книги / Пространственная модель турбулентного обмена

рически яшшея обобщенный метод установления (см., например» (2, 3 0 |)

с оператором 4Ф . близким к оператору АФ и расщепленным ла нроиэоедсиня более простых и легко обращаемых операторов:

Первыми вариантами метода (1.2) были различные методы переменных направлений, а в последние годы быстро развиваются методы неполной факторизации.

В метопах переменных направлений операторы Я|» Д а . . . . одномерные. ГСметоде непопмай факторизации такого ограничения ист. Сеточные опера­ торы Я |. Вз здесь мотут быть и двумерными, к трехмерными. Пусть имеет­ ся уравнение

Будем полагать, что с помощью грамотного алгоритма задача (1.4). 0 -5 ) сведена к системе разностных уравнений

= Т ж к = Т /7 , / = 7 ж

причем все коэффициенты этого уравнения положительны н удовлетво­ ряют условиям

Первая схема неполной факторизации для решения трехмерных уравне­ ний типа (1.6) была предложена о работе автора [4].

и произведение двух разностных операторов первого порядка. Таким образом, решение уравнения (1.6) можно свести к решению системы

разностных уравнений первого порядка. Эквивалентной системой для

241

уравнения (1.6) будет

Если 4/*т из (1.8) мало отличается от нуля, то сходимость итерационного процесса (1-10) легко доказывается при 0 д /, равных, пул к».

Для получения быстро сходящихся последовательных приближений использовалась схема:

РмУёкё

♦(дыИ'г+1| Ы + 5/к<^,*г +11| + ^/АрЙЪк. т / ш ) *

С/гедует также охметнть, «по умелое использование схемы (1.14) и со­ четают с другими релаксационными методами может еще более ускорить решение каждой конкретной эадвчи.

242

§ 7.2. Неявная схема МНФ для решения трехмерных уравнений эллиптического п т в

Следующая, неявная схема неполной фаюориэащеи для решения трех­ мерных уравнений эллиптического иша была предложена в работе' [б ]. Заменим уравнение (1.6) системой

*4 <*/*./-|)17ль. / - 1 г 1.

Система уравнений (2.1), так же как и в случае двумерной задачи, ре­ шается методом последовательных приближений. При получении очередно­ го и-го приближения для поля функции ? последовательно в плоскостях / = б , (С - I) и.т-Д. двумерное уравнение (2.2) можно решать каким угод­ но способом.

Естественно, чш при получении 9° в /-и плоскости каким-либо методом последовательных приближении нс следует второе уравнение системы (2.1) итерировать большое число реэ, так как правая часть этого уравнения не является точкой, а представляет собой /г-е приближение для функций

и V**, 1*1 -

При выполнении условий ащ 4 Ь(м 4- см + йм 4 т м 4 пг^г < р м и при тш < п(к1 счет по схеме (2 1 ) является пространственно устойчивым.

Сходимость итерационного процесса (2 1 ) исследуется эксперимен­ тально.

На базе схемы (2.1) с некоторыми изменениями структуры функции ^№г(ч>) согласно методу Л-факторизадни была составлена программа ре­ шения трехмерного уравнения эллиптического типа. Результаты излагают­

243

Э ю существенно повысило скорость сходимости 1псрационного процесса по сравнению с (2.1). ЕС.11. Полосухиной исследовался вариант схемы (2.1) с периферийной компенсацией.

Выражение Ош (*) * //м (* )и р н эю м имело структуру:

+< - 1 (РГ,Ы -1, Г - 1 + 0Г*Г*Г” к ^ Л , I - 1 “ 4*^, А +Т. Г —а Гы 'Р (Х . И |)1 >

ным методом возникает неопределенность в выборе оптимальною коли­ чества итераций для получения га-то приближения функции *.

Вели бы в системе (2.1) второе уравнение решалось прямым методом, то такой неопределенности не возникало бы и сама схема вычисленГ выглядела более удачной и компактной. Однако существующий прямой' метод векторной прогонки для решения второго уравнено системы (2.1) не экономичен и может, вообще говоря, привести к расходимости через несколько итарадин.

Ниже приводится одна из неявных схем неполной факторизации для решения уравнения (1.6), в которой неопределенности, как в схеме (2.1), не возникает. Уравнение дня * в факторизованной системе имеет п этом случае разностный оператор второго порядка лишь по одной координате, и поэтому вгорое уравнение системы решается безытерационно с исполь­ зованием одномерной прогонки-

$ 7.3. Схема неполной факторизации

снеявным оператором по третей координате

Впредлагаемой схеме [56] уравнение (1.6) заменится эквивалентной «негемой

Эту схему можно считать обобщением явйой двумерной схемы (3.13) гп. I на случай решения трехмерных уравнении. Причем зю будет уже второй способ преобразования схемы (3.13) гл. I в трехмерную. Первый способ описан выше - см. (1.10).

244

Г/А:/ = е(Од] + Дш ).

Тогда после несложных вычислений подучим

<*Л|0 -К Д сЛ -М !) = 7№Г*№11

Д/*Ю - */*/*'/.*- 1,0 - 7аг^Ш>

&А/0 - Гди) = 7А|С»|»

(3 7 )

81*1(1 - г/к/) = 7|*1^лкл

- Где;) = 7аг^1*г.

Г|*|(1 - г,к|) = 7Гк Д дгд

где

Для исследования схемы (3.1) с компенсацией (3.4) решалась первая крае­ вая задача для уравнения Лапласа

на сетке 10 X 21 X 21. Решением этого уравнения с постоянными граничны* ми условиями является

245

В качество Начального приближения использовались функция

6, значения для которых брались нэ таблицы случайных чисел, причем 0 < 0 ,

Результаты 22 вычислений коэффициента Х ц следеиы в табл- 7.1. Из таб­ лицы видно, что схема примерно одинаково работает при использовании различных наборов свободных параметров.

Разброс коэффициента сходимости невелик: 0,75 < Х ц < 0,87 . Наилуч* шее зкачение X» 5. равное 0,747, было получено при

к = 0,7, 0 =0,9, о = 0,2, е = 0.

Для других, эллиптических задач и другого количества узлов сетки лучшим можег оказаться другой набор параметров. Однако опыт решения двумерпых задач эллиптического типа показывает, чго при нзменеш1и количества узлов сетки оптимальные наборы параметров оказываются весьма близки.

$ 7А Схема неполной факторизации с прогонками по двум координатам

Построить схему, допускающую прямой метод решения каждого из двух уравнений как для , гак и дил >можно но одним способом. Первая схема описана в § 7.3. Вторая схеме предложена в работе [I]. В настоящем параграфе и в § 7.5-7 А налагаются результаты этой работы.

Уравнение (1.1) будем заменить, как обычно, системой 1гз двух урав­ нений ;

При выводе новой схемы использована идея автора взять в качестве опе­ раторов Л и 5* четырехточечиые Г-образные операторы, причем Л связывает

247

Также полезны следующие два соотношения, получаемые из ураонс-

эти уравнения относительно неизвестных коэффициентов за одну итера­ цию, несмотря на то что в соотношении входит коэффициенты с трех слоен.:

к следуюцце му столбцу.

Таким образом, описанная выше последовательность вычислений позво­ ляет определить коэффициенты системы (4.2) за одну итерацию.

24в

Распишем билес подробно алгоритм вычислении коэффициентов

6г*1. Ь*'1

Обозначим описанную схему неполной факторизации яббрсвивтурой ПС11Ф (к рогоночная схема неполной факторизации).

Использованный при выводе соотношений (4.4) - (4.10) метод Л-флкто* риэации приводит к такому виду В»р, что при нупспом начальном ирибпи-

женин = 0 и при условии, что точное решение является линейной функцией хоорлннлт, это решение будет получено на первом же шаге итерационного процесса.

где ч и Н - параметры.

Такая постанопкв задачи приводила к тому, что праван часть уравнения (1.6) / д., были отлична от нуля в точках, примыкавших к границе об­ ласти. так как длн удовлетворения равенств (1.9) граничные условия упимпалнсь в величине провой части уравнения (1.6). Таким образом, разностный аналог уравнения (5.1) задавал как бы задачу Пуассона, прн этом решение задачи (5.1) должно быть равно единице в каждой точке области, что позволяло проводить эффективную проверку сходимости задачи к решению, выводя на печать два значения: т а х р мг и п и п ^ . При получении приближенного решения в качестве критерия для выхода из итерационного процесса использовалась оценка

ходимос дня выполнения условия (5.3), т.е. с < 0 ,001.

249

Из приведенных результатов следует, что схема (4.2) очень хорошо гасит гладкую компоненту, ошибки с (? ^ 0 ,4 и очень плохо гасит высокие гармоники ошибки, когда ту —тг = 3,14.

Вработе [4] схема неполной факторизации дополнялась на каждом шаге одной итерацией ко методу Лнбмаиа, что попышало устойчивость метола.

Вслучае схемы (4.2) была использована эта же идея, ло вместо нтерицин по Либману использовался метод Зейдепя. После итерации но схе­ ме (4.2) делалась одна итерация ло формуле

Назовем этот вариант МПСНФ.

Метод Эейделя хорошо гаскт высокие гармоникк ошибки, поэтому следовало ожидать, что совместное использование схемы (4.2) и (5.5) улучшит общую картину сходимости. Эксперимент подтвердил это пред­ положение (табл. 7.3),

получено значение л = 11 итераций. При этом в [51) приводится.только «мело внешних итераций, и если на одну внешнюю приходится более одной внутренней итерации, то схема МПСНФ будет лучше приведенной в [51) в соответствующее число раз.

250