2 ( ^ 1

^0

5иг<5 -^>]-а/тт(т^+^)

(3-33)

Для решения уравнения (3.28)

понадобится еще значение пер­

вой производной функции (3.33) по

£ с :

^ / ^ . ) =

{

х !!т [ с о з й « - Ф ,) ( |г ; 10 - 4 г ; (,) - я 31аг^-Ф ,Х А -

- z s V j - z / y

f

(j*+ ^)"'%+г Л С о ■*-з ^ г0 + 4 /1*(;'ф(;0.(з.з4 )

Метод решения уравнения (3 .28)

излагается в

следующем ца-

раграфе. Реализация метода является

первым этапом решения за­

вида

а

$ H (\x -s \)< p (s )d s = f(x ) ( - а ^ х ^ а )

-Л

если

имеет единственное интегрируемое решение, в частности,

//(*>*аГ ^,

т .е . именно для налей задачи. Для уравнения

(3 .28)

это решение выражается формулой

"

f t

-и

• ^

<р(х) шА$ K(xts ) <p(s)ds+/te>T

(3 .41)

€t

в котором положено:

ч

кcos (я Л,/г). ' -K(x,s)-K($)-(tf'-'C,*-)~s~\

f(x)*s r(l^tQt)i

, откуда видно, что ядро уравнения

(3.41) является вырожденным, так как оно представляет

собой

функцию только одной переменной ( £ ) .

Решение уравнения Фредгольма с

вырожденным ядром

типа

(3 .41)

имеет вид [74]

V

t e b / t e M

E

Cka*(*)>

(3 .42)

где

6

КяА

6l((s)<fC3)dst

ак(х) и

Ьк (э)

функции, составшшщйе ядро уравнения в

общем

случав,

т .е .

л

К

( х , $ ) ak{x)bk {s),

В нашем случае

л ^ ('л )= а 1(^ )« (|5 г- ^ й) А4Л, Следовательно,

реше­

ние (3 .42) принимает

вид

9 ( $ ,fih r (t;tр)+

(р 4-

(з .43)

/V

Ск - Л ***«,£«.mfk >

k*\y& ,;,,rbt

(3 .44)

где

o^m « J a/rt(s)bk(s)d$,

e J f(s)f>f.(s)ds.

С < -Л « ИС< « Л , sum С,—/|/< < —Хоси).

(3 .45)

Л = $ r Q ; ,р Ы $,

-f>

f t f - S 1)**

di;

-A

-Р

и значение Л из уравнения (3 .4 1 ), получим с

учетом

(3 .3 9 )

<V

_________ $,»>•(<;,р)<*5________

1

1 - fl^ Hco3(^/fe)5i/ba- 5 * ) ^ 5

5l

Ь Я ,$ Р г(г;,£)£*<;

“*

- ft

_L

< -

4

* - * S H f;^ )d t;\

Подставив теперь в (3.43) полученное

значение

Ci% значения Л

из

(3 .41) и г ( $ ,р ) по

(3 .3 9 ),

после

раскрытия скобок и

приве­

дения подобных; членов будем иметь

^)'(‘;.p )= з^ -, c o s (л V 2 )(p ,г- l ; г)**У[^-flДl,к г ;,р )<*<;].

о

. 46)

■*

,

В работе [56] цриведено значение интеграла $

для нашего случая, когда подынтегральная

функция имеет вид (3.39):

$

r(t;$)dt;=M (xjk)~‘jC'Iz

го"+А/5г)

^

С05(яЛ/^ »

(з.4 7 )

~Р

где

Г

- табулированная гамма-функция или,

иначе, эйлеров

ин­

теграл

второго рода (см ., например,

[27 ,

31,

7 2 ]).

В результате подстановки

(3 .4 7 )

в (3 .46)

получим

дЪ ,р)

я ' ' со5(л А /я ) ,„ г r t ' . Q

(3 .48)

где

= 5С-1/г CQbfak/z) ГЬ+Ь)/2]

(3 .49)

Г0+А-/2) *

входит в формулу (3 .3 5 ). На основании (3 .37) и

(3 .4 8 )

имеем

IL

M(tc)=[x~'сйь{кк/2')/(\-ав1и,к')]^ (u,2- t ; z )~r

d i;.

(3 .50)

Применением последовательно подстановок

(3 .51)

X - S l n t f ,

(3 .52)

г>4

(3 .53)

Г ) . С учетом формулы

Г (1 /2 ) - ^

1г будем иметь

U>

h-1

-*Л

к я1* г[«+луг]

$

cL^=u.k J zobhqcUf,

(3.54)

Z

Г0+А/2) *

ЭГ/2

к л

L

o

s

( 3. 55)

С соз

c

Т!

о

К+&я> j

(1+А/ХНА),.|(2/1."1+А)

к

t

t

I n *

\ /

.

5 cos

q,dq,- (2+A)w+A)

(2л+/у { « • *§ *

U -W A 4 (3 .6 6 J

Подставив (3.54) в (3.50) и вводя а

по

(3 .4 9 ),

получим

выражение

М(и)~ aiLk/[Z (\- ttd {u k )],

после дифференцирования которого й приведения подобных

членов

будем иметь

М'(и)~ ak,u,k‘V[Z (Ь аЯ ,

.

(3.57)

Приступим теперь к вычислению функции интенсивности сдви

г а

по

формуле (3 .3 5 ).

§ 3 .3 . Определение функции

интенсивности сдвига по формуле (З.Э5)

I .

Вычисление первого члена Формулы

(3 .3 5 ). Составим под­

ынтегральную функшпо из

выражений (3,48)

и (3.33)1

затем

вычис­

интеграла по параметру (см ., например,

[27]), имея в виду, что

согласно (3.48) ^ ( р ,^ ) “ ^ ('Р ,р )= 0 * .

55

T

( т 5 + 4*)" (А*+^

*+ + ^ о

^

х яГ1 соз(яЛ /£)

(А-1) (р>*-5*) *

ft + aB%k

0 - a f l ,p fc)e

Заметив, что несколько слагаемых интегралов этого

выражения

равны нулю, поскольку в них подынтегральная функция

нечетная

применяя к остальным интегралам подстановку

(3 .51) и

формулы

(3 .54) и

(3

.5 6 ), после вычисления

интегралов

и простых

преоб­

разований

с

учетом (.3.49) получим

<V=1г/[(2+А.) OWt))}[тсо з2 М -ф ,)-^(|/тг+

•

Используя (3 .4 8 ),

(3.57) и (3*58), получим

выражение для

первого члена формулы

(3 .3 5 ):

2 *tpid f ,

S,

t ) -

« ■ * >

2. Счисление второго члена формулы (3 .3

5 ),

Сравнивая вто­

рой член формулы (3.35) с

вычисленным первым,

можно

увидеть,

что выражение ъ квадратных

скобках во втором члене

определяет-

ся, если в

(3 .58) заменить р на и а результат разделить на

производную

(3 .5 7 ):

_ J — j L i

„ 4 x o -w * -_ * ^ f L r - t o ^ n „ а . /а

.л !_ гУ

<э£«. j

U+A,)C4U.*+(A+A.)C*U.',] - 2 J ^^д^1

Чтобы вычислить выражение для второго

члена формулы (3.35) г

умножим полученную производную

на ^ ( ^ 0,а.) вида

(3.48) с

заме­

ной в (3.4S) р яаи

и £ на

£ 0 ,

составим исходное

выражение вто­

рого члена и вычислим полученные интегралы

d

g ^ ,u )f(4 )d i;]o U -

,Mr(u) die

J L & M frh /i0 ^

h)c^

^

<

M

u [(z+/iKJ< _ г й + А ) с л 1

Интеграл

/.

легко

вычисляется с

i±4

помощью подстановки (w.2-^ o ) -Ч:

СР

АН

J

г *

.

_

а |+А

(3.60)

Jj.j

* u.du. = ~

^

* ,

a

Jz -

интегрированием по частям с

последующей

подстановкой

<“

- s i )

*

= ? :

Г Р

Г

i

1+4 -| А

1/^

1 + 4 ^

4

Г *

ttA

-

f**A.

-о

^

P - S S S S p d * - (a e i)

н м 4 ’7'"

(1+ЯХ5+А)4

После подстановки

вычисленных

значений

/, и J2 и простых

J __ dL_

& d $ {

к-1

агёГсозСтсА/й)

л

(3.63)

§ 3 .4 . Анализ полученной функции интенсивности

сдвига

Подставляя найденные

значения

первого (3 .5 9 ), второго

(3,62) и третьего (3.63)

членов в

формулу (3 .3 5 ),

получим

(

V&ro sfr/t/a )

f (с» -с,Р г+<М>

_ о ^

ог ^

у -

'

it к

[

{-аВ#«

*

1 1

(hh)fb*-zi;

]}(p4

f)'

cos СяА/я) ^ (

эсА(НА)

кг +

+а)Сл „ ( < 1 * ^ £ £ 1 й (4 , а )С,] (е г-

^

,

(3.64)

где

индексы

коэффициентов

Сл ,

л

-

0 ,1 ,2 ,3 4, совпадают

с индек­

сами входящих в них коэффициентов

Ал по (3*32):

Z

( \

• JLV^2

C0* T c o s (ff - 4 ^ )" ^ r\ T a ^ К?)

А«*

/ 1

\

С*= Г s\n z(8 -$ i)' № Vf* + F /

С*=яЫТсо5 2 ^~*4)+Мт*"‘’*5

^]»

(3 .65)

, <

ху,/г

C j ^ T s i a E C t f - S ^ - ^ v f 5 ' W

А5t

v-VS

C4i - (Я+А)(4+А) [тс о в Я ^ -Ф ^ Ь ^ ( Т в + * « )

^»] *

Используя условие А » Ф|

[46,

I 23]»

получим согласно (3-3^

что

ДV < ;

V - * ;

6 J А г - а ^ + ф » * .