книги / Математические методы в системах поддержки принятия решений

Выбор решающей функции должен быть оптимизирован согласно принципу оптимальности. В связи с этим вводится функционал качест­ ва — критерий эффективности принятия решения или система пред­ почтений ЛПР.

Критерий эффективности решений должен строго соответствовать целям ЛПР, структуре системы, которую представляет ЛПР, и опреде­ ляться на полных множествах существенных исходных данных как средств ЛПР для реализации решения и внешних неконтролируемых факторах. Структура системы может быть различной: централизован­ ной, децентрализованной, иерархической многоуровневой и др. Для ц е н т р а л и з о в а н н о й системы характерно доминирование ее це­ лей над целями отдельных подсистем и наличие полного информаци­ онного взаимодействия между ними; вырабатываемые в системе реше­ ния оптимальны по Парето. В д е ц е н т р а л и з о в а н н о й системе входящие в ее состав подсистемы руководствуются только своими це­ лями, информационное взаимодействие между ними по существу от­ сутствует, и вырабатываемые решения будут оптимальными в смысле равновесия по Нэшу. В и е р а р х и ч е с к о й системе имеет место дерево-граф частных критериев, согласно которому организуется об­ мен информацией между уровнями подсистем и вырабатываемые решения становятся оптимальными в форме равновесия по Штакельбергу или, в общем случае, в форме принципа наилучшего гарантиро­ ванного результата. В таких системах отсутствует возможность полной централизации выработки решения и предусматривается распределе­ ние функций по обработке информации; цели подсистем непротиво­ положны.

Отмеченные обстоятельства обусловливают множество различных ситуаций, задач и методов выбора решения. В методологическом плане в зависимости от возможностей и полноты их количественного описа­ ния задачи выбора решений можно распределить на такие группы:

—задачи с полным математическим описанием исходных данных, условий, критериев и принципов оптимальности решений;

—задачи с полным математическим описанием исходных данных, условий и качественным описанием критериев и принципов оптималь­ ности;

—задачи с математическим описанием основных ресурсных исход­ ных данных и качественным описанием условий, критериев и принци­ пов оптимальности решений.

Последние две группы задач обусловили актуальную необходимость разработки СППР (систем поддержки принятия решений) человекомашинных систем, позволяющих ЛПР в реальном времени использо­ вать данные, знания, объективные и субъективные модели при выборе окончательного наилучшего решения [1]; СППР создаются для опреде­ ленных задач, в своем составе они содержат блок принятия (выбора) ре­ шений, в котором реализуются формализованные механизмы выбора решений и предъявления соответствующих результатов ЛПР. В нашем случае под такими механизмами достаточно понимать алгоритмы, обес-

12

печивающие решение задачи выбора искомого наилучшего решения или их некоторого множества

где А — множество всех мыслимых альтернатив или это универсальное

множество;

X — конкретное исходное множество допустимых альтернатив, это

множество предъявлений; С(Х) — множество наиболее предпочтительных — наилучших реше­

ний или это, так называемая, функция выбора.

Отметим, что функция выбора является математическим выражени­ ем принципа оптимальности, как основы формирования необходимых и достаточных условий оптимальности принятия решений, и что для выбора решения должны быть установлены ее существование и структу­ ра, реализуемая соответствующим алгоритмом. Так, если существует скалярная функция

f a(x), х е Х с Е " , такая, что С(Х) = Aig min/ 0(х),

хеХ

то функция выбора С(Х) называется скалярной, она реализуется ска­

лярным экстремальным механизмом и имеет место тогда, когда на мно­ жестве X введено сильно транзитивное антирефлексивное бинарное

отношение предпочтения. По такой функции можно восстановить би­ нарное отношение, т.е. она, по определению, является рационализируе­ мой.

Имеют место задачи выбора решений, когда исходы множества X случайны: на множестве X заданы вероятностные меры Р„ i = 1,2,..., п, и

каждая альтернатива появляется согласно этим мерам. Иначе говоря, альтернативами являются вероятностные меры Ph i - 1,2,..., п. Тогда

скалярная функция выбора устанавливается на основе тех же, что и в детерминированном варианте, свойств бинарных отношений R, но вве­

денных на множестве вероятностных мер, для которых выполняются также следующие два условия:

При этом отношения R относятся к конкретному моменту времени.

Нередко возникает необходимость в рассмотрении нескольких ска­ лярных функций на X, тогда их объединение называют совокупно­

экстремальной функцией выбора. Согласно такой функции, из множе­ ства X отбираются максимальные элементы, каждый из которых опти­

мален по «своему» критерию, например, какой-то (пусть первый) мак­ симальный элемент оптимален по первому критерию, другой — по

13

второму и т.д. В случае, когда критерии упорядочены по важности, со­ ответствующая функция выбора определяет лексикографический поря­ док выбора. Лексикографическое упорядочение обладает важным свой­ ством: оно позволяет выбрать решение, когда альтернативы слабо различаются. Соответствующая ситуация согласуется с тем фактом, что для ЛПР при равенстве значений каких-то параметров альтернатив ста­ новится необходимым осуществлять выбор решения на основе сравне­ ния значений других дополнительных параметров.

Если же на множестве X существует вектор-функция

fix ) = (fi(x), / 2(х),..., /„(*)), х е X,

то функция выбора называется паретовской, она реализуется механиз­

мами построения множества Парето и имеет место тогда и только тогда, когда на множестве введено транзитивное антирефлексивное бинарное отношение предпочтения, или, что то же самое, для существования век­ торной функции выбора необходимо и достаточно, чтобы бинарное от­ ношение на X было асимметрично и транзитивно.

При введенных системах предпочтения имеют место частичные по­ рядки [11], это является необходимым и достаточным для существова­ ния числовых функций-критериев f 0(x) и f{x), / = 1,т; их восстановление

может быть выполнено по алгоритмам [13], в том числе и в зависимости от времени.

Из физических соображений также ясно, что выбор решения объек­ тивно связан с каким-то выигрышем или затратами. Их характеризуют соответственно ограниченными числовыми функциями выигрыша, по­ терь, определенными на произведении множеств факторов — парамет­

ров условий и альтернативных действий — решений ЛПР. Такие функ­ ции восстанавливают, как правило, с учетом практических соображений ЛПР. При этом функционал качества принятия решений определяется на множествах решающих функций, функций связи, функций потерь ЛПР и априорных для ЛПР решающих функций сторон, контролирую­ щих (создающих) условия принятия решений. Будем считать, что вве­ денные функции составляют соответствующие пространства непрерыв­ ных функций, а множества их задания — компакты. Тогда формально в математических терминах решение ЛПР представляет результат реали­ зации принципа оптимальности, т.е. результат оптимизации функцио­ нала качества как условного апостериорного или априорного риска, вы­ игрыша, представимого в общем случае вальдовским риском [2] в форме интеграла Стилтьеса или дискретного его аналога — в случае ко­ нечных множеств. Действительно, потери, связанные с выбором реше­ ний, объективно (при отмеченных выше особенностях) могут оцени­ ваться усредненной функцией потерь по распределениям вероятностей альтернатив, выборки при условии альтернатив и решений при условии

14

выборки, т.е. функционал качества определяется как математическое ожидание; последний же есть интеграл Стилтьеса.

Сложившаяся к настоящему времени теория выбора решений, по существу, охватывает концепции, языки и механизмы решения различ­ ных экстремальных задач. Концепции в общем случае — это системы взглядов ЛПР на постановку и выбор решения в конкретных ситуациях, формально они представляются функциями выбора [10; 50; 131].

Языки в задачах выбора решений сложились в виде критериев каче­ ства, бинарных отношений, функций выбора, систем аксиом. Так, если X однозначно определено, отображение С(Х) обосновано, записано в

виде конкретной функции или функционала и не зависит от субъектив­ ных особенностей ЛПР и факторов, то используется язык критериев ка­ чества, т.е. С(Х) обозначает критерий (функционал) качества выбора ре­ шения. Если же множество X определено однозначно, а С(Л) не может

быть записано однозначно и представляется вектором критериев и век­ тором ограничений, выбор решения зависит от ЛПР, а также от условий и информации, которой располагает ЛПР, то используется язык бинар­ ных отношений или систем аксиом.

1.2. Отношения предпочтения. Элементарные действия и свойства

В настоящее время в задачах принятия решений в основном исполь­ зуются бинарные отношения нестрогого (слабого) и строгого предпоч­ тения, а в математической экономике также слабая и сильная аксиомы выявленного предпочтения.

Определение. Бинарным отношением на множестве X называется лю­ бое подмножество R упорядоченных пар элементов из X, т.е. R c ^ X x X , и это означает, что для Vx, у е X соотношение xRy имеет место тогда, ко­ гда (х,у) е R. При этом совокупность всех пар (х,у) может быть задана:

— п х п матрицей, элемент а0 которой на пересечении i-й строки и j -го столбца равен единице, если XjRxj, i, j — \,п, и нулю — в противном случае;

—графом, когда каждому элементу х, е X, i = Tpi, однозначно соот­ ветствует вершина графа, которая соединяется дугой с вершиной х, е X и направлена от х, к хр если x^Rxp а когда / = j, то дуга представляется пет­ лей при вершине х,\

—верхними и нижними сечениями R+(x) и R~(x) Vx е X,

ной пары

(х,у) е X, R+(x) = R~(x) = 0 , Ъ ( х ) = X \R +(x), R~(x) = X\R~(x) Vx e X,

15

edejl — отрицание (дополнение) отношения R, т.е. xRy =yRx, R = X x X\R и R = R

Вводят различные отношения:

—двойственное к R отношение — R d = R~x;

—рефлексивное отношение — Ух е X xRx, т.е. в графе отношения

имеется петля при каждой вершине;

—нерефлексивное отношение — Ух е X (х,х) е R — в графе нет пе­

тель;

—симметричное отношение — Ух е X xRy и yRx;

—асимметричное отношение — R n R ~ l = 0 ;

—антисимметричное отношение — из xRy и yRx -> х = у;

—транзитивное отношение — Уд:^,z € Л- из xRy, yRz -* xRz;

—отрицательно-транзитивное — R —транзитивно;

—полное отношение — Vx е X либо xRy, либо yRx, либо xRy и yRx;

— транзитивно полное отношение — x iRx2, x2Rx3 ..., x„_{Rx„ -4 или x xRx„ или x„Rxt;

—сильно транзитивное отношение — R одновременно транзитивно

иотрицательно транзитивно;

—отношение строгого порядка — R антирефлексивно, антисиммет­

рично, транзитивно;

—отношение предпорядка (квазипорядка) — R рефлексивно и

транзитивно;

—отношение эквивалентности — R рефлексивно, симметрично,

транзитивно.

Имеют место и другие отношения предпочтения, и все возможные отношения могут изменяться во времени.

Слабая аксиома выявленного предпочтения. Если альтернатива (набор товаров) х, явно предпочтительнее альтернативы х2, то альтернатива х2 не может быть явно предпочтительнее альтернативы х х; иначе — это асимметричное бинарное отношение предпочтения.

Сильная аксиома выявленного предпочтения. Из альтернатив

x l > x 2, x 2> x i, ..., дс„_ >дс„

не следует альтернатива х„ > х х.

Очевидно, что при п = 2 сильная аксиома включает слабую.

Лемма. Если бинарное отношение предпочтения R есть слабое упоря­ дочение на X, то оно обладает свойствами полноты (связности, совершен­ ности),эквивалентности, транзитивности, строгого упорядочения на мно­ жестве классов эквивалентности — на разбиении исходного множества X.

16

Д о к а з а т е л ь с т в о . Согласно определению отношения слабого упорядочения имеем, что оно асимметрично, отрицательно транзитивно и характеризуется отсутствием строгого предпочтения. Отсюда непо­ средственно следует выполнение для любых пар элементов х,у е X од­ ного из отношений: х < у, х > у, х ~ у. Но это означает наличие свойст­

ва полноты.

Покажем здесь, что отношение ~ является эквивалентностью, то есть оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Так, утверждение рефлексивности следует из очевидного факта: для заданного х е X име­ ем х ~ х] утверждение симметричности следует из того, что для х е X и у € X отношение х ~ у означает и отношение у ~ х, а транзитивности — из того, что при заданных x , y , z е X, если х ~ у и у ~ z, то справедливо и соотношение х ~ z-

Свойство транзитивности R непостредственно следует из ассиметричности и отрицательной транзитивности отношения R. Действитель­ но, пусть х < у и y < z , x , y , z e X , при этом, по определению отрица­ тельно транзитивного отношения, имеем для x , y , z e X, что xRy => xRz или zRy, т.е. должно иметь место и x < z или х < у и у < х или х < z- Но из-за асимметрии отношения R отношения z < у и у < z вместе не вы­ полнимы, поэтому должно быть х < z. В результате обнаруживаем свой­ ство транзитивности: у < х , x < z = * z < y . Естественно, это свойство и свойства исходного отношения R распространяются на множество клас­

сов эквивалентности, но тогда последнее обладает строгой упорядочен­ ностью.

Элементарные операции над бинарными отношениями. О п е р а ц и я в к л ю ч е н и я . Отношение R, включено в отношение R2, т.е. R . < R 2, если множество пар (х„ху), i,j — 1,л, находящихся в отношении л,, со­ держатся также в множестве пар элементов, состоящих в отношении R2.

Покажем, что при Я, ч R2 справедливы соотношения

a,j (К) — правило задания отношений, согласно которому можно со­ ставить матрицу бинарного отношения R.

Действительно, по определению, имеем Л, £ Л2, но это выполняется только тогда, когда для каждой пары (х„ху) е Л, выполняется также (х„ху) е R2.

Отсюда непосредственно следует, что aij(Rt) ч aij(R2) V/, j.

R { £ R2 для _отношения Д2 количество элементов xh удовлетворяющих условию х, ч х„, не меньше, чем для отношения Д,; поэтому Д + (x v) как

конус при вершине в точке x v будет охвачен конусом Д2+ (x v), т.е. R*(xv) c R2 (X v). Для нижних сечений, очевидно, будет иметь место ут­ верждение Д,'( х„ )э R2(X V).

_ О п е р а ц и я о т р и ц а н и я о т н о ш е н и я Д — д о п о л н е н и я Д; Д — это отношение, состоящее из пар элементов множества X, которые

не входят в Д, т.е.

av(R) = 1 - a0(R), i ,j = 1,л.

Например, отношение Д для элементов множества {(х,у) € € E-Jx1 + у2 = 1} состоит из всех пар (х,у) € Еъ удовлетворяющих усло­

вию х2 +У2* 1.

О п е р а ц и и п е р е с е ч е н и я и о б ъ е д и н е н и я о т н о ш е н и й . Пересечение отношений — это отношение, содержащее только общие пары элементов для заданных исходных отношений на множестве X.

Объединение отношений — это отношение, содержащее все воз­ можные пары элементов исходных заданных отношений на X. Пока­ жем, что для произвольно заданных Д, и Д2 на X имеют место соотноше­

ния

а,у(Д, п Д2) = а,у(Д,) л оДД2); аь{Д, и Д2) = ah{R{) v a0(R2),

где л — И, v —ИЛИ;

(Д, П Д2)+ (х) = R* (х) п Д2+ (х); (Д, и Д2)"(х) = Д,‘ (х) и Д2 (х).

Для доказательства, например, первого равенства воспользуемся оп­ ределением правила задания отношений д/у(Д); так, для левой части имеем

Здесь условие равенства единице будет выполняться, очевидно, только при совместном выполнении отношений х,Л,ху и x,R-pCj, т.е. когда au{R\) - 1 и av(R2) = 1 или, что то же, когда а/у(Д,) л а,у(Д2) = 1; анало­

гичным образом устанавливается условие равенства нулю для рассмат­ риваемого первого равенства. Так же доказывается справедливость и других равенств.

О п е р а ц и я о б р а щ е н и я о т н о ш е н и я Д . Определяется выра­ жением хД“'у и имеет место тогда и только тогда, когда уЛх; или, иначе, матрица обратного отношения Д-1 является транспонированной к мат­ рице исходного отношения Д.

18

Докажем, чтоa0(R~l) = a0{R) V i,j =1,л, (Д-1) = (Л)'1, (Д-1)-1 = й и чт о для верхних и нижних сечений справедливы равенства (Л_1)+(х) = R~(x), (R-'Пх) = Д+(х).

По определению правила задания отношений, имеем

Но когда не выполняется XjRx,, то выполняется х,Дху а этому соот­

ветствует в,//?-1) = 1. Значит, при совместном рассмотрении правил за­ дания отношений Д-1 и R получаем а//? -1) = av(R).

Для доказательства равенства (Л*1) = (ДГ‘ воспользуемся определе­ нием операций дополнения и обращения отношения. Имеем, по опре­ делению операции дополнения, а^Д) = 1 — а,/Д); применим это к рас­ сматриваемому случаю; в результате получим

а4.( Р ’) = 1 -а й.(Л-1) = 1-цуД/?), а*((ЯГ') = я,ДД)=1-ауД/г).

Равенство (Л-1)-1 = R есть следствие равенств х(Л-1)-|у = yR~'x = xRy. Для установления равенства (R~')+(x) = Д“(х) воспользуемся опреде­

лениями сечений применительно к Л-1 и Л, т.е. выражениями

(Д"')+(ху) = {х/ € X / х, £ х у}, / r ‘(xv) = {x, е X / х, ?х„}, Vx„e X.

Видно, что из этих выражений следует требуемое. Аналогичным об­ разом доказывается и равенство (Д~')~(х) = R+(x).

Д в о й с т в е н н о е к Л о т н о ш е н и е Rd. Двойственное отношение Rd является дополнением к обратному, т.е. определяется равенством

Rd = Д' 1.

Покажем, что справедливы следующие равенства:

(Д У = R, (Л, n R2)d = R? u R d, (Л, и Д 2)' = Л,' n Rd.

Воспользуемся определением двойственного отношения и равенст­

вом (Д-1) = (Д)’1:

(ДV = (<*''))' = ((ДГ1У = ((Д)-')'' = (Д) = Д.

Теперь запишем для (Л, n R2)d соотношения

(Л, nR2)d= (/?, nR2y' =(Rln R2)"' =(/ti иЛ гГ' = (*■)*' u(/?2)-‘ =

= (Л,-, )и (Л 2-1) = < и Л / ,

т.е. получаем требуемое — второе равенство; аналогичным образом до­ казывается и последнее равенство.

О п е р а ц и я п р о и з в е д е н и я о т н о ш е н и й — к о м п о з и ц и я Л, ° R2. Композиция отношений есть булево произведение соответст­

вующих им матриц отношений. Операция произведения ассоциативна (/?! ° R2) ° R3 = R ,° (R2 о R3), некоммутативна R t ° R2* R2 ° Rt.

Свойства бинарных отношений.

Если R рефлексивно, то Rd антирефлексивно, а если R антирефлексивно, то Rd рефлексивно.

Это свойство обусловлено тем, что, по определению рефлексивного отношения, имеем xRx; тогда справедливы равенства

xRdх = х R 1х = xR 1х = xRx, xRdx = xR~' x = xRx.

Если R симметрично, mo R = R~K Действительно, воспользуемся ра­ венством R = (Л-1)"'- Тогда имеем xRy = x(Rrl)~'y — yR -'x = xRy. Из этих трех равенств следует требуемое, если yRr'x выполняется.

Другое доказательство заключается в следующем. Пусть R ч RT1, то­ гда из R~' 3 (R~1)"' следует R~' 3 R, откуда R ~ /Г 1 -» xRy = yR~' х, если

yR~lx выполняется. При условии же R у R~l , получаем /Г 1 >-(R~l )-1; но последнее и означает R ~ R~' и xRy = yRr'x, если yRr'x выполняется.

Если отношение R асимметрично, то оно должно быть антирефлексивным. R асимметрично, если R n Rrx= 0 .

Пусть R рефлексивно, т.е. xRx выполняется для Vx е X. Тогда вы­ полняется и xRr'x и, очевидно, пересечение R n R ~ l непусто. Однако

последнее противоречит определению свойства асимметричности ис­ ходного отношения. Таким образом, R антирефлексивно и xR~'x не вы­ полняется, а пересечение R о Л-1 не может быть не пустым; отсюда сле­ дует, что R асимметрично.

Антисимметричное в широком смысле отношение не симметрично и не асимметрично, оно отрицательно транзитивно, т.е. отношение R анти­ симметрично в широком смысле, если имеет место xRy и не выполняется yRx, когда х * у . Если же xRy и yRx выполняются, то это означает, что х = у , такое отношение называют слабополым или слабосвязным.

Если отношение R полное, то оно симметрично, рефлексивно, транзи­ тивно и представимо объединением отношения слабого упорядочения с со­ ответствующим ему отношением равенства.

20