книги / Пространственная модель турбулентного обмена

Л е м м а

2.

Если выполимегся условие (1.11) и

*,7

<

(0(1*1 - РЦ**> + («г/ ♦ Ъц){си +4ц))10»Рц').

^

2|/

-

+ V

' . / -

<Эля

х 6 П Л \ ( л с - и х в * ) , г ^ с л *

=

( Л 1( А * ) Рх * * = (Л Г .Л ,, Л /зА ж ), го

Д*/ < Щ = (<* + 4 / ) / О + К//)Л/ /2

Н О

0 * ^ /4 -

-

0,Д ^

1-

♦ е/#/))'"

<

I

<114)

Лтл х €

Я»,.

+ х 11 )Р 1 1) , а

З а м е ч а н и е

I. Так как

д* |

= ул

= (г л + ГЛ , ) / ( ( •

рд

д,

= ул, ^

= 0, то в точках

х* н х " можно выбирать такие пара­

метры: хц

= 0 , 9ц = 1.

Л е м м а

3.

Если

*//

>

(ОцТц- + аг/г

+ Ьу

РцУрц ,

(115)

го

«й

+ А/

< 1 •

(1.16)

Условия (1.13) и ( М2 )

можно объединить:

>

Ри(0ц*ч + П1ах ( - 'о ; аи +

р,7)).

(1.17)

Сформулируем условии сходимости итерационного процесса:

/СД5Фт

= [О 4- У/)Ф", “ |

Г.

(1.18)

3

/

ди \

Ъ

/

Эм Ч

(2. 1)

на границе б:

М о

( 2 .2)

причем

О <

оь <

А*(х)

<

аа ,

1 =

1 , 2 ;

» < « ? ! <

<г(х)

< 9 2.

х « (х,. х ,):

Я = (х , 0 < * , < / , ,

0 < х а < / г }.

Будем предполагать сначала, что <Цх) -

непрерывная функция, а к г (л),

ка (х)

-

непрерывно дифференцируемые функции в 12, где

12 = 12 V у .

Введем обозначения:

&Х|

= { х, хх = г'А|,

XI =/А*. / = 0 , /V|

+ I , >-=0, Ыг +

I

):

здесь

Л,

= Ь /(Л/,

* I),

Л3 = /а /(V , *

I) -

шаги сетки;

П/,

= ( х

6

Я/,; х

+ Л|«4. х -Л ,Л /€ П /„ г - 1 . 2 };

П*

= { х

е

ДЛ; х

+ Лрг/. х - к(п; 6 ЙЛ, г = 1 , 2 >;

м/ -

единичный вектор в х; -паправлении;

ох;

= о(х + А/пх)

-

и(х);

ух/

=■ у (

х )

-

и(х

-

/|,пг).

Дня задачи (2.1), (2.2) построим разностный аналог

Лы =

- (^ х ,)* »

+ </(*)«

= / Ч * ) .

(2.3)

х

6

12„ ,

“ | ей

=

0 -

€ = > ,(х

+ А , м , / 2 ) ^ ? ,

( 2.4)

В = *з(х

+ М

а / 2) /А |.

Разностную

задачу

(2.?). (2.4)

можно записать в

виде

(1.1), (1.2),

при атом

Л</а

* / - ! . / •

А# / =

4 , / ~ 1 *

Л /

= ви * *// + г//

+

4 / + ^//у-

Введем

//(Я * )

- гильбертово пространство сеточных

функций, задан*

(У. е) “

2

Г (х )и (х )Л ,Л 3 .

(2.5)

х €

0 /|

Через Нв(П)>) обозначим энергетическое пространство

со скалярным

произведением

{у, и )в = (Ву, о ), где В -

самосопряженный, положитель­

но определенный оператор в / / ( 12/1 ),

Известно

[31), «по оператор А является

в //(12/,) самосопряженным,

положительно определенным. Для него

о

норме //(1 %,)

елргшедлипы

оисикм

М Н 1’ < Н » .

< 6 1 II

( 2 .6 )

г 0 =■ /71

+

4Д!

* 51и'*яЛ ,Д 2Л )

I

---------------------

*

сох1 1ГА1Л2/1)

(2.7)

«I = </а

4

4*2

Е

---------;---------

/1(и, и) -

<г у , 4, иК( >+(</*».»,, " л ,) 4 ^

- а - Ь - с - ^ ) и ло).

(2.8)

Опелем

п

рассмотрение операторы

(I,

к \ сопряженные к ним

И*.

а т а к ж е / / -1,

И~*

П/0:

Со = ох. -

С*и = - п г

+ к -

.

I

X ,

-Iз

иш<;= с,, 0, * , . , +

</,,*>,(УМ,

+

Н~1о= о(х -

1Г*ь =

иСк-А^На).

0ои = «„о,-/.

Формулу (1.7) с учетом соотношений ( 1 .8) удобно записать о виде

(К и )|/ =

г,

_ I. ,■/, _ , . 1 4 , * г {%у _

(2 .9 )

где

г.у “

Л - .

В § 6.1

уже отмечалось, что если Л = Л *, то В = 2? V Очевидно, что В - Л =

= В * Н - также самосопряженный оператор.

Л е м м а

4. Оператор О * // ашооолрялгенушл и

«В + /У)и,*)= -0(/Снл <7|’)+ ((/-0)№ ‘| (иО 4

+ 7 /-а(р с О К и )

+ (кро.о),

(2 .Ю)

где / -

единичный оператор. Если все Оц одинаковые, г.с. 01( = 0, то

((ОеЯ)и. о)= -0{гСо, С о)+ (| - 0)(улш, н»о)+(кри, и).

(2.1 1 )

Д о к а з а т е л ь с т в о . Нетрудно убедиться в том, что

{{В ♦ Н )о ^

- —Ст(г, Со)/у + (] -

&у)(рг_ т. / с|_

/ +

4

0 Г ./- 1 4(. /_ ,

4 КцРцЬц,

((2) + ЛГ)у),у = - 0 С л(гСо)и _ 1 + (I -а)н»*(7

+

Т е о р е м а

2.1. Дая операторов В и А существуют такие константы

О < $С М

| ,что

( в «Ч»)/М и. ы) €

|

( 2-12)

Аля любви о Ф О, еде

Ь *

I + шах (ХуРц + ( I -

бц)(Р1- 1 . /й>/ +М.1- I ^/)У 5о.

С2-13)

=

I

-

тах му.

(2.143

* € л в

Если хц

> 0 и Оу = 0. то

$1 * 1

*

тах

(дс^Гу + (

|

1./в у + Р|уЛ,/))/Во.

(2.13г)

,т € Л Л

$0 = 1

о

шах Му.

(2.14г)

(Ли. и)<(Ли. и)*(

тах

(х#, + (1 - 0

„

)

О

* ] - +

+

д е п ^

<2'5>

Из нсраьслствв (2.15) имеем оценку (].

Получим оценку (Ли. о) снизу. В силу условия

(1.19)

(Во, и) > (Ли, V) -

(гои, Си) >

> (Ли, и) -

(у , \/Ы и х% -

ч/гсГи^ ) 1

>

>(Аи, и )-(р с .и 1

) - ( М

^

) ^ < 1 -

тах

Ру)(Л\),о).

д е я А

При выводе этой оценки использовалось неравенство

(\/с д о я% - ч /л Г и * , ) 1

^

(</ + с)(со 2 ,

Оценки (2.13х) .

(2 .1 4 ^

выводятся из соотлощсннй (2.М ). Теорема 2.1

доказана.

Из теоремы

вытекает важное следствие* позволяющее доказать сходи­

мость итерационного процесса:

КВХВа(им -

“ ')

= т„,(Р-Льт ' х).

(216)

С л е д е т а н е

I. Оператор В" 1Л является самосопряженным в энерге­

тических пространствах МЛ

и

И #, и

его

спектр принадлежит отрезку

Доказательство имеется в

[39).

Запишем уравнение длп ошибки о методе

(2.16) после проведения ите­

рации. Обозначил: н -\>к

у , получимг к = Рк2 е ,где

Рх =

к

г,„1Г 'Л ).

ГТ

(/Г

114 = |

В силу следствия I

к

11^*11

<

гаах

| П

(I - г и|х ) |,

я, < X <

О,

III * I

где норма берегся в Н А или Н в .

Итерационный процесс (2.16) сиси

набора (г,л } .мн1гнмнэн-

к

т„,х) | , называется оптимальным линейным

рутощего

гаах

|

П

(1

аь < х < а4

#и = I

А-шлоьым

процессом. Этот набор ( т,„ > называется чсбышсдским. Сел

А = I, ш итерационный процесс называется одношаговым.

0 1 носнп'11М1о схо;ц1мостк метода (2.1б) справедлива

Т е о р е м а

2.2. /7осгедоватслыюсгь{ и"11 сходится в норме простран­

а, + о0 «1 - о0

2 « » -

---------- сок

^ ! „ Г

I.

2*

^

III» - ** II, « | г« ( т ~ ^ ) ] ’ • * - » • < « .

(2.17)

II и —V*

V 1>°1

(2.1В)

где и>= ой/ 0| . В А-шагодом процессе будем иметь

Н о- и* IIв <

2 рА7<Р** * 1)11» - »° 1|в ,

(2.19)

где р = (I

+ у/~ёо)<

1 « |

I

*в > 1 о Г 1 а € '

(2 2 0 >

а при использовании ^ш агового оптимального процесса

*♦ >

I* |

(2.21)

шах. Цц < V =

(с + ^)/((1 + к) р /2

+

* ((1 + л)ара М -

0<в-А )(с + <*))'п

<

I.

(2.22)

к =(0(.<М-А)*'а -рг> * с -н О /С р м ),

(2.23)

то

$1 < I + ((а + Ь) г 1 - р V+ с * <0/(6он).

(2.24)

Найдем оптимальный параметр V, исходя из соотношений {ц = 0 ):

т а х с о /о , = т а х ^ С ^ )

либо

т а х о 0/о л =

т а х * 4(«0,

г

г

где

Л (*») « «0(1 -

У)*/((» + ЬУ

~ < Р - 8о) " + * 4 <0»

Яг М = «оО -

((*

«о)*' 4 « 1*<0 ■

Заметим, что если к = 0, го

Яг(V) = б0(1 -

К)/«в ♦

" (Р - «о) V4 с + ).

(2-25)

Вычислим

» 4*2/еГк

= 50((Р —л —* —

—2( с + г/)у +-

=

1У<1 + (Во/(с + <Г)У'3);

(2 -2 6 )

на = (/» - б о - г - с О /И Л + ((а ^ )х- ( а + * ) ( д - с - ^ ) ) ,' а) -

-

1 -

<бо/(<*+й)),,а ;

(227)

при этом

ш ш св.(м)=(6й/( с 4 ^ ) ) ,/2/ ( 2 + ^ о ( ^ ^ ) ) ,/а) <

1,

(2.28)

/

т а х Л

( и ) < ( 6 0/(а + ^ ) ,,:,/ ( 2 - ( 8 о / ( а + А))1'х) <

I.

(2,29)

к =0, 0 * 1 . В этом случае 0о - 1. п, < 1/(1 - н ) ,

* М с + ^0/(р/2♦< ^V 4 -й ♦Ь )(**^3), / , ) <

1/(1 + (*/(*+* У '* Ь

(2-30)

ов/ о 1 М - Р = 0 ((« /(с4 е /)> ," >

(231)

Оценки (2.28)»

(2.29) показывают, что с ростом ввличш1ы <?3/а , ско­

рость сходимости

уменьшается.» {а^{о\У!г

рвз для одношагового опти­

*«

= 0(т ы (М 3, /Уа» ,

(2.32)

* ,

= О((шах (А/], Мг)Уп ).

(2,33)

Рассмотрим случай переменных коэффициентов Л, (У), кг (г)

(</ (дг) = 0)

в исходном уравнении (2.1). Введем величины

и

вычисляемые

по формулам типа (2.13), (2.14), а и ^ - по формуле типа

(2.26), где

а = ац, с = с у , Ь =

4= 4ц,

р = рц . Бели при этом для хц выпол­

няется условие <1.23), то

< р у

и

Ьн/

■ I - »ц-

(2.34)

Если в

точках

Хц

=

0 и 0П = I, *> | 1|; =

|,

= 0 ( 1 ) .

Пусть л* €

. Если

С»„+ Ь д)»',* «„ М,_м

> V

-

I ./

+ Ь.7й и - 1

=

'« •

(2.35)

ТО при

0;у < (с,;- +

для

«Г/ “ (М « // *

“

Р№] 4 С«7 +

будет выполняться условие

(1.21)

1Г

{цг<

1 + (0х// +

-

Ру^У 4 <//4 ^//)У(вв^в) •

(2.3б)

Если

(аИ 4 Ъц)иц < 1у,

(2.37)

то будем выбирать

*11‘ - (Рц*у -

Рц *Ц4 (СУ 4 ^у)(дГ/ + ^./))/(Р //Л /),

(2.38)

<

(Ру +

+ ^/)/Г?,.

Тогда

$ и/ <

К О

=

1 Н ;?; - Ру*у + («у + Ъц){сц + 4ц))Ц60»ц)1

где Г =

. При

О/

<

(*// 4

*;/)(<’// + <*//)

(2.40)

^ ( 0

не возрастает. В случае выполнения условия

(2.40)

для

Ь щ будет

справедлива оценка

(2.36).

Заметим, что

если ац

+ Ьц

<

сц + 4 ц ,

то

<

(в;;

+ А //)5 <

< (ву + Л//)((С|/

+ ////)

и * (/)

убывает. Если

*ц > (аи 4 *>цКс(1 4 4/)»

(2-41)

я//

+ Ьц > су +

<///

(2.42)

I > п и х(д,_ 1,г.Мк1-у) -

+ ачШ аЦ4 ^/>*

(2-43)

Пусть

ио-ирсжиему

выполняются условия (2 .37)-(2 .39)

и условие

(2.43), тогда

$и; < 1 + ((<гц +М

Цу -

♦ сц -*• <1у)[(в'о Цг}) < 1.

НаПлем оценки эквивалентности о0 п Ру. Из (2.34) следует, что

в!

=

шах

=

I +

соГ1 .

(2.44)

к е п , ,

где

ю,

=

П1Ш(6д / (г,-,

+ с1г]У)'п .

(2.45)

Для с 0 справедливы соотношеии

а0 =

пнл$;^

= (] + Ы |)/(2 + <с,(1 + сс3)),

(2.46)

т л х о 0/ с | = ы 1Д2 + ы 1(1 + и 3)),

(2.47)

где

сс3

=

шах

(с// + йц - ац - Ьц)/5С.

г е п й

Таким образом, в случае, когда коэффициенты Аз (х ), к2 (х)

-

иые числа, оценка (2.47) переходит в оценку (2.28).

я

*1

Я

А!

1/Ю

0,32180

0.73544

1/50

0,07070

0,30699

1/30

0,11649

0.40726

I

1М«* - /II

2

к}*1

х =

II к 11=

* " ЯА Vе - / I I

К/ = I

где X,

хяракте-рлэует итсрадиокиый процесс

с одним итерационным пара­

метром г = 2 /(о 0 4 с, )„ Xа —с чебышсвскнм

набором параметров.

ДФ" = С<‘ч“ 1 + Р,

(^ '0

С = Л) ♦ н.

<3 2)