книги / Пространственная модель турбулентного обмена

Условие (3.4) является сильным ограничением на параметры схемы, что приводит к замедлению сходимости итерационного процесса (3.1). В наибо­ лее Быстро сходящихся схемах компенсирующая матрица // всегда содер­ жит отрицательные элементы.

13 работе 124] доказана следующая теорема, которую можно сформули­ ровать следующим образом.

Т е о р е м а 3.1. Если В * А + С, В~%> О, В~* С> 0,.то итерационный метод (3.1) сходится тогдаа только тогда, когда А "* > 0.

Условие й~ЛС > б является более слабым но сраннсшио с (3 .3 ).Так, матрица // может содержать отрицательные элементы.

В 1 6.4, 6.5 исследуем условии на параметры дня одного класса неявных схем, которые обеспечивают выпои немке соотношения В~ХС > О.

§ 6.4. Описание структуры матриц Г. К, 5 . Свойстве матриц А, В, А, 5, Г

Внеявных схемах операторы Я и •>имеют вид

=Ец Од %1- I, к .

Оператор ГС будем записывать о следующем виде:

231

КП)

Из неравенства (4.11) вытекает утверждение леммы. Лемма доказала. Лемма I доказывает тот факт, что матрица Г > 0. Так кок диагональные элементы матрицы & положительные, а висд1гагоналы1ые отрицательные, то 5 Г ‘ > 0 (ем. [4 8 ]). Лемма ] также позволяет утверждать, что метод прогонки для решения трехточечного разностного уравнения (4.1) будет устойчивым.

Очевидно, что коэффициенты а/к > 0 и, следовательно, Л " 1 > 0 . Таким образом, для неявной схемы <4г1)-(4.6) в " 1 = $ " 1Я -1 Г.

232

видно» чтоиягк = при этом 2 АГ<Я_ , > 0 , 2 М.„М > 0. а 2 Мп * О. ссл».(

234

Ддп параметра Отя получаем рекуррентное соотношение

^м .п -1 ^ ( ст п ~ а т п Ч т - 1 , п “ А ял А п .п -| * т . п - 1 У 0 - А я л А и . л - 1).

(5.Я)

в пространствеЯЬ, 1 =МХЫ, при любом начальном приближении.

235

вычисляем Ь т -1,п- После этого можно выбирать кЯщ и вычислять коэф­

Ншл легко выбирается по формуле (5.7). Затем вычисляются коэффи­

~Р/лл 7л1.г*-1&т,я-|) •

Заметим, что параметр €тп в программе можно оставить свободным я за «чет его выбора оптимизировать скорость сходимости итерационного

234

4) т а х Ш „ |П, л,,,,,, цп,„ ) < е ш , ;н = М 7 , л = П"й

Следует отметить, что выбор параметров может быть программно реа­ лизован ,ирн этом один параметр остается свободным. За счет выбора это­ го параметра можно оптимизировать скорость сходимости метода.

§ 6.6. Выбор параметров в схемах неполной факторизации

Результаты, изложенные в предыдущих параграфах этой главы, отве­ чают на вопрос, какими должны быть параметры схем явных и неявных дал того, чтобы обеспечивалась сходимость итерационного процесса. Дале­ ко не дня всех схем неполной факторизации получены достаточные условия

довалась с помощью численных экспериментов, на модельных задачах. Дня подобных схем также можно сформулировать некоторые реко­ мендации но выбору параметров, обеспечивающих сходимость при реше­

нии широкого класса задач.

Использование схем неполной факторизации дня решения вое большего числа эздпч, различных но постановке, по заданию расчетной области и т.н., привело к пониманию того, что нс дни любом расчетной облает мож­ но испоныоиать схемы ММФ в их классическом виде, например для неко­ торых непрямоугольных областей.

Ниже приводится анализ одного из этих случаев и показана возможность обеспечения сходимости итерационного процесса соответствующим вы­ бором параметров, зависящим от координат узлов, к использова­ нием несколько иной схемы прогонки при вычислении значений искомой

функции.

Рассмотрим задачу Неймана для уравнения Пуассона:

которой и решалось уравнение (6.1).

ния коэффициенте» Ъцс, С", Лд, Р(к « помощью той или иной интер­ поляции. Единственное, что потребовалось в данном случае, —эго аппрок­ симировать крона йодную вдоль нормали, проведенной к наклонной гра­ нице-

217

Рис. 6.1. Область определения задачи <б.1)

Поскольку в предложенном случае угол наклона косой границы состав­ ляет 45°, то, исходя из обшей формулы

Далее зто соотношение используется при определении коэффициентов

Фк,С1кН р1к.

Следует отметать, что для использования методов неполной фактори­ зации необходимо задание разностных коэффициентов а#, Ь(кгс^* ^ 1к*Рп обязательно на лятнточе'чном шаблоне, а также выполнение условий

при этом можно использовать любые способы аппроксимации уравнешит я граничных условии (см., например, [2 5 ,3 1 ]).

Поскольку подготовка коэффициентов не входит в сам алгоритм не­ полной факторизации| то в качестве объекте дли численных эксперимен­ тов была выбрана область, где такай работа требуется в минимальном объеме, но при этом сохраняются основные свойства поведения схемы при решении задачи.

Нулевое приближение грн решении задачи (6.1) выбиралось равным нулю (*>° = 0).

В треугольнике, не вошедшем в область определении задачи, все коэф ­

23*

II КО?ффИ№ Н««ГЫ

(6.8)

(6.9)

Сходимость итерационного процесса при решении задачи (6.1) зависит от расположения области с границей Г в прямоугольнике ЛВСй. Задача (6.1) с расположением области в соответствии с рис. 6.1 /три т>* = 0,7, ыде = 0,2 расходилась со средним коэффициентом Я**®} = 1,01 4-1/12 для значений параметра 0,001 4-0,01. Прежде всего было проверено выполне­ ние условии «де < 1, необходимого для пространственной устойчивости. Действительно, о некоторых точках на границе области Г это условие не выполнялось, хотя в остальных точках огде ~ 0 ,4 -г 0,5.

За счет выбора свободных параметров, изменяющихся от точки к точке расчетной области, и использования формулы (2.30) гл. 4, дающей верх­ нюю оценку для коэффициента аде, всегда можно добиться выполнения условия «де < I . Обычно из экономии памяти каждый свободный параметр выбирали постоянным для воей облает. Приведем здесь формулу дня верхней оценки аде ^Л'де:

Значения Где, -шде, еде в точке (7, к) выбирались такими, чтобы выпаинлпось условие < 1. Поскольку после внесенных изменений условие Оде < 1 выполнялось, но сходимости по-прежнему не наблюдалось, то Была исследована система (2.II) гл. 2 дли решения второго уравнения (2.1) гл. 4. Для того чтобы обеспечивалась пространственная устойчивость реше­ нии, необходимо выполнение условий РдеРде < 1, Рдебде < 1 . Оказалось, что эти условия при решении описанной выше задачи нс выполняются в некоторых граничных точках. Так, например, в этих точкахрде 0де изменя­ лось в пределах 3,0-5,0. Чтобы ограничить сверху значения рде0де, рде&де» использовалась релаксация при решении уравнения (2.1) гл. 4, т.е. добав­ лялось к левая н правой частям выражение ёде^де» где Ёде определялось

2 »

решения стало меньше 0,001. При этом средний коэффициент сходимости

равнялся ^ 0>« 0,841.

Для схемы с регуляризатором была исследована скорость сходимости л зависимости от расположения острого угла трапеции (см. рис. 6.1 , а - г ) .

дня относительной ошибки решения, меньшей 0,001, Приводятсп в табл. 6.2. Таким образом, внесенные изменения обеспечивают сходимость итера ционного процесса грн любом способе расположения непрямоугольной области. Полный цикл описанных исследований был проведен также для схемы с периферийной компенсацией (2.9), (2.10) гл. 3. Качественная картина поведения этой схемы при решении задают (6.1) такан же. как в отесанном выиге случае схемы с регуляриэатором. И внесенные измене­ ния также обеспечивают сходимость при любом способе расположения

области.

Поскольку верхняя оценка на коэффициенты схемы получена практи­ чески для всех схем и всегда может быть использована релаксации при решении второго уравнения схем неполной факторизации, то эти результа­ ты могут быть использованы для повышения пространствен ной устойчи­ вости итерационного процесса и в Других схемах неполной факторизации.

ГЛАВА 7

ТРЕХЫЕР11ЫВ СХЕМЫ МЕТОДА НЕПОЛНОЙ ФАКТОРИЗАЦИИ

$ 7,1. Явная схема неполной факторизации для решения трехмерных уравнений эллиптического типа

ного решения трехмерных уравнений эллиптического типа. Эффективным направлением в раэнигни численных методов решения многомерных задач

А Ь = Г,

где ДФ - дифференциальный или разностный трехмерный оператор* него-

240