книги / Теплопередача в скважинах

принцип сохранения тепловой энергии и выводится следующим обра­ зом.

Выделим мысленно внутри тела элементарный объем, в котором равномерно распределены источники тепла (рис. 1), объемная мощ­ ность тепловыделения которых равна qv.

Приращение внутренней энергии вещества в выделенном объеме -составит

где dQt — количество тепла, выделенное внутренними источниками,

Для определения величины dQ2 рассмотрим направление по оси х . В этом направлении через левую грань поступает внутрь выде­ ленного объема dQx тепла, которое можно определить из уравне­

Полное количество проходящего через элементарный объем тепла во всех трех направлениях составит

(u o )

Изменение внутренней энергии тела можно вычислить через тепло­ емкость и приращение температуры

Подставив выражения (1.6), (1.10) и (1.11) в уравнение (1.5), получим дифференциальное уравнение теплопроводности в прямо­ угольной системе координат

11

Очевидно, что уравнению (1.12) можно придать следующий вид

Зная вблизи той или иной точки зависимость температуры от коор­ динат, можно предсказать, как быстро будет изменяться температура в этой точке с течением времени.

Уравнение (1.13) упрощается, когда отсутствуют в теле источники тепловыделения, т. е. qv = 0. Еще более простой вид оно нриобре-

тает для случая стационарной теплопроводности, когда /)/ = 0.

Предельно простой вид имеет дифференциальное уравнение, описы­ вающее стационарную одномерную теплопроводность

дЧ

0.

дх*

Часто задачи теплообмена в стволе скважины приходится решать в цилиндрической системе координат, для которой дифференциальное уравнение представляет собой следующее выражение:

где г — радиус-вектор; ср — полярный угол; z — аппликата. Физический смысл дифференциального уравнения теплопровод­

ности (уравнения Фурье) заключается в том, что им связывается про­ странственное распределение температуры с изменением его во вре­ мени. При этом чем больше коэффициент температуропроводности, тем быстрее меняется во времени температура. Поэтому при прочих равных условиях выравнивание температуры во всех точках рассма­ триваемой системы будет происходить быстрее в том теле, которое обладает большим коэффициентом температуропроводности. Жидко­ сти и газы обладают большой тепловой инерционностью и, следова­ тельно, малым коэффициентом температуропроводности. Металлы обладают малой тепловой инерционностью, так как коэффициент температуропроводности у них велик.

$ 3. УРАВНЕНИЕ НЬЮТОНА — РИХМАНА. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ КОНВЕКТИВНОГО ТЕПЛООБМЕНА

Для описания процесса конвективного теплообмена между по­ верхностью тела и омывающей его средой используют закон Ньютона — Рихмана, согласно которому количество тепла, отдава­ емое единицей поверхности тела в единицу времени, пропорционально

12

перепаду температур между поверхностью тела и окружающей средой

обмена между поверхностью тела и окружающей средой. Численно он равен количеству тепла, отдаваемого (или воспринимаемого) единицей поверхности в единицу времени при разности температур между поверхностью тела и окружающей средой, равной 1 градусу.

В отличие от коэффициента теплопроводности коэффициент тепло­ отдачи не является физической постоянной того или иного вещества. Он отражает совместное действие конвекции и излучения и зависит от многих факторов. Только конвективная составляющая коэффици­ ента теплоотдачи определяется геометрической формой и размерами тела, физическими свойствами омывающей тело среды, направле­ нием и скоростью омывания, температурными условиями и т. д. Вся сложность вопроса о теплообмене между телом и окружающей средой заключена в определении величины коэффициента теплоот­ дачи при конкретных условиях задачи. Практически познание про­ цесса теплоотдачи сводится к определению зависимости коэффициента теплоотдачи от различных факторов.

У поверхности омываемого жидкостью твердого тела всегда имеет место неподвижный слой жидкости, в котором перенос тепла осуще­ ствляется теплопроводностью в соответствии с законом Фурье

где п — нормаль к поверхности тела.

С другой стороны, согласно закону Ньютона — Рихмана это же

Приравнивая друг к другу правые части уравнений (1.17) и (1.18) г получаем дифференциальное уравнение теплообмена, которое описы­ вает процесс теплоотдачи на границах тела (п = 0):

При изменении температурного поля в жидкости только в напра­ влении одной координаты (одномерная задача), нормальной к поверх­ ности тела, уравнение (1.19) запишется в следующем виде

13

Температурное поле в потоке движущейся жидкости описывается уравнением энергии

рую часто обозначают

Применив известное обозначение

дЧ дЧ дЧ

дх* *• дуг “Г дъ2 “ V Ч

уравнение энергии потока запишем в следующей форме:

( 1.22)

Если движение отсутствует, т. е. wx = wy = wz — 0, то уравне­ ние энергии переходит в дифференциальное уравнение теплопровод­ ности для случая отсутствия в теле внутренних источников тепла.

О J

Бри стационарных процессах конвективного теплообмена д% = 0.

В случае стационарного одномерного температурного поля все производные по т, у и %равны нулю.

Температурное поле в движущейся жидкости зависит от составля­ ющих скоростей wx, wy, wz. Поэтому уравнение теплоотдачи и энергии содержит пять неизвестных a, t, wx, wy, wz. Чтобы система уравнений оказалась замкнутой, необходимо к имеющимся двум добавить уравне­ ния, описывающие изменение скорости во времени и пространстве, т. е. уравнения движения.

Трудности определения коэффициента теплоотдачи аналитическим путем очевидны. Поэтому до настоящего времени используют экспе­ риментальный метод. Чисто экспериментальное определение вели­ чины а возможно, в принципе, тремя методами.

1. Реализуют измерения температуры в пристенном слое при у = 0. Зная дополнительно коэффициент теплопроводности среды, рдшвающей стенку, с помощью формулы (1.20) легко вычислить величину а. Однако осуществить температурные измерения в при­ стенном слое часто трудно, а иногда невозможно.

2.Используются сведения о градиенте температуры в твердом теле у самой его поверхности. При этом, зная коэффициент тепло­ проводности материала тела, по формуле (1.20) определяют а. Техни­ ческие трудности использования этого метода очень велики.

3.Наиболее распространенный метод заключается в непосред­ ственном измерении удельного теплового потока q и действующего

14

вдоль поверхности температурного напора At. Используя затем урав­ нение Ньютона — Рихмана, получают средние для поверхности коэф­ фициенты теплоотдачи. Приближение их к локальным коэффициен­ там осуществляется носредством секционирования рассматриваемой поверхности и раздельного определения средних значений а для каждой секции.

§ 4. КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯ* ПОНЯТИЕ О КОЭФФИЦИЕНТЕ ТЕПЛОПЕРЕДАЧИ

Дифференциальное уравнение теплопроводности описывает явле­ ние переноса тепла в наиболее общем виде и справедливо для огром­ ного числа процессов. Оно относится к бесконечно малому элементу температурного поля и не характеризует развитие теплопроводности во всем пространстве и за весь период времени. Для получения кар­ тины, отражающей качественные и количественные признаки кон­ кретного случая, необходимо математически поставить конкретную задачу и найти частное решение основного уравнения теплопровод­ ности. Частные особенности, которые совместно с дифференциальным уравнением теплопроводности дают полное математическое описание конкретного процесса, называют краевыми условиями или условиями однозначности.

Краевые условия включают в себя:

геометрические условия, характеризующие форму и размеры тела, в котором протекает процесс;

физические условия, характеризующие физические свойства среды и тела;

начальные условия, характеризующие распределение темпера­ туры в изучаемой системе в начальный момент времени, предшеству­ ющий рассматриваемому процессу;

граничные условия, характеризующие взаимодействие рассматри­ ваемого тела с окружающей средой.

Граничные условия могут быть сформулированы одним иэ ука­ занных ниже способов.

1. Граничные условия первого рода заключаются в том, что за­ дается распределение температуры на поверхности тела для каждого момента времени

tc = f(x, У, Z, т).

В наиболее простом случае может оказаться, что температура на поверхности одинакова и с течением времени не меняется

tc= const.

2. Граничные условия второго рода состоят в том, что задаются величины теплового потока для каждой точки поверхности тела и любого момента времени

Япо, = /(*. У, г, Т).

15

Впростейшем случае плотность теплового потока по поверхности

ис течением времени остается неизменной

ции от времени известны температура среды, омывающей поверхность тела, и интенсивность проникновения потока тепла сквозь эту поверх­ ность, характеризующаяся коэффициентом теплоотдачи.

Согласно закону сохранения энергии количество тепла, которое отводится с единицы поверхности в единицу времени вследствие теплоотдачи, должно равняться теплу, подводимому к единице по­ верхности в единицу времени из внутренних зон тела вследствие теплопроводности. Таким образом, граничное условие третьего рода характеризуется дифференциальным уравнением конвективного теп­ лообмена

4. Граничные условия четвертого рода характеризуют условия теплообмена системы тел или тела с окружающей средой по закону теплопроводности. Предполагается, что между телами (телом и сре­ дой) существует совершенный контакт (температуры соприкаса­ ющихся поверхностей одинаковы), в результате чего бывает равен­ ство тепловых потоков, проходящих через поверхность соприкос­ новения,

л 8*1 _ л ^2 Л11 Г ~ “ Ла"йГв

При решении задач теплопередачи в стволе скважины часто при­ ходится использовать граничные условия третьего рода. Причем, теплообмен между восходящим и нисходящим потоками циркулиру­ ющей в скважине жидкости через колонну труб удобно характеризо­ вать комплексным показателем — коэффициентом теплопередачи.

Коэффициент теплопередачи от одной среды к другой через разде­ ляющую их стенку определяет Отнесенное к одному градусу темпе­ ратурного напора количество теплоты, которое передается в единицу времени от горячей среды к более холодной, считая на единицу по­ верхности разделяющей их стенки

где К — коэффициент теплопередачи через стенку, разделяющую среды с разной температурой; (£х — t 2) — перепад температуры между разделенными перегородкой средами.

* Индекс ш относится к телу, индекс «ж» — к среде*

16

Для случая теплопередачи через плоскую однослойную перего­ родку коэффициент теплопередачи определяется выражением

ее иногда называют тепловой проводимостью системы «среда — пластина — среда». Так как общее сопротивление ПК превышает любое из своих составляющих, то коэффициент теплопередачи всегда меньше любого из коэффициентов теплоотдачи.

Для случая теплопередачи через однослойную трубу линейный

Достаточно тонкостенная труба может практически рассматри­ ваться как плоская стенка. При этом если отношение толщины трубы

ксреднему диаметру составляет 2 ч- 3%, то ошибка в определении

К, вносимая указанным допущением, составляет не более 3%.

Более толстостенные трубы можно привести к плоской стенке, если в качестве расчетного диаметра использовать полусумму вну­ треннего и внешнего диаметров

При этом ошибка расчета составляет 2—3% при 6!d1 — 30 -4- 40. Если последнее отношение больше 40, то коэффициент теплопередачи необходимо считать по точным формулам.

§ 5. КРИТЕРИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Каким бы сложным не было математическое выражение, предста­ вляющее решение той или иной краевой задачи, все входящие в него размерные величины могут быть сгруппированы в безразмерные ком­ бинации — комплексы и симплексы, состоящие из однородных или разнородных физических величин. Уравнения, составленные с по­ мощью безразмерных комбинаций, имеют очевидные преимущества: количество аргументов значительно сокращается, а количественное соотношение между входящими в формулу величинами является универсальным, оставаясь постоянным для целого класса явлений.

В любой краевой задаче различают три вида величин: независи­ мые переменные, зависимые переменные и постоянные величины.

17

Зависимые переменные являются функцией независимых переменных и постоянных величин.

Для приведения уравнения к безразмерному виду необходимо в первую очередь выбрать масштабы приведения. В качестве масшта­ бов удобно использовать постоянные величины, входящие в краевые

Помимо безразмерных величин и координат, в уравнения также входят безразмерные комплексы, состоящие из разнородных физиче­ ских величин и называемые критериями подобия.

Так, критерий Био показывает, как велико отношение внутрен­ него теплового сопротивления тела к внешнему сопротивлению на границе тела с окружающей средой

где L — характерный размер тела (для плоской стенки L равно тол­

ах

Fo = и

Если критерий Био совместно с безразмерными координатами характеризует температурное поле тела при стационарной теплоот­ даче с его поверхности, то число Фурье является характеристикой нестационарной теплопроводности.

Для характеристики теплообмена между омываемой поверхностью тела и омывающей средой используют критерий Нуссельта или крите­ рий теплоотдачи

NU = 4 ^ >

лж

гДе — теплопроводность омывающей среды.

В задачах конвективного теплообмена критерий Нуссельта обычно является искомой величиной, так как в него входит коэффициент теплоотдачи.

Критерий Рейнольдса характеризует соотношение силы инерции и сил вязкости

где v — кинематическая вязкость омывающей тело среды. Многочисленными исследованиями для круглой трубы устано­

влено, что критерий Рейнольдса полностью определяет режим течения

18

жидкостей, подчиняющихся закону течения Ньютона. При значениях Re < 2300 наблюдается ламинарный режим течения, при Re > 2300 начинается переходный режим.

Глинистые растворы и некоторые высоколарафинистые нефти не подчиняются закону течения Ньютона. Для характеристики их тече­ ния необходимо учитывать не только отношение сил вязкости к силам инерции, но и отношение сил инерции к силам пластичности. Для практических расчетов Р. И. Шищенко предложил использовать критериальную связь вида

Eu = /(R e-),

где Ref — представляет собой обобщенный параметр Рейнольдса

который наиболее полно учитывает особенности потока вязко-пла­ стичной жидкости.

Многочисленными исследованиями установлено, что структурный режим течения вязко-пластичной жидкости в трубах отмечается при Re' < 2000, а в кольцевом канале — при Re' < 1600. Крити­ ческие значения обобщенного критерия Рейнольдса изменяются в широких пределах и зависят от реологических свойств жидкости. Это приводит к возникновению области, в которой нет однозначной зависимости коэффициента гидравлического сопротивления от Re. Однако в этой области существует зависимость критического значе­ ния обычного критерия Рейнольдса от параметра Хедстрема (Не)

где Цф — критическая скорость течения.

По свидетельству А. X. Мирзаджанзаде, при движении глинистого раствора в скважине возможны случаи ранней турбулентности, обус­ ловленные присутствием частиц твердого вещества.

Критерий Пекле характеризует собой отношение тепла, переноси­ мого конвекцией, к теплу, переносимому теплопроводностью,

а

Безразмерный комплекс, характеризующий подъемную силу, возникающую вследствие разности плотностей, называют критерием

Грасгофа

Gr _ figAtL*

Критерий Эйлера характеризует соотношение сил давления и сил инерции

Используя указанные выше критерии, дифференциальные урав­ нения теплоотдачи и энергии потока можно записать в безразмерной форме

Безразмерные величины являются новыми переменными: незави­ симые переменные — это безразмерные координаты; зависимые пере­ менные — это безразмерные температура и составляющие скорости* а также числа Nu и Ей. Постоянные величины Ре, Re, Gr задаются краевыми условиями.

Безразмерные формулы, выражающие независимую переменную в функции координат, времени и соответствующих критериев подо­ бия, называются критериальными.

Критериальные уравнения, характеризующие тепломассоиеренос* могут быть представлены в следующем виде:

Комбинированием безразмерных величин можно получить новые безразмерные комплексы. Так, критерий Пекле, полученный при приведении к безразмерному виду уравнения энергии, можно пред­ ставить как произведение двух критериев

Безразмерная величина Рг = via является новым комплексом* называемым критерием Прандтля. Критерий Рг показывает, как сильно отличается поле скоростей течения от поля температур* Если эпюра распределения скоростей совпадает с эпюрой распределе­ ния температур, то Рг = 1.

По аналогии с обобщенным параметром Рейнольдса Б. И. Есьманом и С. М. Кулиевым было предложено использовать в критериаль­ ных уравнениях для вязко-пластичных жидкостей обобщенные пара­ метры Грассгофа и Прандтля:

* ( * + -6т)и>£ г 0 Тоd

Рг' = " ( , + т £ г ) С-8

Как правило, экспериментальные связи характеристик тепломас­ сообмена ищут в виде критериальных уравнений. Это значительно упрощает инженерные расчеты всевозможных процессов в технике*

20