книги / Математические методы в системах поддержки принятия решений

у(Л+1/&+1) — оценка, основанная на наблюдениях {z(k + 1), z(k), z ( k - 1),.... z(l), г(0)}.

Известно, например [55, 81], что в условиях рассматриваемой зада­ чи искомая оценка является условным средним

у(к+1/к+1) = М\у(к + 1)Д(0), z( 1)...... z(k), z(k + 1)],

поэтому в основу метода ее отыскания примем апостериорную плот­ ность распределения вероятностей и запишем выражение для оценки на момент времени t = к

f(y(k)/z(0),z(D ,..,z(k)) =

_ f(y (k )/z (0 )^ ),...A k - W (z (k )/y (k )X O ),z (l),..,z (k - 0) f(z(k)/z(0),z(l),...,z(k - 1))

где f(y(k)/z(0), г(1),..., z(k — 1)) — нормальная условная плотность с ма­

тематическим ожиданием

= ФТ(к, к - 1)Р(к - 1/к - 1)Ф(к, к - 1) + (?Г(Л, к - 1 )Q(k - 1)G{k, к - 1)

экстраполяции оценки на один шаг;

Az(k)/y{k), z(0), z( 1),.... z(k - 1)) — нормальная условная плотность с математическим ожиданием Н(к)у(к) и ковариацией R(k);

Az(k)/z(0), г ( 1 ) , z(k - 1)) — нормальная условная плотность с ма­

тематическим ожиданием

М[Н(к)у(к) + W )/z(0 ), г(1),.... z(k - 1)] = Н (к )р (к /к -1)

и ковариацией

М [ Ш - Н (к)у{к/к -\)Ш к) - Н ( к ) у { к /к - т = = 1Г(к)Р(к/к - 1)Н(к) + R(k).

Запишем выражение для апостериорной плотности в развернутом виде, пригодное для случаев описания системы векторными уравнения­ ми состояния и наблюдения

101

P (z(k)/y(k))P (y(k)/z(0),zQ ),zQ ),-z(k-l))

P (y(k)/z(0),zQ ),z(2),...zm

P(z(k)/z(0),z(\),z(2),...z(k-l))

где

Р Ш /у(к)) =

a

= (2я)"2 (det(0(fc,fc-!)/*(*- l / k -1)Фг (к ,к -1 ) +

+ G (k ,k -l)Q (k ,k -\)G T(*,* -1))“* x

xexp{~(y(£)- P(k/k -1))r}x

х Щ к ,к -1 )Р (к - l / k -\)Ф т{к ,к -\)+ G {k,k -l)Q (k -l}G T( k ,k - l) ) '1 x

* Ы к ) - И к /к - 1 ) ) т),

P (z(k)/z(0),zff),zQ ),:;Zik-l)) =

=(2n)~(det(H (k)P (k/k -1)H T{k) + R (k)))~ x

xехр{-^-(г(Л:) -H (k)y{k/k -1))r x

x(H (k )P (k /k - l)H T(k) + R(k))~' (z(k) - H (k)y(k/k -1)).n 1

Здесь P(z(k)/z(0), z ( l ) , z ( 2 ) , z ( k - 1)) не зависит от y(k), P(y(k)/z(0), z(l), z(2 ) ,...»z(k - 1)) есть нормальная плотность и искомая оценка у(к) = у(к/к) для у(к) будет непосредственно получена в резуль­

тате максимизации этой плотности на допустимом множестве значений

У(к), т.е.

у(к) = arg max Р(у(Л:)/<:(0),г(1),z{2),...,z(k)),

так как эта операция при нормальной плотности приводит к тому же результату, что и операция минимизации среднеквадратической ошиб­ ки оценки.

Для отыскания у(к) = у(к/к) воспользуемся необходимым условием оптимальности вида

102

Э1п/»(;К^Л(0),г(1),г(2),...,г(*)) _ л

M V

согласно которому получаем следующее выражение (на момент времени t=k) для искомой оценки

H T(k)R '1(k)[z(k) - Н (к)у(к/к )] - />-' ( к / к - Ш к / к ) - у ( к /к - \) \ = О

из которого следует, что

у(к/к) = [Н т(k)R-' (к)Н (к) + Р~1(к/к - 1)]"1[Р '1(к/к - 1)у(к/к -1)+

+ H T(k)R -'(k)z(k)l

где [HT(k)R~l(k)H(k) + P~l(k/k — I)]-1 с помощью леммы об обращении

[139, 140] преобразуется к виду

Р(к/к - 1) - Р(к/к - ^ ( Щ Щ к Щ к / к - l) I f( k ) + R(k)]H(k)P(k/k - 1),

и тогда искомая оценка фазовой переменной состояния системы запи­ сывается в виде

у(к/к) = Ф (к,к~ Ш к - Ук -1 )+ K(k)[z(k) - Н(к)Ф (к,к -1)у (к -1Д -1)],

и на начальный момент времени t = 0 заданы у(0/0), Р(0/0).

Эти выражения для оценки у(к/к), к = 1, 2,..., и, составляют все со­

отношения фильтра Калмана—Бьюси.

Проиллюстрируем применение фильтра для оценки состояния ска­ лярной стационарной системы. Пусть система описывается уравнением состояния

у(к + 1) = а.у(к) + Ъ(к)

и наблюдения

z(k) = у(к) + п(к), Q(k) = Q, R(k) = R.

103

Тогда оценка состояния вычисляется по выражению

у{к/к) = а у { к - \ / к - \ ) + K { k )[ z { k )-a y { k -\/k -\)\,

где Р(к/к - 1) = а2Р(к - \/к - 1) + Q, а< 1 и заданы /*(0/0) = о2(0) и

у(0/0) = у(0).

Для большего подтверждения полноты получения соотношений фильтра приведем здесь и л е м м у о б о б р а щ е н и и

[W iQ R -W H ik ) + Р~'(к/к - 1)]-‘ =

=Р(к/к - 1) - Р{к/к - 1)/Гг(А:> [Н(к)Р(к/к- 1)If{ k ) + R{k)]H{k)P{k/k - 1).

Для доказательства умножим левую часть равенства на

[Щ /к - 1) - Р(к/к - \)If{k)[H {k)P{k/k - 1 )1Г(к) +

+R(k)]H(k)P(k/k - I)]-1

ивыполним несложные преобразования над левой его частью; правая часть, очевидно, равна единичной матрице Е, получаем равенства

[/ВДЛ-'ДОЖЛ) + Р~'{к/к - \)}~'[Р{к/к - 1) - Р(к/к - l)If{k ) х

х [Н(к)Р(к/к - 1) ff( k ) + R(k)]H(k)P(k/k - 1)]-' =

= {/ + tfR r'H P - I f {HPIP + R)~'HP - tP R r1HPHT{HPH7 + R)~'HP)-' = = {/ + IfR r'H P - If{H P H 7 + R)~'HP - IfR r '[ { H P If + R) - Л] x

x {H P If + R y'H P -'} = { I + IfR r'H P - I f {HPH7 + R)~'HP - - IfR r'H P + HrR~'R{HPHr + Rr')HP~'} = E~' = E.

Лемма доказана.

104

Введем теперь в уравнение состояния детерминированное управле­ ние и рассмотрим систему, описываемую уравнениями состояния

у(к + 1) = Ф(к + 1,к)у(к) + Г(к)и(к) + G(k + 1,кЩк)

и наблюдения

Z(k) = Н(к)у(к) + п(к),

■д(к) и п(к) характеризуются так же, как и выше при выводе соотноше­

ний фильтра. В качестве критерия эффективности системы примем ма­ тематическое ожидание квадратичной функции потерь

М\УТШ 0 (п)у(п) + | > г( Щ (k)y(k)+ uT(k)Q2 (к)и(к)1

о

Требуется найти управление и(к), к = 0, 1, 2, ..., п — 1, при котором

достигается минимум критерия.

Очевидно искомое управление будет зависеть от фазовой перемен­ ной состояния системы, а последняя является статистикой от наблюде­ ний и при детерминированном управлении вычисляется по выражению

Такой подход к отысканию оптимального управления справедлив только в рассматриваемом частном случае, когда система описывается линейными уравнениями состояния и наблюдения, помеховые воздей­ ствия в этих каналах аддитивные, критерий эффективности — квадра­ тичная функция и не возникает необходимость в идентификации пара­ метров системы, т. е. в идентификации переходной матрицы Ф(к + 1/к) и матриц Г(к), G(k), Щк). В этом случае операция минимизации крите­

рия эффективности приводит к функциональному уравнению Веллмана [57], т. е. к уравнению

V m \ k ) = m in{y г (к)(Щ (к)у(к)+и г(k)Q2 (к)и(к)+Щ к,к - 1 )у(к/к - 1 ) +

и( к )

+ r(k)u(k)]rS(k + 1)[Ф(к,к - 1 )у(к + 1) + Г(к)и(к)] + trQ/k)P{k/k) + + trS(k + \)K(k)[H(k)P(k/k)lF(k) + R i k ) ] ^ ) + s(k+ 1)},

У(у(п),п) = y T(n)Q0(n)y(n),

где S(k) = Фт(к,к - l)S(k + 1)Ф(к/к - 1) + Qt(k) - № {к )Ш к ) + Г (к) х

х S(k + 1)ДЛ)]ЛГ(Л) — неотрицательно определенная матрица,

105

s(k) = s(k + 1) + trQx(k)P{k/k) + trS(k + Ц Щ а д л / И З Д +

+Щк)]1С(к).

Врезультате минимизации получаем, что оптимальное управление

вусловиях неполной информации относительно состояния системы (в уравнении наблюдения содержатся ошибки, обусловленные воздей­ ствием помех п(к), к =1, 2, ..., и) вычисляется так

и(к) = -N (k)y(k/k),

где Щк) = Ш к ) + r T(k)S(k + l)I\k ) ) - 'r T(k)S(k + 1)Ф(к,к - 1).

В случае наличия в каждый момент времени полной информации относительно состояния системы, т. е. о значении фазовой переменной у(к) (в канале наблюдения нет помеховых воздействий), выражение для s(k) упрощается: исключается из него последнее слагаемое и делается замена во втором слагаемом матрицы Р(к + 1/к + 1) матрицей S(k + 1);

естественно при этом фильтр Калмана—Бьюси не включается в алго­ ритм выработки оптимального управления и и(к) = —N(k)y(k/k).

Изложенные выражения по вычислению оптимального управления составляют основу следующей т е о р е м ы .

Теорема разделения. Оптимальное управление в линейных системах с квадратичным критерием ошибки оценки вектора состояния при по­ меховых воздействиях, подчиненных гауссовым распределениям, выра­ батывается последовательно: сначала вычисляется оптимальная оценка вектора состояния системы по выборке измерений, а затем осуществля­ ется выбор детерминированного оптимального решения — управления как функции от полученной оценки вектора состояния.

В заключение отметим, что выражения для фильтра Калмана—Быо- си и для ик представляют структуру алгоритма вычисления оптималь­

ных оценок вектора состояния и управления на момент t = k и что при

контроле функционирования нелинейных динамических систем теоре­ ма разделения не приводит к выработке оптимального решения — управления.

4.4. Структуры небайесовских механизмов выбора оптимальных решений

Выведем структуры небайесовских механизмов, когда необходимые

идостаточные условия формирования механизмов не выполняются.

1.Пусть планируется проверка простой гипотезы у2 против простой альтернативы у„ т.е. Г = {yif у2}; выдвигаются нерандомизированные

функции выбора решений 8(у,|г) и 5(у2|г), где z е Z, и известны функции связи А$У\)> Д^Уг)- Однако при этом ЛПР не располагает какими-либо

сведениями о функции потерь и априорном распределении вероятности на Г. Тогда структуру механизма выбора решения можно получить со­

гласно минимуму вероятности ошибки второго рода — вероятности вы­ бора решения о наличии гипотезы у и когда в действительности имеет

106

место гипотеза у2, при условии непревышения вероятностью ошибки первого рода допустимого уровня (вероятностью выбора решения о уг,

когда в действительности имеет место гипотеза у,). Обозначим вероятности введенных ошибок через р и а:

где f(yt), Ду2) — области выбора решений и у2 в пространстве Z, ag — допустимое значение вероятности ошибки первого рода.

Функционал качества выбора решения запишем на основе принципа Лагранжа

R(8) = p + X(<x-cg,

где X — неопределенный множитель Лагранжа. Из min/?(5) находим

5

структуру искомого механизма и представляем ее следующим образом: выбирается решение

S(y2k) = 1, S(y,k) = о,

если выполняется условие Лг|Уг) ^ VU|yi)» в противном случае осуществ­ ляется выбор решения

5(У,к) = 1, 5(у2|г) = 0.

Получен механизм Неймана—Пирсона [56], в нем порог X вычисля­

ется по выражению

|у(/(г)|у,)<// = а у,

х

где l(z) =Л*|У2)/Лг|У|)> V(^k)|yi) — плотность распределения вероятности статистики l(z), отношения функций правдоподобия.

Этот механизм обладает наибольшей мощностью (1 - Р) среди всех других, для которых уровень значимости а < аг Это свойство утвержда­ ется следующей леммой.

Лемма Неймана—Пирсона. Для любого ag критическая область отно­ шения правдоподобий является наилучшей критической областью, опреде­ ляемой неравенством ln/(z)^A,„ .

Д о к а з а т е л ь с т в о . Воспбльзуемся обозначениями Л, — критиче­ ской области, где l(z) £ X и не принимается решение в пользу гипотезы

107

>jv (l(z )/y 2)dl+ |\у(/(г)/у2)Л = 1 - Р л1.

Отсюда непосредственно видно, что мощность правила Нейма­ на-Пирсона больше мощности любого другого с одним и тем же уров­ нем значимости а < otg, т.е. обеспечивающего вероятность ошибки пер­ вого рода не больше допустимого значения ag. Структура механизма

Неймана—Пирсона сохраняется и при известном априорном распреде­ лении на множестве Г. Пороговый уровень в этом случае определяется

из выражения

108

3.Структура механизма Неймана—Пирсона может быть обобщена

[61]для проверки сложных гипотез с неизвестными параметрами; соот­ ветствующая структура механизма выбора решения представляется так: выбирается решение

m a x /^ Y i)

5(Y2k) = 1. 8(Yik) = 0. если l(z) = Тг6 * £ с,

т а х / Ш , )

в противном случае — решение

5(Yik) = l, 6(у2к) = 0, пороговое значение с, вычисляется по выражению

JW k )lY |)^ = a,>

с

где Y(/(z)lYi) — плотность распределения вероятности статистики l(z)

при условии существования гипотезы у, с параметрами Yi! — допусти­ мое значение вероятности ошибки первого рода; Q, и Q2 — заданные области значений параметров Yi и у2.

Раскроем выражение для l(z). Если, например, f ( z / y 2) = f { z , ,zk/ r - b ,А2 )=

ll

=(2%~2n)detK ^2detAT*2 exp{-0,5(z,- \ {)TK ;'(z, - X , ) -

-0,5(zk - x 2)TK ;'(z k -'K)}

—совместная функция плотности вероятности «-мерных векторных из­ мерений Zb Zb i,k = 1, 2 , ..., s , i * k при условии, что они порождены дей­

ствительными параметрами X * Xj гипотезы у2 соответственно

/k / Y ,) = AZi Лк!Y, :Х = X, ,Х2) =

-1 1

= (27C"2")detA:/ 2dettft"2 ехр{-0,5(г, - \ ) тK~\zt- X ) -

-0.5(г* —Х)/Г*1(zk-X)}

— совместная функция плотности вероятности «-мерных векторных измерений zifZkпри условии, что они порождены гипотезой с парамет­ ром X.

Выполним преобразование выражения для l(z). Видно, что в числи­ теле и знаменателе имеется общий член (2л ~2”)det А"г0 5 d e t K *0; в

109

числителе максимум достигается при г, = X и zk = Х2 равен единице.

Прологарифмируем полученное выражение:

1п/(г) = пгт{(г, - X f К ;' {z, - X)+(zk - X f К ;1(zk - Х) }<2 in с.

В результате минимизации получаем

i = ( K ? + K ? r l(K ;lz ,+ K ? z ky,

Ini(z)= (zi - i f к ; 1(z, - i ) H z k - i f к ; ' (zk - i ) = ={z, - z kf ( K , +K kr '( z , - z k).

С учетом этого выражения можно установить плотность распределе­ ния вероятности статистики 1п/(г). Эта статистика подчинена %2- распределению с п степенями свободы; согласно ему для заданного зна­ чения ag вычисляется уровень порога c(ag) принятия решения при про­

верке сложных гипотез.

4.5. Непараметрические механизмы выбора решений

Из полученных структур байесовских и небайесовских механизмов следует важный вывод: собственно выбор решения основывается на сравнении статистики в виде отношения функций правдоподобия с со­ ответствующими пороговыми значениями. При этом функции правдо­ подобия должны быть известными либо полностью, либо с точностью до их параметров из параметрических пространств. Однако на практике возникают задачи выбора решений, когда параметры гипотез и парамет­ рические множества не могут быть заданы. Тогда остается возможность либо сформировать взамен допустимых функций связи эмпирические функции распределения по выборкам z е Z и сравнивать их с гипоте­

тическими, построенными в зависимости от знания помеховых воз­ мущений, сопутствующих получению выборки z t Z, либо применять

эвристические тесты-правила выбора решений. В этих случаях соответ­ ствующие механизмы выбора решений будут непараметрическими - свободными от распределений, вида функций правдоподобия.

К настоящему времени разработано значительное количество непа­ раметрических статистических тестов-критериев (механизмов) [64; 65].

Здесь кратко рассмотрим структуры некоторых наиболее известных

из них.

Тесты согласия. Они основаны на статистиках Колмогорова, Реньи, Мизеса. В них мерами различения эмпирического распределения F(z) от гипотетического G(z) служат статистики dt(F,G), d2(F,G), d2(F,G):

110