книги / Пространственная модель турбулентного обмена

2 <*>=

+

_ ( „ г _

(2 ^

- с * , -

где. ш# и

оЦр — параметры,

рассчитываемые по

эмпирической формуле

о . =

= 1,19/(1,10 - 0,19р),

(2.8)

7,(*> = (А4

(2-Ю)

0к= ^ ( * - д ) с о 5 ~ ~ 1 я + (Ь+-д)^,

(2 .1 1 )

“

И 1 ~ а0'Рт ,1 - с<№+ 1 ,/ ~ П гА ( - 1

-

1 . / - 1

-

-

ь 0* - м * Я » Ч » = /» .

<31>

тдс 0>у, 4ц, су, гц, щ, Ьц, р1( - положительные

коэффициенты; / =

/ - I, .

причем

Рц “ вг/ * Л./ +

т </р т гц ч лц +</,/.

> 0.

(3.2)

Физический смысл

конечноразностных коэффициентов определяется ю

условия баланса нейтронов в элементарной ячейке раэпостнон сетки.

Заменим уравнение (3.1) системой двух уравнений:

2ц л

1 .у-1

+ &1*й-1 ./ 4 УцУГц + О ц М +

.

(3.3)

1 “

М'/*Л/К1 =

4 5«Г^ + | . / + 1 4 г9-

<3’4)

Формул и для Оц (^) и коэффициентов

йц,&ц, рц,

^ получим

нз условия экоивалсичюстн

(3 .3 )-(3 .4 ) и (3.1). Тождество

А Л

Л Л Л

Л

(3.5)

Я

^ ^ Г ^ ч О

+ Н )*

в покомпонентном виде запишется следующим образом:

(1 - О г у ^ - 1,/ - ! ^

М

и

,

^

|

/

“

-

(&г -

о//И|_!

,

)у>,_,

у - &/*,+1

; -

,/+,

-

-

{Рц - Л<^_ 1 ,У-1 ) / - 1

“ С1'#/ -

&/*«-1. /)*/. /+1 4

= УцЩ ф) + Т/у

+ 7 / / ^ (у>)-

(3.6)

Из (3.6) имеем

УцВуМ -^уРг- 1 , / - 1

^ - | , у - 2 + Рцрг- 1 . М - 1 ,/+ Г

( 3/?)

УцНцМ

= - $1[(ауР<-1,1- 1 + %»>/_ I ,у )^ ; + *ц(.°Ц + Рц)*Рц*

(3-8)

Слагаемое

ец{ац + $ц)фц (еГу*^(ЛГХ /V)"1) обеспечивает уетоГившоеть сис­

ствием по то щ е мня

= 0). В остальных случаях можно принять ец= 0 .

Для коэффициентов системы (3.3), (3.4) получаем соотношения:

СЩ- 0//Д /-1 ./ " Т/уП/у,

0// -

I . I-

1 = УцЪц* Ьц = 7цСц-

&Ц = Уц<1ф Рц -

аЦ

1

1

= ГцУц,

»ц - Аог*#—\<1~УцЧ'

(3 9 )

I + ог^5/ _ ( , / _ ! + 0 /у { ^ 1

=

= 7 ц Р ц * О у(а ц Ц { _ ,

I

+ 0 ;/*>|_ ] ,у) +■

4 Рц ) ■

(З -Ю )

следуют*1м образом:

«г/ = V

1

(<*Ц4

Н - 1, / *0).

р л )

Оц -

4

1. / - |ву).

ъ № * 4

&д* (в« 4

1 */*«) (с1/ -

®Г/Р/- I , /■- 1

1 ,у _ , ) 4

4 Д//1(^(Г4 рг - 1 . / - 1"!/) (сг/ * 0ц » 1- »,/

- $г- I,/) I

= *.

0-12)

где Д// = 1

| ./

1 , /_ | . Система (3.3), (3.4)

о итоге принимает вид

2Ц * " <М* - 1 ./-*

4 1*{- | ,, _ 1( ^ 1-

| ! / - 2

-

0;/«**/

' *

4 «т/*//

*)1

4

4 М г ! - М

4 и1-

1 . / ( ^ - 1,1/ + |

**1 4 Тд/«'

( 3*13)

^ А) - н о * ! * / - 1

-

^ й \ ,

„<*>

. /

+ С .(*>

._(*>

4 Ь1г*1♦ !./♦ ! 4 г 0

4/ = 0

Р « % '7 ./-1 ) 1;

V,=■*,{»'! V ,., +

{ ^ ‘ м + 6# ^ ‘

(■*••<)

■4* >= ч) ,’« ^ и * |

*■*>•

На ослоиамки (3.9), (3.10) с учетом (3.2)

можно показать, что коэффи­

циенты системы (3.13) МИФ (Л) удоплсттюряют условию:

I - р и -и ц

\ц -

Ьц>йц{\ + с ^ - 0^ _

, (;_ ,

- ^ - т , / - | )

+ ^1/(1

4 с^ - Н< _ I .у - 0 0 ^ - 1 ,у - & - 1,/ - 5 т - |,/) *

(3.15)

Отсюда методом индукции получаем

Н г И \/4 *,у + 5 //< 1 .

(3.16)

Используя

(3.15). можно получить и более жесткую оценку дни суммы

коэффициентов ру, иу, ^у, 6^:

=М// 4 *'// 4 Ь§4

4 («т/ 4 0/у)еуу 4 7т/<7т/ ♦

+ 0

4 й/*7 -1 .;)< > -

(3.17)

Теперь требуется показать, что

(а # 4 Рг/)<1.

(3.18)

( ° ц

4 А/№у = 4

1С« 4 4 гч

4тт/ 4?т/ 4

+ (1

- Оц) Й /Р/_ I,у + Й//^_ |.у) +

|

1 ♦ *Г/б/_ 1,у + Е,у(Оу + !^ ))"* „

где

(3.19)

Й; ~ ~7~ (®// 4

Д</

4 аИ*>1- I 1)•

Выбором

параметров 0 ^,

всегда можно добиться того, что правая часть

равенства

(3.19) будет меньше единицы, тс . будет выполняться условие

фициентов

у у,

ау, 0^,

ру, IV;. В целях экономии оперативной па­

мяти маимньт

коэффициенты

системы (3.13) для А «- 1-го шага

можно

вычислять

по

коэффициентам

для Дг-го шага. Для уменьшения

относи­

2Ц ~ °ш1Ъ -

т.у -

1 +

Ау2/ - I,/

+

- I , I -

г *

+ ОцЪ _ 1 . у * 1

+ 7«1й/ +

* Щ Ы ]

(3.20)

Тогда из тождества липа (3.6)

на основании (3.20) и (3.4) при

Г/у

=

- I.

Оу = Р|,г, _

(3.21)

подучим

=

Д//*> - а./(•'г -

»./ + |Я

- 1, / *■2

^

-

I ./ ♦ IV/. у + з)

+

+ «#/Я/ - I,/ - ■(№ -

1. / -

2ИГ- I. / - э + ь

-

|,У - 1*Рк/ —1)•

(2.22)

Для компенсации в этом случае в качестве

следует

прилить вы ­

ражение

УуНцМ =

/е^(аД; + % ) -

“

ЪцйцР*- 3. у —1

—3 ,у - 2

*

$<- 1 . / -

з)

-

(3.23)

“

-

1./№

- 1 */ «■1

+ &1 - 1 ,У + 1

тогда формулы для коэффициентов системы (3.3),

(3.4)

будут

иметь

вид:

<*/; =

Уцщ\

Л/

= УуЬц;

Ц

= гц<*ц \

к

жТ//0 / ;

р 24)

Ру -

туЧц

* <^/(1 г —в ,/ —■ +

М т - т , / - 1 ^

-

1 . у - а ) -

70

=

*|ДГ/

+ А/(*1 - 1 . / +

' I -

1 .& - 1 .М

Уу

= { рц -

Ац 1 ^ -1 , / —1

* 1цМ1 -

I,/* - аСЯ/ - 1 . / - 3 *

*•"€/ —I ./ —-а) —*ц] -

% ( $ /-

I./

+

! , / ♦ !

♦ 01 - I . / г I ) ] ) - 1 .

( 3 . 2 5 )

где

N

в 1(1 - Р е -

( . / - 1 ^

- 1 . /

- 2 )(1 ~ Р1 -

1 , / * 1*7 - 1 ./> -

- УЕ-- 1 . / - 1 Н 1 0, г ‘ .

^■

= №/Д/ -

‘Т«Д1 -V * -

1 . / + ! ^ - 1 . д\»н>

1^ /* / -

1 + V

I ~ВЕ - 1 , / -

I V - 1 , / - * Ж

-

Окончательно система (3.20). (3.4) с учетом

(3.22) .

(3.23)

прн-

мот виц:

,<*■) =

1. 2 - 1 1 * В*-

.

|/

: ”'1 |г Г -

* И.-

/ - 3 “

- 1 . / - М * Г - 9

- й « 4 - " и

♦ ч г % - ' > » ♦

* • » - . . / И * * , . , . I

/ . , 1 4

- ' , ! } . 2

- вч

4 _ '*>

+ * . - ) . / ♦

-

О ц 4 ~ ' ’ ))

+ <1*4 ~

щГ„.

(3-26)

4 к) - ^ 4 } - 1 - г« 4 /< 1

- ъ#\., ♦М*\.„, **г

Оболтачим схему (3.26) символом МНФ(Д1) .

Дальнейшее уме и мление

леса

итерируемого

выражения

возможно с

помощью добавления моим* слагаемых и

ураш<емне для

^ к>

( 3.4).

мы МИФ с периферий пой

компенсацией

(в | . Сходимость неявных схем

на гексагональной сетке

теоретически

не доказана» однако численные

Приведем

другую

интерпретацию

системы

(3.3)» (3.4) о

векторном

наложении. Исходное урависпно (3.1) можно записать в виде

№

-

I

+ № +

Д/Ф< ♦ ] = Г1% г =

I......../.

(3.27)

А

А.

А

........ Фг,/У

- вектор.

где & ,/), Яг - матрицы порядка Л/;

=

(^|, |,

лучение системы (3.3), (3.4)

сводится к

тому, что уравнение (3.27) пе­

реписывается в виде

л

с а

+ а к ? , +л <л + й К *1 +

- ъ +

*

( « И

* - ; 0 + Д + р -1 1 ).

I = I .......л

(з .28)

где

0

/ -

некоторые

пока произвольные

(матрицы, а ? г -

диагональные

матрицы.

Далее

матрицы

подбираются такими, чтобы левая чаете

уравнения

(3.28^

могла

бьпь представлена в виде произведения

где

5 ,

и 8 г -

простыеА блочно-треугольные матрицы (как

(5 ,А =

2 ,

-

(3.29)

2 < = < «

. ? ) ,

» Г & -

(3.30)

Да

0

«12

0 ,2

СЗ-31)

.0

«М

«

=

(3.32)

0

Ь лр

1

- » п

~ **12

1

л

-^гэ

1

(3.33)

V* -

-Щы

1

^

По

аналогии с

(3.31)

л

(3.33), используя для Оц (V») и #,у(уз) иыыже-

ння

(3,7), (3.8), можно

получить вид

двухдиаголальмых матртщ

и

Число арифметически*

Вычислителы1ые

Относительные

Число

оиерациЛ

эатратьъ мкс*)

■ычнелнтельпые

Метод

затраты

мае-

А -

А =■

А - / -

БЭСМ-6 ЕС-1040 БЭСМ-6

ЕС-1040

■ МОЗУ

~а +С

= ГГХС 8 Д/С = л к

ИВР

7

6

А

58,3

171,5

1.00

МО

6

МНФ(Д)

И

12

10

103,5

299.0

1.77

1,74

8

М11Ф(Д1)

17

Ьб

14

143,3

418,0

2,46

2.44

8

МНФ(Ч)

30

38

13

279,6

805,0

4,80

4»69

8

Время выполнения отдельных оперший не ЭВМ БЭСМ-6 с МОННТОрной систе­

мой 'Дубна” и ВС-1040 с дисковой операционной системой 003

взято из рабоеь

1+1 1.

ходимое дня уменьшения начальной ошибки

на вооемь порядков.

На всех границах использовалось условие

= 0. Источник во всех у з­

лах раоен нулю

= 0). В качестве'начального приближения выбирал­

ся вектор

с элементами

= ( - 1 ) / 4 ^. В этом случае в каждой шес­

Тайтцаз.з

Результаты рлстеп параметров разлитыми методами

Пределы

Число итервиин *:

Метод

изменения

||

|| <||в*<0 ) ||Х

10"*

итерационного

параметра

П, = 10 си

А, = 1,4$ см

МНФДО

0.7

30

1101

МНФСД1)

4,7

16

50?

МНФ(Ч)

0-1.0

17

129

МНФ(Ч)

-1 ,0 -1 Д

28

И 9

МНР

$9

2848

(ы °

1.54)

(ы * 1.67)

тиков (см. рис, 5.5), записывалось в виде

- “ (о1 + 0 1 ) ? т . / * - |

-0*4*1+1 , / -

-

■ ^о >+/> »)п > _ 1 -

о

\

,

_ 1 (д> + л 3) Л . 1-/ *

+

+ 0 * + 0 5) +

(2 *

+ 2 * +

2 » ) ^ - | у>« =

=

< / ' + / ’ + / э) « - р

(3.34)

щие

значения:

0 - 4,035, 4,612, 5,205; Е -

0,020, 0,016, 0,011 соответ­

ственно в зонах 1, 2 , 3.

В

МНФ(Ч)

««пользовался набор 18

$*}

( 2 .1 1 ) из шести параметров

Так, для

рассмотренного

примера при уменьшении ш а г а ссисн и семь

раз отношение скорости

сходимости МНФ(Ч) к скорости сходимости

МНФ(Д)

изменилось е

~ 2 до ~ 8, Таким образом, при малых шагах сет­

ки более

эффективна

схема МНФ(Ц). В остальных случаях выгоднее ис­

виде

Л Ф - *

(М )

стве

А -

матрица (/УХЛ/), а текущий индекс при щ или/}

имеет вид

/ - /

+ № - 1)/У |.

Дня решения уравнения (1.1) построим итерационный процесс

дф(«») = ( в

+ Н)т~*

т Г,

(1.2)

где

в

= г - ’ /ге

= а + /?

+ //

Я = Е ч Г1г,

(1.3)

5

= 1 Г * П . , ;

(1.4)

здесь

1 ,

нижняя треугольная матрица с нулевой главной диагональю,

1 4 -

верхняя треугольная матрица с нулсвоП главной диагональю и

А

= 2.,

♦ 1 а + Р,

(1.5)

где Р - главная диагональ матрицы А .

Используя

представление (1.3),

(1.4), можно проверить,

что если

А -А * (в этом случае 1 \ = 1 а), то В = В*

Как отмечалось в гл. ], в случае вц

= 0 сходимость мею да доказывает­

ся. Приведем

вариант доказательства, использующий свойства

матриц,

О п р е д е л е н и е .

Пусть А, В, В -

действительные /V X УУ-матрици.

Представление А = В -

Ь называется регулярным расщеплением матри­

цы Л,если В - обратимая матрица. В- 1 >

0 И 0 > 0.

Т е о р е м а 1.1. Если А = В -

О есть регулярное расцепление матри­

цы Л и А~х > 0,* то

г ( Г 'й )

(1.6)

I ♦ р ( / Г , 2>)

главной диагонали неположительные;

следовательно, существуют Л " 1 > 0,

8 “1 > 0 и Л ’ 3 = 8 " 1, А- 1 Г > 0.

Так как О > 0, то представление

В = КПЗ = А + О + Я.

(I-7)

где В, 8 имеют структуру ( 1 .6) . а

♦ (I

Ь-м+М *.ы )* к ц Р 1 г

(|8)

При этом

для коэффициентов

«*/» Рту > *( I/1

*>ц будут

справедливы

формулы

а( Г уц ац '

Ьцв у ц с*г

6ц = у и ^ п ‘

Дня 7 ^

получается рекурренлгое симметричное соотношение

т » / '

К>

/<с г * . Л •*/"/>*(■ ■ ./

-

- ® < Л М г ' + ' 4 / - ) П / - 1' ‘

(" 0)

Исследуем

устойчивость

счета с

учетом

( 1.8) - ( 1. 10) но

отношению к

ошибкам округления.

Л е м м а

1. Если

«Н >

- { 1 - 0 ц)*цРг 1'}

!р ,^

0 11)

то

Рц =

$</ + Ьц =

уц(сц

♦ «Г//)

< 1

( 1.12)

для любой точки х е

&.