книги / Математические методы в системах поддержки принятия решений

Действительно, если х° — слабоэффективная альтернатива, то в свя­ зи с противоречивостью критериев-функций, подлежащих минимиза­ ции, необходимые условия оптимальности, т.е. необходимые условия их минимума,

(V/X*0), х) > 0, / = 1, 2, .... т, (Vgj(x°), х) > 0, j е У(х°)

должны составлять несовместную систему; иначе, по определению, х° не будет слабоэффективной. Но тогда, распространив утверждение из­ вестной теоремы Фана (см. [20]) и доказательство принципа Лагранжа на рассматриваемый случай, приходим к выводу о справедливости соот­ ношения (**) как необходимого условия слабой эффективности альтер­ нативы х°.

Для выпуклых задач (D — выпуклы, F(x) — выпуклы и g(x) — вогну­

ты) это условие является и достаточным.

П р и м е ч а н и е . Условие регулярности означает то, что из граничной точки х° как оптимальной альтернативы, не имеется направления убывания компонент критериальной функции, не выводящего из допустимого множества.

Таким образом, для построения множества Парето необходимо най­ ти х°(р“) — совместное решение системы уравнений (**) при каждом за­ данном ц“, а = 1, 2, ..., к с учетом условий дополняющей нежесткости

(они обусловливаются неравенством (*)), и затем выполнить операцию объединения решений х°(д“) по всем а = 1, 2, ..., к.

Изложим применение теоремы конкретно.

Задача. На выпуклом множестве D =• {* е £ 2 | -1 < х, < 0, - 2 S x 2 < 2} заданы крите­

рии

(дс,,ж2) = xt2 + (х2 - 1)2, F2(xl,x2) = (x2 - 2 ) 2 + 4(х2 + I)2,

которые необходимо минимизировать. Найти оптимальное по Парето множество {х°} с D. Р е ш е н и е . 1. Запишем необходимое условие

<=i j-1

и условия дополняющей нежесткости: множители Лагранжа, соответствующие пассивным ограничениям, должны обращаться в ноль

ц,дс® = 0, М - 1 - Х ® ) ® 0, Цз(*2 - 2 ) = 0, ц 4( - 2 - х ®)= 0.

Заметим, что в теореме X £ 0, + Х2 “ Ь Ц- * 0 с компонентами

ц,£0, М-2 £ 0, Цз* 0, ц4£0, Щ+ Цг + Цз + Ш^!-

В процессе поиска множества Парето должны быть проанализированы все допустимые значения компонент вектора ц совместно с искомыми дс° € D.

231

2. Составим систему

X, •2JC|0 + X,2-2(XI0-2 )+ H1-Ц2=0,

^1 -2(х2 - 1)+ Х2 ' 8(*2 + 1) + Ц з - Н4 = 0>

HiJf,0 =■0, ц2(-1-х1°) = 0,

Мх2#-2) = 0 ,М - 2 - де2°) = 0,

ц, + HJ + Из + ц4 = 1,

И,гО, (ijSO, Из^О, щ £ 0.

Имеем:

а) X, -2JC® + 2Х2(х® - 2 ) + ц , - ц 2 = 0, Hix® = О, ц 2(—1—дс®) = О,

|Х|^ О, |i2 > О, Х| ^ О, Я»2^ О, Я.] + Х2 “ 0}

б) X, -2(4 - 1)+ Х2 •8(х? + 1)+ Из - ц4 = О, Из(х2° -2) = О, ц4(-2 - х?) = 0;

И3 + И 4 = 1 - Ц 1 - ^ 2 . И1,Ц2. И з . Ш * 0, Хз ^ О, X, + Хз = 1.

Из а) находим

*1°=-4--^ 1+^ , И|Х® —0 и2(-1-х,°)=0.

Если \LX* О И Ц2 * °» ТО *,° = 0 либо X®= “ 1,

но это решение неоднозначно и противоречит теореме, поэтому исключаем его из даль­ нейшего рассмотрения.

Пусть Ц) = О, \L2 - 0 ; тогда х® = 2Я.2 и х® > 0, так как Я^ > 0:

исходная задача не вырождается в однокритериальную; х® > 0 — недопустимое решение, так как х® е [ - 1, 0].

Пусть |Х| = 0 и |х2 ^ 0; тогда х® = (4Я.2 + р 2) / 2 и необходимо, чтобы -1 - х® = 0. Но

при этом - 2 - 4Я.2 - ц2 = 0 и М-2 < 0, что противоречит теореме, поэтому р2 > 0- Рассмот­ рим р.] Ф0 и \12 = 0; имеем

= О, (4Х2 - Hi)/2 = 0 => Hi > 0.

Теперь из б) имеем:

то _ 2Х, - 8Х2 - и , + ц д

2 2Х, + 8Х2

Из+ ^4= l - ^ i. Ц|*0, И з * 0. Щ *° , Х ^ Х ^ О , X, + Х2 = 1.

232

Пусть ц3 * 0, и4 ф 0; тогда х® = 2 либо х® = -2 , но такое решение противоречит тео­ реме.

Пусть Из = О, И4 * 0; тогда

- 2 - х ? = 0 , - 2 - 2 Х 1 ~ 8 Хг - й з + И 4 = 0

2 2 Х , + 8 Х2

откуда И4 = - 6Xj - 8X2 < 0 , но это недопустимо. Пусть Из * 0, И4 = 0; тогда х® - 2 = 0 и

2Х] —8Я^ —Из —4A.J —16^2 —0 ^ Из ^ 0,

что также недопустимо.

Рассмотрим случай, когда Из~ 0, И4 = 0; при этом получаем

где 0 < Я.| й 1. Отсюда видно, что х® е [-1, 1].

3. Обобщая полученные результаты, приходим к выводу, что множество Парето пред­ ставляется отрезком, соединяющим точки

(*“ = о, Х2° -----1), (X® = 0, х2° = 1) из Л/0.

На рис. 4 приведена геометрическая интерпретация теоремы.1

Рис. 4. Геометрическая интерпретация теоремы для задачи принятия решения на основе минимизации критериев на замкнутом множестве:

1 — линии уровней; 2 — минимальные значения критериальных функций F\(x) и F2(x)

233

На рисунке 4 также обозначено:

D = {хе E l/g\(x) > 0 , g2(x) > 0, g}(x) SO} — множество, на котором отыскивается минимум одновременно по критериям F{(x) и F2(x);

ДО — допустимая область решений; ВКВН — выпуклый конус возможных направлений из точки

*° = (*|, *2);

V, — градиент ограничения £,(х°) > 0 в точке х°, Vg-,(jc°); V2 — градиент ограничения g2(x°) > 0 в точке х°, Vg2(x°);

х — направление смещения, х = X JVgj (х°), S 0, /(х°) = {/= 1,

7 = 2};

-V , = - ^ ц ,У /; .(х 0) = - p 1V/'1(x ° ) - p 2V/:’2(x0), р, + ц2 = 1, р„ р2 > 0; /-1

-V 4 — антиградиент критерия Ft(x) в точке х°, -VF,(x°); —Vs — антиградиент критерия F2(x) в точке х°, -V /^ x 0).

При таких обозначениях непосредственно из рисунка выписывается выражение для равновесного состояния системы векторов в точке х° в виде -V 3 = х, которое есть ничто иное, как искомое необходимое усло­

вие оптимальности по Парето точки х° — граничной точки ДО. Рисунок построен для случая, когда при D = Е 1 множество Парето представляет­ ся линией, соединяющей точки абсолютных минимумов критериев Ft(x)

и F2(X ), проходящей через точки касания линий равных уровней этих критериев и непересекающейся с множеством D за исключением только

одной его точки х°. Непосредственная проверка выполнения определе­ ния эффективности по Парето решений относительно альтернатив из D

приводит к тому, что граничные точки, составляющие Ах°В, есть мно­ жество Парето — ядро множества D. Становится также очевидным факт

несовместности систем неравенств

(-V F ,(x°),x)>0, / = 1,2 ,

(Vsy(x°),x)> 0, VJe J(xЛ) = {1,2},

т. е. факт несуществования возможного направления из точки х° во внутрь ВКВН, вдоль которого убывали бы значения критериев F,(x) и

F2(X).

Действительно, в точке х° два ограничивающих условия (g,(x°) > 0 и &(х°) > 0) являются активными. С этой точкой связана допустимая об­ ласть направлений, она находится в выпуклом конусе градиентов актив­ ных ограничений с вершиной в х°. Видно, что при любом перемещении из х° в допустимом направлении х значения критериев одновременно не уменьшатся, так как из выражения

F,(x° +ax) = ^/ (x°)+a(V7r (x o),x+ 0(a,x), a > 0 , / = 1 ,2 ,

следует, что приращение каждого критерия представляется скалярным произведением его градиента в точке х° на направление перемещения х, а

234

оно (приращение) положительно для F2(x) и отрицательно для F,(x). В ре­

зультате будет установлена другая эффективная по Парето точка и, оче­ видно, в ней будет иметь место только одно активное ограничение g2(x) = 0. Такая точка будет находиться в подмножествемножества Ах°В,

которое (подмножество) будет образовано в Ах°В линиями равных уров­ ней критериев, проходящими через точку х° +ах.

Используемое в теореме выражение для условия регулярности ока­ зывается справедливым. Отметим, что возможно и обратное утверж­ дение: если в какой-то точке множества D выполняется условие ре­

гулярности, то в этой точке справедлива коническая аппроксимация допустимого множества. Для сравнения рассмотрим точку С е D; в этой

точке условие регулярности не выполняется — конус градиентов актив­ ных ограничений g2(C) = 0 и gy(Q = 0 не выпуклый.

7.4.Построение множества Парето для динамических задач

Изложенные в п. 7.1 методы переводятся и на динамические задачи

П

выбора решений, когда на допустимом множестве U = Y [U , C E N опре-

Каждый из функционалов максимизируется по щ е Ut при условии вы­

полнения ограничений на движение управляемой системы, которое описывается уравнением

х(0 = f(t, X, и ,, и2, ...,uN), t0< t< T ,

с заданным начальным состоянием x(ta) - х0 и конечным множеством G, на котором заканчивается траектория движения системы в момент Т,

т.е. х (7 )е G.

Обозначим через P{U) множество оптимальных по Парето решений. Решение и 0 =(и®,и^,...,и^) называется эффективным по Парето, если

для любого и € U, д ля которого 1,{и) > /,(и°), » = 1,7V справедливы равен­ ства 1,(и) = / ((и°), / = 1 ,N.

Если U„ i = Т Д выпуклы, функционалы /,(и), / = ТД, вогнуты, то

решение и° эффективно тогда и только тогда, когда существует вектор

У Х “/,(и°) = тахУА.“/((и), о - 1, 2, ..., к.

ие(/ .-1

235

Отсюда вытекает следующая структура алгоритма построения мно­ жества Р(Ц).

решении дифференциального уравнения для Я.

к

3. Построить P((J)= jJ« °(X a ). a=l

N

В случае невыпуклого множества U = П ^ ' искомое множество Па-

/=i

рето может быть построено посредством отыскания

шах min Xa,JA u) Va е \,к.

ueU liiS N 1 '

Тогда в изложенной структуре алгоритма должно быть изменение толь­ ко оп. 2, а именно оп. 2 должна быть сведена к вычислению для каждо­

Сужение принципиально осуществимо только при получении ин­ формации от ЛПР либо для упорядочения по важности однородных ча­ стных критериев, либо для утверждения их равноценности.

Критерии называются однородными, если их значения принадлежат

одному и тому же множеству.

236

Равноценными критериямипсчитаются те, для которых весовые коэф­ фициенты Х„ /= 1,л, A,SO, ]STA,( =1 равны и агрегированный критерий

записывается в виде

где х е X<z Е*, X, = Xj = ... = h t = 1/п.

При этом эффективное решение

где Р{Х) — множество Парето.

Рассмотрим некоторые методы [41; 98; 99; 100].

Метод выделения главного критерия. Сущность его состоит в опти­ мизации одного наиболее важного из рассматриваемых частных кри­ териев при условии удовлетворения всеми оставшимися частными критериями установленных для них соответствующих ограничений (уровней), т. е. исходная многокритериальная задача становится одно­ критериальной условной задачей, в которой роль введенных ограниче­ ний (условий) становится решающей при поиске оптимальной альтер­ нативы.

Показатель важности критерия можно установить следующим обра­ зом.

Пусть каждая альтернатива из рассматриваемой их совокупности ха­ рактеризуется одним и тем же вектором частных независимых свойств, а значит, и критериев, например надежностью, стоимостью, доходно­ стью, живучестью, безопасностью, удобством эксплуатации, адаптируе­ мостью к изменению условий функционирования, весом, габаритами, помехозащищенностью, управляемостью и др. Тогда по каждому из этих свойств каждый эксперт, руководствуясь только своей системой предпочтений, может восстановить профиль предпочтений на альтерна­ тивах и оценить их ранги. Затем восстанавливается групповой профиль предпочтений по каждому свойству, и по всей их совокупности можно вычислить суммарные ранги каждой альтернативы, соответствующие «своим» критериям. В результате восстанавливается полный групповой ранжированный профиль, по которому легко упорядочить критерии. Для этого каждому критерию следует поставить в соответствие макси­ мальный ранг альтернативы и упорядочить эти ранги в порядке невоз­ растания. Заметим, что для упорядочения частных критериев можно воспользоваться и методом п. 1.7, основанным на применении логиче­ ского определителя г-го ранга.

Рассмотрим применение метода выделения главного критерия.

237

З а д а ч а . Выбрать оптимальный по Парето портфель ценных бумаг: акций, облига­ ций, казначейских обязательств государства, сберегательных и депозитных сертификатов, векселей, варрантов, опционов, фьючерсов, приватизационных чеков, брокерских мест. Точнее, будем исходить из того, что формирование портфеля осуществляется при извест­ ном полном списке ценных бумаг. Пусть /= 1, 2, ..., п означает тип ценной бумаги, из­ вестны начальные цены единицы каждой из них и доходности по ним г, как случайные величины. При этом считается также заданным класс допустимых портфелей, обуслов­ ленный финансовыми условиями, и что для портфелей выполняется ограничение

—ожидаемая доходность M[r\ = (х,т), где т = (ть т2, ..., т„) — вектор ожидаемых доходностей ценных бумаг, /и, = М[г,],

—ковариационная матрица доходностей

f с\\ с12—с1п> С = с2\ с22 —с2п

<сп\ сп2 ••• ст>

с элементами Сл = cov^/y), /, у = 1, 2, ..., л,

пп

—риск портфеля V(r) = (Cxjc) = ^ с,ух,хуили а(г) = Л/к (г ) — среднеквадратиче-

/=1 м

ское значение.

Требуется сформировать оптимальный портфель, т.е. портфель, характеризующийся

наилучшими значениями риска V °(r)= min^(r) и доходности М 0[г] = maxМ [г] при X X

условиях-ограничениях (х,е) ~ 1, х > 0. Очевидно, что единственного портфеля с наилуч­ шими доходностью и риском в общем случае не существует и его выбор следует осуществ­ лять из множества Парето в пространстве значений частных критериев V(r) и М[г].

Ре ш е н и е .

1.Выберем в качестве главного критерия риск V(r), а доходность портфеля М[г] пере­

ведем в ограничения задачи и зададим ее значение из допустимого множества [ min mh

(х,е) = 1, х> 0 . Это общая модель Марковица [137, 138], она представлят гладкую задачу выпуклого программирования при ограничениях в виде равенств и неравенств. Для ее ре­ шения воспользуемся теоремой Куна—Таккера [18—21, 23].

3. Составим необходимые условия минимума риска портфеля: запишем функцию Ла­ гранжа

Л(х, X, ц, V, и) = V(r) + Х(М[г] - (х, т)) + р(1 - (х, ё)) + (v, и2 - х),

где X, ц. — скалярные множители Лагранжа;

V - iY\> *2>•••» К) — вектор множителей Лагранжа;

и2 — ослабляющая переменная (и2 > 0), ее введение обеспечивает перевод ограни­ чений-неравенств х 't 0 в равенства;

238

выпишем условия стационарности по х, X, р, V, и

ЭЛ О

Эи

или, в развернутом виде, имеем

пятое равенство есть условие дополняющей нежесткости, оно непосредственно следует из условия

— = 0 -» 2(v,«) = 0 -* 2(v,«2) = 0 -» (v,«)= 0,

Эи

X, р, v £ 0 — условия неотрицательности множителей Лагранжа.

4. Вычислим х° из первого уравнения алгебраической системы (*)

*° - АС~1т + \lC~le + vC"1.

5. Подставим JC° в третье, четвертое и пятое равенства системы (*); получим

ТКС-Че) + p(C-'e,e) + (v,C-!e) = 1,

ХССН/и,/») + р(С~1е,л|) + (v,C“lm) = А/[г],

vfXC-1/» + рС-1* + vC"1) = 0,

X, р, v £ 0.

6. Проанализируем условия дополняющей нежесткости (третье равенство п. 5). Из него следует

Если принять (2), то, очевидно, портфель будет характеризоваться нулевыми риском и доходностью - это вырожденный портфель, он исключается из рассмотрения. Условия (1) дополняющей нежесткости приводят к системе уравнений

сусловиями неотрицательности X, р £ 0.

7.Вычислим X и р из системы (**):

Отсюда видно, что X и р линейно зависят от доходности портфеля; при этом

х° = а (Щг])С~1т + Р(М[/])С-1е.

239

Теперь полученные результаты подставим в выражение для х°, а последнее - в выра­ жение для риска V \r) при заданной доходности. Итак, получено искомое значение мини­ мального риска

V °(r) = min V (r )- (Сх°,х° ) = (C(a(Af[r])C_l т + Ъ{М\г\уС~' е \

X

« (Л /М Х Г 'и + Р(Л/[г])С- ,е).

Если теперь доходность изменять, то в зависимости от доходности риск будет пред­ ставляться квадратичной функцией — положительно определенной параболой с верши­ ной в точке (Кв(/*), Л/вИ ) Ф0; Ув(г) вычисляется при известном значении Мв[г], а Мв[г\ можно вычислить по выражению Мв[г] - (х°, /и).

Правая часть этой параболы (рис. 5) есть множество Парето, которое и сужается изложенным методом до единственной точки при каждом заданном значении доход­ ности.

Если в состав портфеля ввести безрисковые ценные бумаги (казначейские ценные бумаги, выпущенные государством), то множество Парето будет представляться гладким сплайном двух линий, одна из которых — отрезок MQA прямой, выходящий из точки, со­ ответствующей начальному доходу безрисковой ценной бумаги, и касающийся построен­ ного множества Парето. Является (естественная доходность безрисковой ценной бумаги должна быть всегда меньше доходности рискового портфеля), вторая - это вся правая часть множества Парето, начинающаяся от точки касания первой линии АС.

Это утверждение доказывается достаточно просто с учетом того, что операция соеди­ нения безрисковых активов не должна приводить к выходу из нового эффективного мно­ жества — множества Парето.

Рассмотрим в связи с этим портфель А (см. рис. 5) из исходного множества Парето, содержащий п рисковых ценных бумаг, и сформируем новый портфель из у, 0 й уй 1, час­ тей безрисковых ценных бумаг и 1 - у частей рисковых портфеля А. Очевидно, доходность этого нового портфеля М = уМ0+ (1 - у)МА, а его риск V - (1 - y)2VA. Из последнего име-

240