книги / Математические методы в системах поддержки принятия решений

точки зрения приближения к оптимальному решению) перевести в основные, выразим через них линейную форму L. Имеем

JC5 = 900 - 4х, - 2х2 - Зх4, х6 = 500 - 2хх - 2х2 - 2х3 - 2х4, х7 = 200 - Xj - х3 - JC4, (2)

L = 5х! + 2х2 + Зх3 + 4х4.

Из анализа линейной формы L следует, что ее значение возрастает при увеличении значений переменных х и х2, х3, х4. Переведем в число основных переменных xlt так как она входит в L с наибольшим коэффициентом. Однако увеличение L за счет увеличения х х может продолжаться до тех пор, пока и{(х) = 1, т.е. пока не нарушается требование не­ отрицательности переменных. Поэтому из первого уравнения системы (2) следует, что Xj

4 но из второго и третьего уравнений системы (2) следует, что переменная Х| должна удов­

летворять неравенствам Xj < 500/2 и Х| < 200 соответственно. Итак, при

х, - min{900/4, 500/2, 200/1} = mw{225, 250, 200} = 200,

получим, что после перевода Х| в основные переменные, а х7 — в свободные,

х1- (200, 0, 0, 0, 100, 100, 0 ), причем и2(х') > и2(х°),

так как L(x!) = 1000 > 1(х°) = 0. Теперь х« из третьего уравнения системы (2) подставим в остальные уравнения этой системы и в L:

L = 1000 + 2х2 —2х3 - х4 - 5х7.

Рассуждая аналогичным образом для (3), приходим к выводу, что х2 следует ввести в

основные переменные, а х6 или х5 вывести (пусть это будет х6). Выражая х2 из третьего уравнения системы в (3) и подставляя в остальные уравнения, имеем

При этом х2 = 50, и решение х2 = (200, 50, 0, 0, 100, 0, 0) является оптимальным, по­ скольку все коэффициенты перед Xj в L отрицательны.

Итак,

и2(3?) > и2(х1) и и2(1?) = 1100.

Для получения наибольшей прибыли в 1100 единиц предприятие должно выпустить 200 единиц продукции Dh 50 единиц продукции вида Z)2, а продукцию видов /)3 и D4 про­ изводить невыгодно. Сырье видов Е2 и Еъ будет израсходовано полностью, а 100 единиц сырья вида Е\ останутся неизрасходованными.

Задача 2. Найти min max /Дх), где/,(х) = Зх, + 2х2 - 1, / 2(х) = Зх2 - х ,,/3(х) = - х { - х2

Х6Е2

(необходимое условие оптимальности решения сформулировано в гл. 5).

Р е ш е н и е . Преобразуем исходную задачу поиска min max /Д х) в задачу математи-

*€£21£/£3

ческого программирования. Для этого введем новую переменную х3, имеющую смысл при

данном х е Е? верхней границы для всех значений f t{x) i = 1, 2, 3. В результате получаем эквивалентную задачу:

х3 - » min

171

при ограничениях

Эх, + 2х2 - 1 2 х3, Зх2 - х, 5 х3> -х , - х 2^ х 3, х = (х ,, х2, x j)e f 3,

которая является задачей линейного программирования. Для ее решения применим симплекс-метод. Предварительно путем введения дополнительных неотрицательных пере­ менных х4, х5, х6 приведем ее к виду

L = - х 3 min

при ограничениях

ЗХ{ + 2х2 -Х 3 + Х4 = 1, -Xj + Зх2 - *з + х5 = О, ~Х\ - х2 - х3 + х4 = О,

х > 0 , х > 0 , х> 0 .

Здесь три ограничения, а переменных — шесть. Поэтому опорное решение получим, если положим, например, х4, х5 и х6 равными нулю:

находим Xj =1/4, х2 = 0, х3 = -1 /4 и опорное решение

х1= (х, =1/4, х2 = 0, х3 = -1/4, х4 =0, х5 = 0, х6 = 0).

Выразим в (*) основные переменные x h х2, х3 и целевую функцию через свободные х4,

*6^

X] = 1/4 - Х4/4 + ЗХ5/16 + xg/16, х2 = xg/4 - Х5/ 4, х3 = -1 /4 + Х4/4 + X5/ I 6 + 1 lxg/16,

L = 1/4 - Х4/4 - Xs/16 + 1 lxg/16.

Поскольку линейная форма L имеет только отрицательные коэффициенты перед свобод­ ными переменными, то перевод какой-либо_из них в основные переменные не приведет к увеличению. Значит, полученное решение х1 является оптимальным.

Для исходной задачи получаем, что оптимальная минимаксная стратегия х* = (xh х2) =

= (1/4, 0), а искомый min max /}(х) = --!- определяется значением х3.

6.5. Методы решения статических безусловных задач недифференцируемой оптимизации

6.5.1. Субградиентный метод

Выбор решения х* е М* c R n осуществляется в результате решения

следующей задачи. Найти m in/(x), гдеДх) — выпуклая недифференци­

руемая (негладкая) функция, имеющая в каждой точке некоторый суб­ градиент dflxk), хк е R". В качестве примера возьмем функцию

/(* ) = (с, х ) + Ртах {(а', х) - Ь(}+,

172

которая строится для задачи линейного программирования

(с,х) -¥ min при ограничениях А х< Ь,

где а, — строка т х п матрицы А \Ь — вектор-столбец размерности т\ Р > 0 подлежит выбору.

При движении по направлению, устанавливаемому субградиентом bfixk) из точки хк, возможно возрастание функции Дх) при любом выбо­

ре длины шага (J; однако расстояние до точки минимума от точек, при­ надлежащих некоторому начальному отрезку на направлении ЭДх*), бу­ дет убывать монотонно. Это последнее обстоятельство совместно с уменьшением на каждой итерации длины шага составляет основу для построения алгоритма субградиентного метода.

А л г о р и т м

1. Выбрать произвольную точку дс0 s Л".

2. Задать последовательность чисел \ к > 0, такую, что

последняя точка есть решение - точка минимума Дх) на Rn; если последовательность {**) бесконечна (в теоретическом плане), то для выпуклой функции на Rn будет иметь место

подмножество М* * 0 , т.е.

М* - {x*R“|/(х*) = /* = min /(*)}. x e R "

Субградиентный метод называют также методом обобщенного гра­ диентного спуска; он не может быстро сходиться. Для ускорения сходи­ мости применяются другие методы — метод отсекающей гипер­ плоскости (см. п. 6.1.5.), методы с растяжением пространства и др. [22].

6.5.2.Метод обобщенного градиентного спуска

срастяжением пространства

Известно, что для выпуклой функции обобщенный градиент совпа­ дает с понятием субградиента, а обобщенное градиентное множество - с субдифференциалом. Последний есть замкнутое выпуклое множество. В рассматриваемом здесь методе из субдифференциала функции fix),

173

построенного на шаге к в точке х е R 1, берется субградиент. Далее осу­

ществляется движение к точке х*+, в направлении этого субградиента одновременно с растяжением пространства R" в этом же направлении. В

связи с этим становится необходимым введение оператора растяжения FJ&) с коэффициентом а > 0, где £ — вектор из Л".

Оператор растяжения F„(£) действует следующим образом. Пусть за­ дан вектор £ и определен какой-то вектор o e JP. Тогда вектор а можно однозначно представить совокупностью проекций на подпространство,

При растяжении пространства очевидно точка хк е R" переводится в точку ук. Формально этот перевод имеет вид ук = А^ск, где Ак — линей­

ный оператор, так как растяжение есть операция линейная. Очевидно также и соотношение для субградиентов функции fix) в точках хк и ук:

d f(y k) = B kdm f(xk), В к’ ={А-к' ) \

где В'к — сопряженный к Вк, Вк = Ак' , Вй = I.

В результате схема алгоритма поиска искомого решения

х* = argmin /(х )

хеЯ"

представляется следующими операциями.

Ал г о р и т м

1.Задать х0 е R".

и коэффициентов растяжения пространства ак > 0.

*=о

174

Рассмотренный алгоритм не обеспечивает монотонного движения к искомому решению по значению минимизируемой функции. Монотон­ ность может быть обеспечена, если построить алгоритм с растяжением пространства в направлении разности двух последовательных субгради­ ентов или применить метод Ньютона, в котором линеаризуется исход­ ная задача.

6.6. Методы решения статических условных гладких выпуклых задач

Метод проекции градиента. Сущность метода заключается в выпол­ нении на каждом шаге наискорейшего спуска и ортогонального' проек­ тирования антиградиента критериальной функции на линейное много­ образие активных ограничений или их аппроксимаций, причем таких ограничений, которые обращаются в равенства в точке х?к) на Л-й ите­ рации поиска оптимального решения. Совокупность из q таких ограничений-равенств составляет линейное подпространство М(х^к)).

Это подпространство натянуто на линейно независимые векторстолбцы подматрицы Ач матрицы А исходной системы линейных огра­ ничений; матрицы, вектор-столбцы которой составляют базис п- мерного пространства. При этом предполагается, что Ач имеет ранг q, т. е. существует матрица (Aq Aq)~l .

Оператор ортогональной проекции определяется выражением

где Е„ — единичная матрица.

Действительно, пусть Ачх является ортогональной проекцией векто­

— соотношение для ортогональных векторов, где Ачх — у — вектор не­ вязки, ортогональный к подпространству М(х^к)), т.е. к любому его век­ тору; и = (и1 и2, ..., lA) — некоторые коэффициенты, с помощью

175

которых каждый вектор в подпространстве М(х*к)) представляется ли­ нейной комбинацией столбцов подматрицы Ач.

Из (2) непосредственно следует, что

A qT Aqx = A * y или x = {ATq Aqy ' A Tq y.

При этом, очевидно,

At x = Aq{AT AqY l A Tq y,

где Aq(Aq Aq)~' Aq = PM(x(t>) — оператор проектирования (проектор) на

М{р6к)), а оператор ортогональной проекции Рч записывается в виде ра­

венства (1), которое непосредственно получается из взаимной ортого­ нальности подпространства М(х*к)) размерности q и подпространства М размерности n — q.

Поиск оптимального решения заканчивается, когда модуль проек­ ции градиента станет меньше заданной величины е > 0.

где Д х) и g^x), i = Tjn — выпуклые и непрерывно дважды дифферен­

цируемые функции [24].

Ал г о р и т м

1.Определить начальную точку е X. Если ограничивающие условия составляют систему линейных неравенств, то отыскание д^0) € X сводится к решению этой системы, например, симплекс-методом.

2.Вычислить градиент функции Дх) в точке д^0).

4. Вычислить проекцию антиградиента функции Д*) в точке д^0) на линейное много­ образие активных ограничений

^ ( - g ra d / ( х <0))) = ( £ - Aq(Aq Aq)~x< ( - g ra d / ( * <0>)).

Вычисления матрицы проектирования Pq = ( £ - Aq(A%Aq)~x A%) целесообразно вы-

полнять по рекуррентным формулам [86]. Здесь Pq — оператор проектирования ошибки

(-grad Д х (0))) - Pq( - grad Д х <0)))

176

на ортогональное дополнение пространства столбцов матрицы Aq. Если при этом Pq(-grad /(* « » )) * 0, то надо определить направление § движения к очередному прибли­ жению х*1)

P ,(- g ra d /(s (0))) ll^(-g rad /( x <0,))||

Если же выполняются условия оптимальности.

Ad®)) =о, или -grad/(х(0))=уУд,я

/=/,

и

и - (i/1 и2 иР) = ( ^ ) “1^(-grad^0))) ^ О

то при и1£ 0, / = 1, 0, х(°) = дг* — решение задачи. При выполнении таких условий анти­ градиент критериальной функции записывается в виде линейной комбинации с неотрица­ тельными коэффициентами градиентов линейных ограничений, содержащих точку

Если некоторая компонента и* < 0, то в качестве матрицы проектирования следует считать Pq_j. Так как векторы аь а2, ...» aq линейно независимы, то

^ - i(g ra d /(* <0)))

ll^ -i (grad /( * (0>))lf

В случае, когда среди векторов аь а2,...» aq имеются линейно зависимые от них век­ торы, то направление спуска £ из точки х№ отыскивается как решение задачи линейного программирования

min(-grad /( х <0))Д), (</„ $) 5 0 ,/ = /, ,q.

4а. Если множество X допустимых решений определяется линейными ограничения­ ми, то вычисление проекции Р ^ - grad Az)) Для точки z £ X составляет задачу квадратич­ ного программирования

||* - z\\2 = I(*v - Zy)2 -> min

и ее решение отыскивается с использованием метода квадратичного программирования,

При невыполнении этого критерия необходимо откорректировать очередное прибли­ жение по выражению

х<, >=рх<,>+ (1 -р)х(0>,

рациям 3, 4.

Величину шага OQ можно определить и из решения задачи

min/(x(0) -о £ 0),

с учетом требования невыхода точки (дс<°> - се^о) за пределы множества X, или положить а = а е [0,1), если градиент критериальной функции удовлетворяет условию Липшица

Этот метод обобщается на негладкие задачи и преобразуется в метод проекции субградиента.

Задача. Найти решение х* = (*i*,xj)€ X , доставляющее минимальное значение крите­

ции/{*) в точке х<°> =

Выберем в е л и ч и н у ш а г а а - 0,35 движения на направлении антиградиента; од­ нако величину шага можно было бы вычислить, как в методе наискорейшего спуска без ограничений, т.е. по правилу

а 0 = aigmin/(x(0) -a(-g rad /(x (0))))=* aigmin /(1+ 10а,1-2а) =

X : х, + х2 = 4,5 + 0,3 <6; х, + 2х2 = 4,5 + 2 • 0,3 < 12; 4,5 > 0; 0,3 > 0 — условия выполняются.

178

проверяемые условия на предшествующей операции). Проверим условие Р/(—grad/(xM)) = 0, /= 1 , 2, 3, 4; для этого воспользуемся выражением

Ря = ( Е - А я(А1 лч г 1Ая )(-grad /( х <п)), q = i.

Так, для q = 1 имеем

Аналогичные вычисления приводят к Р2* О, Р3 Ф о, Р4 ф 0, т.е. точка х*1* не является решением задачи; переходим к второй итерации.

Зададим величину шага на направлении (-grad/fx*1))); пусть а = 0,125. Выполним действия в той же последовательности, что и на предыдущей итерации, получим

х(2) = j. Эта точка принадлежит границе Xj + х2 = 6 множества X. Вычислим проек­

цию градиента критериальной функции в точке хР> — она не равна нулю; продолжим по­ иск искомого решения х*. Зададим а = 0,025 и выполним все вышеназванные действия; в

результате получаем х(3) = j.Эта точка принадлежит границе Xj + х2 = 6 множества X.

Вычислим проекцию антиградиента

/>,(-grad /( * <3>))[£ - АТ(ААТГ 1 А]( - grad Д х (3))) =

(i

Метод проекции градиента может быть обобщен и применен при выборе оптимального решения в негладких выпуклых задачах вида

найти minf(x ) ,

х е Х

где X — выпуклое замкнутое множество простой структуры,

Х = {х е R”/ ф,(х) 5 0, / = 1, 2, ..., п}.

Сущность обобщения заключается в том, что в произвольной точке х е X определяется 1(х) — множество индексов активных ограничений

1(х) = {/: (р( (х) = шах(р( (х)} 1SJ1&N

и осуществляется проектирование на X субградиента этих ограничений.

Затем делается шаг по его проекции. Если /(х) = 0 , (точка х находится

внутри множества X), то движение к искомому решению осуществляет­ ся по проекции субградиента целевой функции в точке х е X. Как ре­

зультат структура алгоритма выбора решения записывается в виде

Метод условного градиента. В основе метода лежит идея линеариза­ ции критериальной функции fix), х е Х а R”с последующей ее миними­ зацией на заданном выпуклом компактном множестве X. Согласно этой

идее представим схему алгоритма поиска оптимального решения X* = aigm in/(x).

хе Х

Ал г о р и т м

если (/'(*о),х<> - * о )^ 0, то х*0 =х*

и работа алгоритма завершается; если же это условие не выполняется, то перейти к вы­ полнению следующей операции.

5.Определить направление Р0движения из точки x j к искомому решению на очеред­

ном шаге, т.е. условный антиградиент Р0 = XQ - х; на шаге к здесь устанавливается Рк,

к= 1 2, ....

180