книги / Математические методы в системах поддержки принятия решений

3. Для любой задачи принятия решения должны быть

—установлены исходное множество элементов, цель или некото­ рая совокупность, целей и соответствующие им формализованные вы­ ражения критериев как функций, функционалов или как систем пред­ почтений, определенных на исходном множестве альтернативных элементов;

—описаны в математических терминах или в форме требований и отношений предпочтения исследуемые физические, экономические, производственные и другие процессы и ограничения;

—определены правила, методы и алгоритмы или аксиомы уста­ новления предпочтений на исходном множестве альтернативных эле­ ментов.

4.Под правилом установления предпочтительности на исходном множестве альтернативных элементов понимается принцип оптималь­ ности. Последний в полном виде раскрывается формализованным меха­ низмом — алгоритмом выделения из исходного множества альтернатив некоторого подмножества наилучших — оптимальных альтернатив в смысле необходимых и достаточных условий или систем аксиом их оп­ тимальности.

Отметим, что на практике приемлемыми для ЛПР могут быть почти оптимальные альтернативы (необходимость считать их приемлемыми обусловлена, например, возможными погрешностями в задании исход­ ной информации).

5.При сформулированном принципе оптимальности или системе аксиом задача выбора решения в математическом плане становится хо­ рошо структуризованной.

6.Конкретизации принципа оптимальности по содержанию и в ма­ тематической форме совместно с конкретизацией множества исходных альтернатив, требований и ограничений приводят к конкретным типам

иматематическим постановкам задач выбора решения; при этом выбор наилучших альтернатив составляет результат упорядочения исходного множества альтернатив посредством реализации необходимых и доста­ точных условий оптимальности или систем аксиом.

Так, пусть совокупность измерений описывается уравнением на­ блюдения г* = xt + V* к — 0, 1,..., N - 1 ; известна модель управляемого

динамического объекта или процесса в виде уравнения состояния*

* * н = <*>A + щ + W*.

где у*, wk — независимые нормально распределенные случайные адди­

тивные возмущения, сопутствующие измерениям и движению объекта, и* — параметр управления, ик е U czE ',

хк — фазовая координата, хк е Е , к — текущий момент времени, п < 1 ,

Фк — 1x1 матрица, определяющая устойчивость и другие показатели

процесса; и критерий качества выбора решения задан в виде математи­ ческого ожидания функции потерь

41

Г л ав а в т о р а я

Необходимые и достаточные условия оптимальности выбора решений при определенности

2.1. Необходимые и достаточные условия оптимальности для скалярного механизма в статических задачах

Скалярный механизм вводится для выбора лучшего решения х° или У(х) по достижению одной единственной цели согласно скалярному функционалу качества Дх) или F(y(x)) из неограниченного множества возможных решений Х = R" или из соответствующего функционального пространства Е и записывается в виде

где Е — пространство непрерывных функций или пространство непре­

рывных функций, обладающих непрерывными производными;

F(y(x)) — функционал интегрального типа в пространстве Е, где х принимает значения из ограниченной области G, в простейшем слу­ чае — из [а, Ь].

Рассмотрим сначала необходимые условия для механизма (1). Здесь fix) — ограниченная функция потерь, которая может быть дифференци­

руемой, непрерывной или даже разрывной. Из физических соображе­ ний и при выпуклой функции Дх) наилучшему решению х° соответству­ ет условие

Дх°) <Дх), х е Х .

Это условие можно записать по-другому

Дх) - Дх°) > 0, х е X, или Дх) -Д х°) > (0, х - х°),

где в правой части записано скалярное произведение нулевого вектора на вектор (х — х°) и 0 есть значение субградиента функции Дх) в точке

43

х° — субградиента как элемента из множества ЭДх°) — субдифференциа­ ла функции fix ) в точке х°, т.е. О е ЭДх°).

Определение 1. Выпуклая функция f(x) имеет в точке х° субградиент а, если выполняется соотношение

f i x ) - f i x 0) > (а, х - х°) Vx € X.

Определение 2. Множество всех субградиентов функции f(x) в точке х° называется субдифференциалом df(x°)

Итак, необходимое условие оптимальности выбора решения х° по скалярному механизму (1) записывается в виде 0 е ЭДх°). Это условие реализуется при различных критериальных функцияхfix): дифференци­

руемых, непрерывных, почти выпуклых. Для этих функций необходи­ мое условие оптимальности решения (альтернативы) х° является и дос­ таточным.

В некоторых выпуклых задачах выбора решений может оказаться полезным использование сопряженной — двойственной критериальной функции, т.е. использование не точечного способа задания выпуклой функции, а задания посредством касательных к ней гиперплоскостей в R". В таком случае исходная функция представляется верхней огибаю­

щей системы касательных плоскостей. Так, если Дх) строго выпуклая и гладкая, то для каждой ее точки существует единственная касательная плоскость, определяющаяся своим нормальным вектором. Тогда задан­ ную функциюfix) можно представить точками пересечения касательных плоскостей с координатной осью значений функции fix), т.е. с (п + 1 )-й

осью системы координат.

Для рассматриваемой исходной функцииfix) допустимо считать, что (п + 1 )-я компонента нормального вектора равна —1 и все другие его компоненты составляют вектор у, длина отрезка, отсекаемого касатель­ ной плоскостью от (и + 1 )-й координатной оси, равна При этом зада­ ние функции fix) посредством касательных плоскостей записывается в виде %= у(у). Так как исходная функция гладкая, то уравнение каса­ тельной плоскости в точке xk е R" принимает вид

§ —fixk) = ( х - xk)Tf '{ x k), х 6 R”.

Длина отрезка (п + 1)-й координаты определяется из уравнения плоскости при подстановке х = 0, т.е. %к - f ( x k) - x Tk f '( x k).

Теперь воспользуемся выражением для координат нормального к касательной плоскости вектора

из которого получаем, что у = f x'(xk), откуда х к = f f i 1(у). В результате

получаем другое выражение для %, оно записывается в виде классическо­ го преобразования Лежандра [14; 15]

44

$ = /( У Г '0 ' ) ) - 0 'г ,Лн 0 ')),

где в последней скобке записано скалярное произведение. Так, напри­ мер, преобразованием Лежандра связываются производственная функ­ ция и прибыль в задаче п. 1.2. Это преобразование обладает важным свойством: антиградиент сопряженной функции £ = VOO равен обрат­ ному градиенту исходной функции, что проверяется непосредственно вычислением градиента функции % по правилу ее дифференцирования

как сложной функции. Выражение необходимого условия оптимального выбора решения не изменяется и имеет вид 0 = у '(у ° ), при этом пере­

ход от альтернативы у° к альтернативе х° осуществляется по выражению * ° = / ; V ) (см.[14]).

Проиллюстрируем применение преобразования Лежандра в следую­ щей задаче выбора решения, например, как задачи квадратичного про­ граммирования.

Задача. Найти

vo aig min /(* ) = atg minf -(* , Bx) + (c,x) 1, X*= {* e RP | <p(x) = Ax + d < 0},

у-1

где X е Rm — вектор неопределенных множителей Лагранжа, и отметим, что из maxL(x,X)

хеХ

следует ограничение V/(.x) + АТх - 0. Тогда задача отыскания решения записывается в виде

maxZ(x,X) при ограничении VJ(x) + А Ч = О, X't 0.

Выполним преобразования над L(x, X). Воспользуемся свойством: при сильной вы­ пуклости функции f[x) уравнение Щ х ) = у имеет единственное решение х = V/ - 1(у). Под­ ставим это решение в уравнение V/fr) + А Ч - 0 и учтем, что А Ч = - Щ х ) = -у; в резуль­ тате получим выражение для \ L - I( JC, X),

^ = / ( / д Г 1(^ ))-(У г ./дГ'(>'))+(</Д), при э т о м Л + у = 0.

45

*>L=-<yT,B-l( y - c ) ) + i ( B - l( y - c ) , ( y - c ) ) + (c,B-l( y - c ) ) + ( d , \ ) =

= ~ « y - c ) , B - l( y - c ) )+ ( d ,\),

где первое слагаемое есть отрицательно определенная квадратичная форма. Итак, двойственная задача выбора решения имеет вид

/ = а Чт а х ^ )У={^еЛ',|у|гХ+^ = 0, 31*0},

при этом искомое решение

Х° = f ' - ]( y ° ) = B ~ \y ° - с ) и max£L = min f(x).

Классическое преобразование Лежандра есть важный частный вид операции сопряжения выпуклых непрерывных функций, не обязатель­ но всюду дифференцируемых на области их определения, и отмеченное выше свойство представляет следствие взаимно однозначного соответ­ ствия субдифференциалов, вычисленных в сопряженных точках (аль­ тернативах) исходной и сопряженной функции. Точки х и у называются сопряженными, если удовлетворяется условие у (у) +Д х) = (ут, х).

Таким образом, двойственность 0 е ЭДх) о 0 е Эу(у) есть другая

форма выражения необходимых и достаточных условий оптимального выбора решений при использовании скалярного механизма.

Перейдем теперь к формулированию необходимых и достаточных условий оптимальности решений при использовании скалярного ме­ ханизма вида (2). Следуя физическим соображениям и учитывая вы­ пуклость функционала F(y(x)), запишем условие для наилучшего ре­

шения у°(х)

F(y(x))>F(/(x))

для любого х из заданной области, где у(х) е е и е — класс непрерывных и гладких функций.

Если функционал F(y(x)) дифференцируем в точке у°(х) и достигает

в ней минимума, то его первая вариация 5Ду°(х), А°(х» = 0 при любом приращении А°(х). Этот факт составляет необходимое условие

min/Xy(x)), доказательство дано, например, в [16]. Если функционал

е

F(y(x)) дважды дифференцируем, то в точке минимума его вторая ва­

риация неотрицательна при любом приращении А°(х) функции у°(х), т.е. 52F(y°(x), й°(х)) > 0. В развернутой форме необходимое условие записы­ вается для F(y(x)), например вида

ь

а

46

следующим образом:

что удовлетворяется только при условии

ду

при любом х, а й х й Ь , и когда функция Л(х) непрерывна вместе со своими производными, неотрицательна на [а, 6], Л(о) = h(b) = 0 и равна нулю вне промежутка [а, Ь\. Достаточное условие имеет вид

при любом приращении А°(х), т.е. необходимо, чтобы

Э7 ( х , / ( х ) ) ^ 0

ду2

Если функционал качества принятия решения имеет более сложный вид, например

ь

F(y(x)) = Jf(x,y(x ),y'x (x))dx,

и необходимое условие 8F(y(x), А(х)) = 0 преобразуется к виду диффе­ ренциального уравнения Эйлера

или

/у у У " + / у у ’ У ' + / х у • - / у =0-

Может оказаться, что среди решений этого уравнения не будет тех, которые бы удовлетворяли поставленным в задаче условиям у(а) и у(Ь).

47

Так, в примере Вейерштрасса j t 2x 2dt-> inf дс(0) = 0, х(1) = 1, уравнение

экстремали, удовлетворяющие условию х(0) = 0. В этом случае задача

принятия решения не имеет решения в классе е дважды дифференци­ руемых функций. В случае наличия решения условие для второй вариа­ ции b2F(y(x), h(x)) > 0 в точке минимума преобразуется к виду условия Лежандра

Заметим, что если функционал F(y(x)) достигает в точке у°(х) мини­

мума по отношению к точкам у(х), близким к /( х ) по ординатам и на­ правлениям касательных, то имеет место слабый минимум; это обстоя­ тельство представляет существенное значение для установления достаточных условий минимума, когда функционал Я(у(х)) задан в про­ странстве непрерывных кусочно-гладких функций (е = Ct(a, Ь))

(см.[17;18]) и дифференцируем по Гато или по направлениям. При этом необходимое условие (3) следует записать в виде 0 е ЭДх, у°(х», где dfix, У(х)) — субдифференциал функции fix , у(х)) в точке у°(х).

Это условие имеет другую эквивалентную форму записи:

т ,„ № . / < * » 20|

И -1 dg

где g — направление, по которому вычисляется производная функции fix , у(х)) в точке /(х ).

Уравнение (4) в пространстве кусочно-дифференцируемых функций преобразуется к виду

/*(*) = «» УФ), уф ), у х(х) € ЭЯ(х, / , и, у), где Э Я (х,/(х), и, у) — субдифференциал функции Гамильтона

Щх, у(х), и, у) = fix, у(х), и) + уи , и € R',

УФ)> УФ) — граничные условия, которым должно удовлетворять иско­ мое решение у°(х).

Действительно, при введении условия у\(х) = и функционал F(y(x))

ь

записывается в виде F(y(x)) = | f(x,y(x),u)dx. Но тогда отыскание у°(х)

а

есть результат решения задачи F(y(x)) - » min при условии /*(х) = и,

48

a < x < b . Это есть задача оптимального управления в понтрягиновской

форме [27;37;51].

Функция Щх, у(х), и, у) удовлетворяет условию выпуклости по у(х) для любых х; очевидно, по у эта функция всегда выпукла. Здесь V = \Дх) — вектор-функция, удовлетворяющая известным [27] условиям принципа максимума Понтрягина: она является решением сопряженного

уравнения

V i = -Н 'у(х,у(х),и,у)\и(х),у(х),

соответствующего паре и(х), у(х); х е [а, Ь\\ здесь принято, что функция

Н(х, у(х), и) = -Д х, у(х), и) + щ

дифференцируема по у.

Правило решения такой задачи заключается в выполнении следую­ щих действий:

1 . Составить функцию Гамильтона—Понтрягина Н (х,у(х), и).

2. Выписать сопряженную систему

у'х = -Н 'у(х,у(х),и,у) |к(х),у(х).

3. Определить оптимальное управление из необходимого условия

sup Н (х,у(х),и ,\|/), х 6 [а, Ь]. ueRtt

4.Подставить оптимальное «° в дифференциальные уравнения для у

иу и проинтегрировать их при начальных и конечных условиях для у и

условиях трансверсальности — для у .

2.2. Необходимые и достаточные условия оптимальности для условно-экстремального механизма в статических

и вариационных задачах

Условно-экстремальный механизм в статических и вариационных задачах вводится для выбора лучшего решения хР или /( х ) по скалярно­ му функционалу качества Дх) или F(y(x)) из множества возможных ре­ шений (альтернатив) X a R " , ограниченного системой равенств и/или неравенств <р,{х) £ 0, / = 1,к, <р,(х) = 0, / = k+ l,m , х е R 1, или из соответст­

вующего функционального пространства е при существовании огра­

ном виде или, что то же самое в терминах дифференциальных уравне­ ний, т.е. ф,(у(х» в этом случае представляет дифференциальную связь и все такие связи — независимы.

Рассмотрим необходимые условия для механизма ( 1 ). Будем счи­ тать, что X — выпуклое множество, а функция Дх) обладает теми же

свойствами, что и в предыдущем параграфе. Для установления необхо­ димого условия оптимальности решения х° предварительно введем на

Геометрически функция 5(х(А) представляет полуцилиндр с основанием X. Далее составим функцию ф(х) =Д х) + 8(х(Л); эта функция очевидно

определена на всем пространстве Л" и выпукла, так как

и субградиент функции ф(х) для выпуклой задачи равен сумме субгра­ диентов функций Дх) и 8(xjA), т.е. Эф(х) = ЭДх) + Э8(х)Л). Выпуклость множества X равносильна выпуклости индикаторной функции 8(х|Л), а последняя является сопряженной к опорной функции 8'(х|Л) множества X в точке х е X.

Определение [19; 20; 21; 22]. Опорная функция 8*(х)Л) выпуклого мно­ жества X определяется выражением

8*(х|Я) = su p |(x ,y)|ye Х ' \ ,

УJ

где у — субградиент в точке х, или у — опорный вектор. Если граница мно­ жества X описывается непрерывно дифференцируемой функцией, то суб­ градиент переходит в производную и

8*(х|Л) = {(х,ф'(х)) £ р| ф'(х) * 0}.

50