книги / Математические методы в системах поддержки принятия решений

полнение условия 2) следует из того, что у1 минимизирует Дх®, у) по у из N0.

Если выполнено условие б), то существуют у1 у2 е N(xP). у1^ у2 и

выполняется условие 2), поскольку у1 и у2 реализуют minF(x ,у).

y e N

Теперь отметим некоторые особенности доказанных условий. В ус­ ловии 1) число уравнений равно п + 1 и совпадает с числом неизвест­

ных; можно надеяться на успех нахождения х° и у1.

В условии 2) также 2п + 1 уравнений и 2л + 1 неизвестных у ), у 2,

j = 1,л и х®.

В общем случае решений может быть много, и из них следует вы­ брать оптимальные.

Система уравнений в 1) и 2) полна в том смысле, что ни одно из условий1) и 2) нельзя отбрасывать. Так, если F(x,y) строго выпукла по у из N, то условие 2 может не выполняться, так как будут иметь место у1е N ( A и выполнение условия 1). Естественно, возможны случаи, ко­

гда условие 1) не выполняется, а условие 2) выполняется. С2. Необходимые условия отыскания седловой точки

(*с> Ус) = ( А У°) е М0х N.

Определение. Точка (хс ус) будет седловой для функции F(x, у) на мно­ жестве М0х N, если для всех х е М0 и у е N

F(x, ус) £ F(xc, ус) £ F(xc, у).

Отсюда следует, что F(xc, ус) = maxF(x,y°) = minF(x°,y). хеЛ/о yeN

Пусть F(x, у) — непрерывно дифференцируемая на M0x N функция и множества М0 и N — выпуклые компакты.

Теорема. Для того чтобы (хс, ус) G М0х N была седловой точкой функ­ ции F(x, у), необходимо, а если F(x, у) — вогнуто-выпуклая функция на М0 x N , то и достаточно, чтобы

хе М о

До к а з а т е л ь с т в о . Сформулированное условие вытекает из выра­ жений

121

так как в рассматриваемом случае каждое множество R(xc) и /P(yc) по

существу может представляться всего одним элементом, но тогда имеем утверждение теоремы.

Если множества М0 = Е ”, N = Е , то необходимое условие для оты­

скания седловой точки записывается в виде

dF(xc, yc) _ dF(xc,ye) _ 0

Эх Эу

Подчеркнем также, что когда хс или ус лежат на границах множеств М0, N, необходимо выполнить дополнительные проверки оптимально­ сти хс, у с. Так, при

При реализации необходимых условий могут быть выделены и ло­ кальные решения. Тогда путем соответствующего перебора всех реше­ ний необходимо определить седловую точку из множества полученных возможных пар (х, у) — претендентов на седловую точку.

СЗ. Пусть F(x, у) строго выпукла по у е N п т Vx е М0 и непрерывна на компакте М0х N. Следовательно, m in /fo y ) реализуется в единствен­

ной стратегии у1е N(x) с N. Но тогда для того чтобы х° € А/0 была опти­

мальной гарантирующей стратегией, необходимо, чтобы из теоремы в С1 выполнялось хотя бы одно из двух условий:

а) х° — граничная точка множества М0; б) х° — внутренняя точка множества М0, существует единственная

у 1е ЛГ(х°) и Fx'(x °,у) = 0= *х°.

При этом если F(x, у) дифференцируема по у е N, то левая и правая

производные в точке у1должны быть

aF(x°,y')

Эу

соответственно. Если F(x, у) строго вогнута по х е М0для y e N H непре­

рывна на компакте М0х N, то min/^x.y) реализуется на двух различных y*N

стратегиях у1 у2 е N(x) c N u для того чтобы х° € М„ была оптимальной

гарантирующей стратегией, необходимо, чтобы из упомянутой теоремы выполнялось хотя бы одно из следующих условий:

122

а) — граничная точка множества М0, существует единственная у' е ЛГ(х°);

б) х° — внутренняя точка множества М0, существуют у 1, у 1е N(x),

у 1^ у2, такие, что F(x°, у1) = Дх°, у2) = minF(x°,y), и если F(x, у) диффе-

y&N

ренцируема по х е М0, то левая и правая производные должны быть со­

ответственно

Следствием СЗ является следующая теорема.

Теорема. Пусть F(x, у) — непрерывная по двум переменным функция выигрыша в конфликте двух сторон, строго выпуклая по у е Y для Vx е X, Y = [0,1], X — [0,1] и имеющая в единичном квадрате конечную первую про­ изводную по у е Y Тогда существует единственная оптимальная чистая стратегия для второй стороны, являющаяся ступенчатой функцией I (у) со скачком в точке у0, разрыв в которой равен единице. Ступенчатая функция представляет функцию распределения вероятностей на Y Причем константа у0е Y есть единственное решение уравнения

т а xF(x,y0) = d,

х е Х

где 0 = min max F(x, у). Оптимальная гарантирующая стратегия первой

y e Y х е Х

стороны определяется в зависимости от значения у0. Если у0 = 0 или у0 = \ , т о у первой стороны имеется оптимальная стратегия 1Щ, где кон­ станта 0 <;х0 й \, удовлетворяющая условиям

F(xо, у0) = Ъ, F 'y(xо, у0) > 0 при у0 = 0, F 'y(x0, у0) < 0 при у0 = 1.

При 0 £ х0 й 1 для первой стороны оптимальная гарантирующая стратегия будет выпуклой комбинацией точек х ь х2е X,

х0 = « / Х| (х)+ (1 -а)1Х2(х),

где 0 < а < 1, 0 < х, < 1, 0 й х2< 1,

F(x,, у0) = F(X 2, у0) = б, F 'y(xu у0) > 0, F'yiXi, у0) < О

а Fy{xx,у0) +(1 - a ) F '( x 2,y 0) = 0.

Эта теорема представляет стандартный способ отыскания стратегий сторон в конфликте с выпуклыми функциями выигрыша на единичном квадрате. Согласно теореме стратегии х0) у0 находятся по следующей схеме:

1. Проверка функции F(x, у) на выпуклость по переменной у € Удля Vxe X.

123

2. Нахождение б как значения минимума по у функции максимума Fix, у) по х; эту операцию можно выполнять графически: начертить две кривые Д х,, у) и F(X2, у) и найти минимальную точку их огибающей.

3. Нахождение у0 из соотношения

b = min max Fix, у),

y e Y х е Х

где у0 — значение у е Y, на котором достигается минимум справа.

4. Нахождение решений уравнения на X из условия б = Fix, у0) и со­ ставление пары хь *2 его решений, для которых

F'yix„ у0) > 0 при у0 = 0, F 'yix2, у0) < 0 при у0 = 1.

3. Для каждой найденной пары х ь х г составление уравнения

o.Fyix{ ,y 0) + il- a ) F 'ix 2 ,у0) = 0

и нахождение его решения а. Решение этого уравнения либо единст­ венно, либо — любая точка из Х = [0,1].

6.Составление решения задачи в целом

<а = р(х,),(1 -а )р (х 2),д>.

5.1.2. Необходимые и достаточные условия оптимальности стратегий в динамическом непрерывном конфликте

двух сторон

Согласно принципу максимина, отыскиваются также оптимальные решения в динамических конфликтных ситуациях с дискретным и не­ прерывным временем.

Пусть исследуется конфликтная ситуация двух сторон, динамика хода которой описывается векторным дифференциальным уравнением

М = M z i t ) , u i f ) , m ) , t ^ t < T , at

где /„ и Т — фиксированные значения,

г € £*, и е U c E " , б е V<zE, г(0) = го, г(7) = гГ — заданы. На движениях (г(0) и управлениях uit), bit) задан функционал

т

Jizit), uit), bit)) = JЛ izix),и(т),б(т))</т. 1

Требуется установить необходимые условия оптимальности управлений, которые бы реализовывали

max min Jizit),uit),bit)).

«(OsK

124

Предварительно положим

т

Ф 4 U ) = max min JV. (г(т),«(т),^(т))<Лг,

u(t)eU d(/)eH

эта функция должна удовлетворять граничному условию в t — Т, т.е. в рассматриваемом случае <р(Т, с(7)) — 0, так как в критериальном функ­ ционале отсутствует терминальный член Ф(Г, z(T)). Имеем:

где А/ > 0.

Если считать, что на [t + А/, 7] управления сторон оптимальны, то

Г/+д/

Ф ° ('.г (0 ) = m i n i |/ о Ш ,и ( т ) ,д ( т ) ) < / т +

Лемма. Пусть функция ф(t, z(0) существует, непрерывна и имеет не­ прерывные первые производные по z и по t, за исключением конечного числа гиперплоскостей вида tk, к =1,2,..., на которых производные функции ф(/, z) могут терпеть разрывы, тогда

Д о к а з а т е л ь с т в о . Преобразуем (1), применяя к

/+Д/

|/о(г(т),й(т),А(т))Л

/

теорему о среднем и разложение функции <p°(f + Дt,z(t + ДО)

в ряд Тейлора:

<р°(0 z(0) =/о(г(0, «(0, $ (')№ + Ф°(0 z(0) + ^ - A t + ^ - A z + o ( A / ) ,

125

При Д/ —»0 получаем равенство

О =/о(г(0. м°(0, 6°(0) + ^ + ( g r a d 9 °,/(г (/)У (0,<>0(0)), at

которое очевидным образом преобразуется в искомое равенство при введении функции W(t, z{f), u(t), 6(f)) для V(«(t), 6(f)) e U x V .

Введем обозначение

Я(ф(0, z(t), и(0, 6(0) = (grad<p,7(z(0» и(0, Ш ) ) +

+ 1 /о(г(0, и(0, Ш ) = ( ¥ , / ) .

H — функция Гамильтона;

при этом W(t, z(t), u(t), б(/)) = - ^ + Н (у, z, и, 6). at

Теперь запишем необходимое и достаточное условие оптимальности гарантирующей стратегии управления первой стороны. Если функция <p(f, z(t)) непрерывно дифференцируема по z и по t до первого порядка за исключением конечного множества (4), к = 1,2,..., и при этом

то и°(0, 6°(0 являются оптимальными гарантирующими стратегиями по отношению к функционалу J(z(t), u(t), 6(0), т.е. в смысле

max min /(z(f),«(f),6(f)).

Условия W(t, и0, 6°) = 0, W(t, z, и, 6) * 0 объединим в условие

для оптимальной функции <р(/, z(t)).

Запишем также достаточные условия оптимальности в форме Кро­ това. Если существует функция <p(f, z(t)), непрерывная по совокупности аргументов и имеющая непрерывные частные производные по z(t) и t, за исключением, быть может, конечного числа сечений {tk}, к = 1,2,...

..., пространства [f0, 7] х £”, и такая, что

— выражение функции Кротова

126

достигает max min по г(0. "(О, Ф(0 как по независимым переменным tiOMO в(О

при г°(0, и°(/), Ф°(0 для почти всех t €[г0, 7];

— начальное и конечное значения z(t) удовлетворяют требованиям

г°(/0) = aigmax<p(z(/o)» 'о)> Л Т ) = aigmawp^T), 7);

Проиллюстрируем формирование и применение необходимых усло­ вий принципа максимума Понтрягина и функции Кротова конкретно.

Задача. Найти оптимальные максиминные стратегии управления движением системы по критерию

т

J(u,v) = |( и 2( 0 - v2(t))dt+ х,(7,) + х2(Г )-> max min,

о

при условии, что движение системы описывается уравнениями, *1 ( 0 = *i(0 + КО + v(0, Х|(0) = х ,о ,

* 2 ( 0 = *г(0+ КО, х2(0)= «jo, 0Ш Т .

1. Р е ш е н и е с о г л а с н о н е о б х о д и м ы м у с л о в и я м п р и н ц и п а м а к с и ­ м у м а . Составим функцию Гамильтона

Я(х,(0, *г(0, “(0, КО, V i(0. У г(0 ,0 -

= КО - КО + Vi(0(*i(0+ и(0+ КО) + у2(0(*2(0 + КО) -»maxm'n-

Функция Гамильтона разделима по КО и КО» поэтому оптимальные управления най­ дем из условий

^ = 0 =» “ °(,)’ - ~ = 0 = > v°(0, и°(0 - -0 ,5 у ,(0 , v°(0 = 0,5(у,(0 + V2(0).

Составим сопряженную систему дифференциальных уравнений

у,(')=- |£ , V2(0=-|^-, у,(7) = 1 у2(7) = 1.

I OXj

Имеем систему у,<0—у,(1Х У2( 0 = - ¥ 2 (0 , решение которой

Vi(e) = е-', Vj(,) = е -', 0 £ f £ Г.

Вычислим «°(0 и v°(0:

«V) = - i e-'( v°(0 = j(e_,+ «•')*«■'•

127

д(0, v(0, ф(х1} х2, О, *) =

= U2(t) - у2(/) + ф'Х1(дс,(/) + W(/) + v(0) + Я^ОД*) + v(0) + ф'„

где у(хь х2, 7) = *,(7) + х2(Т).

Найдем u°(t) и v°(/) из решения задачи вида

Д(*1(0 , х2(1), и(/), цг), ф(Х|(г), х2( 0 ,0» 0 -> max min,

U

С учетом, что терминальный член

ф(*(7), 7)-*,(7)+**(7)

является линейной функцией, восстановим функцию <P(*i(0, *г(0> 0 в базисе (хь х2)

линейной функцией вида

V(*i(0. х2(г), /) = \у,(/)х, + у 2(фс2.

Подставим функцию <p(X|(f), х->М, 1) в выоажение для «Ьункиии Кпотова с учетом того,

Теперь потребуем, чтобы maxmin этого выражения не зависел от (х,,х2), т-е- чтобы maxmin функции Кротова достигался при любых (х,,х2), тогда

v, + V = О у2 + V2 = 0. Vi(T)X|(7) + V2(7)X2(7) = х,(7) +х2{Т).

Отсюда следует, что

Vi = VI >VI(7) = 1, V2=-V2> V2(T) = 1-

При этом также видно, что операция

128

для v° того же вида, что и в варианте 1, приводит к выражению,

v°=j(Vl + V2>-

После решения полученной системы дифференциальных уравнений очевидно, что оптимальные управления и траектория движения системы будут теми же, что и в преды­ дущем варианте.

5.1.3.Необходимые условия оптимальности стратегий в конфликте, аппроксимируемом матричной игрой

Рассмотрим конфликт двух сторон, критериальные функции кото­ рых удовлетворяют равенству

Щ(х, у) = - W 2(x, у) = Щ х, у), х € X, у е Y,

где X, Y — конечные множества чистых стратегий. Соответствующая ан­

тагонистическая игра представляется тройкой

Г = {X, У Щ х, у)),

где Щх, у) — матрица выигрыша одной (проигрыша другой) стороны, определенная на X x Y ; размерность матрицы m x n , m — число страте­ гий одной стороны, а п — другой.

Выбор стратегий стороны осуществляют независимо одна от другой и не обмениваются информацией при выборе своих оптимальных реше­ ний, т.е. стороны пользуются принципом наилучшего гарантированного результата. Каждая сторона оценивает эффективности как своих страте­ гий, так и стратегий противоположной стороны и на основе этого уста­ навливает приемлемые стратегии х е X, у' € Y.

Стратегия х* € X приемлема для первой стороны, если обеспечивает­

ся наилучший гарантированный результат

maxminfF(x,y),

хеХ уеУ

аналогично стратегия у* е Y приемлема для второй стороны, если обес­

печивается для нее наилучший гарантированный результат

min шах^ (х , у).

у€.У хеХ

Стратегии (х * ,/) образуют ситуацию, которая будет седловой точ­ кой, если

Щ х ,у ) ^ Щ х ,у ) < Щ х ,у ) .

Для существования седловой точки в конечной (матричной) игре необ­ ходимо и достаточно, чтобы

т ахт т Щ х, v) = min тахИ^х, v).

Если это условие не выполняется, то седловой точки в чистых стра­ тегиях не существует. Для обеспечения ее существования необходимо расширить множества стратегий X и У, что можно осуществить введени­

ем всевозможных линейных комбинаций на множестве чистых страте­ гий, описываемых распределениями вероятностей на множествах Х и У.

В результате конструируется смешанное расширение матричной игры

Теорема. Всякая матричная игра имеет ситуацию равновесия в сме­ шанном расширении (доказательство — простое следствие известной тео­

ремы [47; 6]).

Теперь для установления необходимых и достаточных условий оп­ тимальности стратегий преобразуем задачи

maxminW(p,q), minxmxW(p,q)

к виду эквивалентных задач математического программирования. Это преобразование осуществляется путем введения новой переменной X, имеющей смысл нижней границы для всех значений Щр, q) при дан­ ном q, и введением переменной ц, имеющей смысл верхней границы для всех значений Щр, q) при данном р. В результате получим следую­

щие эквивалентные задачи:

Задача а) — прямая, а задача б) — двойственная; отсюда необходи­ мые и достаточные условия оптимальности стратегий сторон формули­ руются в виде равенства max X = min ц; решение задач а) и б) может быть найдено с помощью симплекс-метода [20; 21; 24], п. 6.4.

130